합성함수 이해하기: 순서, 값, 정의역

배송 서비스가 1킬로미터당 3달러를 받고 예약 수수료 5달러를 더한다고 가정해 보세요. 4킬로미터를 이동했다면 먼저 4에 3을 곱한 뒤 5를 더합니다. 첫 규칙의 출력을 다음 규칙에 넣은 것입니다. 이것이 함수의 합성입니다.

표기가 실제 계산보다 어려워 보일 수 있습니다. $g(x)=3x$가 거리에 따른 요금을 계산하고 $f(x)=x+5$이 수수료를 더한다면 총액은 $f(g(4))=f(12)=17$달러입니다. 안쪽 규칙을 먼저 실행합니다. 요금 규칙이 그렇게 정해져 있지 않다면 거리와 수수료를 먼저 더한 뒤 곱해서는 안 됩니다.

안쪽에서 바깥쪽으로 순서를 읽기

합성함수에서는 한 함수가 다른 함수 안에 들어갑니다.

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))$$

이를 “$f$를 $g$ 다음에 적용한다”라고 읽습니다. 먼저 $g(x)$를 구하고 그 출력을 $f$의 입력으로 사용합니다. 동그라미는 합성 기호이며 곱셈이 아닙니다. OpenStax의 함수 합성 설명도 연산과 순서를 분명히 정의합니다.

$f(x)=2x+1$과 $g(x)=x^2-3$를 보세요. $f(g(x))$을 만들려면 $f$의 입력 자리에 $x^2-3$ 전체를 넣습니다.

$$f(g(x))=2(x^2-3)+1=2x^2-5$$

$x=4$에서 안쪽 규칙은 $g(4)=16-3=13$를 내고 바깥쪽 규칙은 $f(13)=27$을 냅니다. 하나로 합친 식도 $2(4)^2-5=27$로 일치합니다. 두 단계 계산을 합친 식과 비교하면 괄호를 잘못 둔 곳을 찾기 쉽습니다.

함수 표기는 입력 자리를 드러냅니다. $f(t)=2t+1$이라면 $f(x^2-3)=2(x^2-3)+1$입니다. 입력 자리에 쓰는 문자가 바뀌어도 규칙은 같습니다. 함수 기초 가이드는 규칙을 이어 붙이기 전에 입력, 출력, 정의역을 설명합니다.

순서를 바꾸어 비교하기

같은 두 함수를 쓰더라도 $g(f(x))$은 $f$부터 시작합니다.

$$g(f(x))=(2x+1)^2-3=4x^2+4x-2$$

$x=4$에서는 $f(4)=9$이고 이어서 $g(9)=78$입니다. $f(g(4))$에서 얻은 27과 다릅니다. 두 합성 모두 올바르지만 서로 다른 질문입니다. 식을 전개하기 전에도 차이를 알 수 있습니다. 하나는 먼저 제곱한 뒤 두 배로 만들고, 다른 하나는 두 배로 만든 뒤 1을 더하고 제곱합니다.

한 입력에서 우연히 값이 같다고 두 합성함수가 동일한 것은 아닙니다. 같은 함수인지 보이려면 공통 정의역에서 규칙을 비교하고 정의역 자체가 같은지도 확인해야 합니다. 보통 문제에서는 두 식을 계산하고 간단히 하세요. $f(g(x))$은 $g(f(x))$도 아니고 곱 $f(x)g(x)$도 아닙니다.

흐름을 $x\xrightarrow{g}g(x)\xrightarrow{f}f(g(x))$처럼 표시할 수 있습니다. 값을 대입하기 전에 첫 화살표를 적어 보세요. 안쪽 규칙에 분수, 제곱근, 값의 표가 있을 때 특히 유용합니다.

표나 그래프로 계산하기

공식이 없어도 함수를 합성할 수 있습니다. 다음 표를 보세요.

$x$	1	2	3	4
$g(x)$	3	4	1	2
$f(x)$	8	6	9	7

$f(g(2))$를 구하려면 첫째 행에서 $g(2)=4$를 읽습니다. 이제 4를 $f$의 입력으로 사용하면 $f(4)=7$입니다. 답은 7입니다. 순서를 바꾸면 $f(2)=6$이지만, 표에는 $g(6)$의 값이 없습니다. 이 표만으로 $g(f(2))$을 읽을 수 없습니다. 전체 함수가 다른 곳에서 정의되어 있다면 값이 있을 수도 있습니다. 제시된 값만으로는 판단할 수 없습니다.

그래프도 같습니다. 입력 2에서 먼저 $g$ 그래프의 높이를 읽어 4라고 합시다. 이어서 $f$ 그래프에서 입력 4의 높이를 읽어 7이라고 합시다. 첫 높이가 두 번째 그래프의 가로좌표가 됩니다. $x=2$에서 두 높이를 모두 읽어 결합하면 안 됩니다. 필요한 입력에서 어느 그래프든 점이 없다면 그곳에서 합성은 정의되지 않습니다.

“이 부분 표에 없다”와 “정의역 밖이다”를 구별하세요. 짧은 표에는 실제로 존재하는 값이 생략될 수 있습니다. 반면 그래프의 빈 원이나 명시된 끝점은 값이 제외됐음을 보여 줄 수 있습니다. 빠진 출력을 지어내지 말고 현재 어떤 정보가 있는지 말하세요.

간단히 하기 전에 정의역 확인하기

$f(g(x))$의 정의역에는 두 조건이 있습니다. 먼저 $x$가 $g$의 정의역에 있어야 합니다. 이어서 결과 $g(x)$이 $f$에 허용되는 입력이어야 합니다. OpenStax도 이 입력과 출력의 전달 방식으로 규칙을 설명합니다.

