부분분수 분해: 검산까지 하는 네 가지 풀이

유리식은 처음 모습보다 부분분수로 나눈 뒤 적분하기 쉬울 때가 있습니다. 예를 들어 $(3x+1)/(x^2-x-2)$는 분모를 인수분해하면 로그로 적분할 수 있는 두 분수의 합이 됩니다. 어려운 단계는 계수를 구하기 전에 빠짐없는 형태를 정하는 것입니다. 필요한 항이 빠지면 이후 계산으로는 해결되지 않습니다.

여기서는 서로 다른 일차 인수, 중복된 일차 인수, 실수 범위에서 기약인 이차 인수, 먼저 나눗셈이 필요한 분수까지 네 가지 독자적인 예제를 풉니다. 각 답은 다시 통분하여 검사합니다. 차수 조건과 인수별 형태는 OpenStax Calculus 제2권 §3.4를 따릅니다. 적분의 뜻이 먼저 필요하다면 적분 안내를 참고하세요. 여기서는 대수적 절차에 집중합니다.

차수를 비교하고 분모를 인수분해하기

유리식을 $P(x)/Q(x)$로 씁니다. 부분분수 분해는 $\deg P<\deg Q$인 진분수에서 시작합니다. 조건이 맞지 않으면 $P$를 $Q$로 나누고 다항식 몫을 보관한 뒤, 나머지의 진분수만 분해합니다. 몫을 미지의 상수 속에 숨길 수는 없습니다.

그다음 $Q$를 실수 범위에서 인수분해합니다. 인수 형태가 계수를 계산하기 전의 틀을 결정합니다.

분모 인수	필요한 항
서로 다른 일차 인수 $(x-a)$	$A/(x-a)$
중복 일차 인수 $(x-a)^m$	$A_1/(x-a)+A_2/(x-a)^2+\cdots+A_m/(x-a)^m$
기약 이차 인수 $q(x)$	$(Bx+C)/q(x)$

이 틀은 편리한 한 점이 아니라 허용되는 모든 $x$에서 성립하는 항등식입니다. 분모를 없앤 뒤 계수는 두 방법을 함께 써서 구할 수 있습니다. 예제 1과 2처럼 일차 인수의 근을 대입하여 일부 항을 없애거나, 예제 3처럼 양변을 전개하고 $x$의 각 거듭제곱 계수를 비교합니다. 근을 대입하면 한 상수가 즉시 정해질 수 있지만 이차 인수가 남은 경우 모든 계수 비교를 대신하지는 못합니다. 대입으로 숫자가 다 나온 것 같아도 나머지 계수를 확인하세요. 예제 2에서 빠진 항을 찾을 수 있는 이유는 줄인 틀이 모든 계수를 동시에 만족시킬 수 없기 때문입니다. 대입값 선택이 아니라 구조의 오류입니다. 일반적인 값 몇 개를 넣어 유한한 연립방정식을 풀었더라도 모든 $x$에 대한 항등식을 다시 확인해야 합니다. 완전히 통분해 복원하면 한 번에 검증됩니다.

기약 이차식에는 실수 일차 인수가 없습니다. 그 위의 분자는 풀이 결과 $B=0$이더라도 처음에는 일차식으로 설정합니다. 원래 분모가 0이 되는 값도 제외해야 합니다. 공통 정의역에서 두 식이 같다고 해서 원래의 극점에서 정의되는 것은 아닙니다. 인수를 먼저 살피면 형태 오류를 피하기 쉽습니다.

예제 1: 서로 다른 두 일차 인수

$F(x)=(3x+1)/[(x-2)(x+1)]$을 분해합니다. 분자 차수는 1, 분모 차수는 2이므로 나눗셈이 필요 없습니다.

$$\frac{3x+1}{(x-2)(x+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}.$$

분모를 없애면 다항식 항등식 $3x+1=A(x+1)+B(x-2)$가 됩니다. 원래 분수에서 $x=2,-1$은 제외되지만, 이 다항식 항등식에는 대입할 수 있습니다. $x=2$를 넣으면 $7=3A$, 따라서 $A=7/3$입니다. $x=-1$에서는 $-2=-3B$, 따라서 $B=2/3$입니다.

이제 통분해 되돌립니다.

$$\frac{7}{3(x-2)}+\frac{2}{3(x+1)} =\frac{7(x+1)+2(x-2)}{3(x-2)(x+1)} =\frac{9x+3}{3(x-2)(x+1)}=F(x).$$

등식은 $x\ne2,-1$에서 성립합니다. 숫자 하나만 넣는 확인은 약합니다. 틀린 두 식도 한 점에서는 우연히 같을 수 있습니다. 분자 전체가 다항식으로 일치하는지 확인해야 합니다.

예제 2: 중복 인수의 두 항 모두 쓰기

$G(x)=(2x+5)/[x(x+1)^2]$에는 $(x+1)^2$가 있으므로 첫째 거듭제곱과 둘째 거듭제곱이 모두 필요합니다.

$$G(x)=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^2}.$$

$x(x+1)^2$를 곱하면 $2x+5=A(x+1)^2+Bx(x+1)+Cx$. $x=0$에서 $A=5$, $x=-1$에서 $3=-C$이므로 $C=-3$입니다. $x^2$의 계수를 비교하면 $A+B=0$, 따라서 $B=-5$입니다. $x$의 계수도 독립적으로 확인하면 $2A+B+C=10-5-3=2$입니다.

세 분자를 다시 합치면

$$5(x+1)^2-5x(x+1)-3x =5x^2+10x+5-5x^2-5x-3x=2x+5.$$

따라서 $G(x)=5/x-5/(x+1)-3/(x+1)^2$이고 $x\ne0,-1$입니다. 일부러 틀린 틀 $A/x+B/(x+1)^2$은 일차 분모 항을 빠뜨렸습니다. 통분한 분자는 $A(x+1)^2+Bx$가 됩니다. $x^2$ 계수는 $A=0$을 요구하지만 상수항은 $A=5$를 요구합니다. 이 모순은 연립방정식이 어려워서가 아니라 항이 빠졌기 때문입니다.

예제 3: 기약 이차 인수에는 일차 분자

$H(x)=(2x^2+3x+5)/[(x-1)(x^2+1)]$에서 $x^2+1$은 실근이 없으므로 이차 인수로 둡니다.

$$H(x)=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}.$$

분모를 제거하면 $2x^2+3x+5=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)$입니다. $x=1$에서 $10=2A$, 즉 $A=5$입니다. 계수 비교로 $A+B=2$여서 $B=-3$, $-B+C=3$여서 $C=0$입니다. 상수