$g$의 치역 전체가 $f$의 정의역에 속하지 않아도 합성은 일부 입력에서 정의될 수 있습니다. 두 단계를 모두 통과하는 입력만 남기세요. 예를 들어 제곱은 모든 실수를 받아들이지만 뒤에 오는 제곱근은 음이 아닌 출력만 받아들입니다. 제곱 결과는 음이 아니므로 이 조합은 모든 실수 입력에서 작동합니다. 안쪽 규칙을 뺄셈으로 바꾸면 허용 범위가 줄어들 수 있습니다. 두 식을 따로 보는 데 그치지 말고 실제로 전달되는 값을 확인하세요.

실수 결과를 갖는 $g(x)=x-1$과 $f(t)=\sqrt{t}$를 봅시다. 안쪽 규칙은 모든 실수를 받아들이지만 바깥쪽 제곱근은 음이 아닌 입력만 받을 수 있습니다. 따라서

$$f(g(x))=\sqrt{x-1},\qquad x\geq1$$

순서를 바꿉니다. 이번에는 $f(x)=\sqrt{x}$을 먼저 실행하고 $g$가 나중에 1을 뺍니다.

$$g(f(x))=\sqrt{x}-1,\qquad x\geq0$$

식도 정의역도 다릅니다. $x=0$에서는 두 번째 합성의 값이 $-1$인 반면 첫 번째 합성은 실수에서 정의되지 않습니다. 단지 값이 다른 입력 하나를 찾는 것보다 분명한 비교입니다.

분모는 또 다른 조건을 만듭니다. $g(x)=1/(x-2)$와 $f(t)=t+3$을 가정하면 $f(g(x))=1/(x-2)+3$이지만, $x=2$는 여전히 금지됩니다. 그곳에서 안쪽 규칙이 정의되지 않기 때문입니다.

약분해도 원래 금지된 입력은 되살아나지 않습니다. $g(x)=(x^2-1)/(x-1)$가 $x\ne1$에서만 정의되고 $f(t)=t^2$라고 합시다. 허용된 입력에서는 $g(x)$을 $x+1$로 간단히 할 수 있습니다. 합성식은 $(x+1)^2$처럼 보여도 정의역에는 여전히 $x\ne1$가 적용됩니다. $x=1$에서는 원래 안쪽 함수가 0으로 나누게 됩니다. 다른 모든 점에서 일치하는 다항식도 새 함수를 정의하지 않고 그 구멍을 채울 수는 없습니다.

긴 규칙을 단계로 나누기

합성을 거꾸로 읽어 식이 만들어진 과정을 설명할 수도 있습니다. $h(x)=\sqrt{3x+2}$을 보세요. 한 가지 방법은 $g(x)=3x+2$ 다음에 $f(t)=\sqrt{t}$을 쓰는 것입니다. 따라서 $h=f\circ g$입니다. 이렇게 나누면 정의역도 바로 보입니다. $3x+2\geq0$가 필요하므로 $x\geq-2/3$입니다.

올바른 분해가 꼭 하나만 있는 것은 아닙니다. 안쪽 일차 규칙을 “3을 곱한다”와 “2를 더한다”로 나누고 세 번째 단계에서 제곱근을 적용할 수도 있습니다. 어느 경우든 제시한 순서가 허용되는 각 입력에 대해 원래 규칙을 재현해야 합니다.

그래프 변환에서는 $f(x)=x^2$과 $f(x-2)=(x-2)^2$을 비교하세요. 변화가 입력 안에 있으므로 포물선은 오른쪽으로 2만큼 이동합니다. $f(x)+2=x^2+2$에서는 $f$ 뒤에 더하므로 그래프가 위로 2만큼 이동합니다. 합성의 실제 예입니다. “제곱하기 전에 2를 뺀다”와 “제곱하고 나서 2를 더한다”는 다릅니다. 대입이 익숙하지 않다면 대수 가이드를 참고하세요.

서로 다른 세 가지 확인 연습

1. 두 순서. $f(x)=x+4$과 $g(x)=2x$를 사용해 두 합성을 구하세요. 답은 $f(g(x))=2x+4$과 $g(f(x))=2x+8$입니다. $x=3$에서 각각 10과 14가 됩니다. 순서가 4를 더하는 위치를 바꿉니다.

2. 정의역 조건. $f(t)=1/t$과 $g(x)=x^2-9$을 사용하면 $f(g(x))=1/(x^2-9)$입니다. $x=3$와 $x=-3$은 모두 바깥쪽 분모를 0으로 만들므로 제외합니다. 안쪽 다항식 자체는 모든 실수를 받을 수 있습니다.

3. 표에서 값 찾기. 위 표로 $g(f(3))$을 계산합니다. 먼저 $f(3)=9$입니다. 표에는 $g(9)$ 항목이 없으므로 주어진 정보로는 부족합니다. 이는 완전한 답이지 계산 실패가 아닙니다.

매 문제마다 어느 규칙을 먼저 썼는지, 어떤 값이 나왔는지, 다음 규칙이 그 값을 받을 수 있는지 말해 보세요. 그런 다음 하나의 수치 입력을 대수적 답과 비교하세요. Math Zen의 함수 연습에는 합성과 정의역 및 치역 문제가 함께 있어 전달 과정을 별도의 기술로 연습할 수 있습니다.

역함수는 적절한 정의역에서 한 규칙이 다른 규칙을 되돌리는 특별한 경우입니다. 보통 합성을 구할 때 역함수를 알 필요는 없습니다. 여기서는 안쪽 출력, 바깥쪽 입력, 마지막 정의역 확인이라는 순서를 지키면 됩니다.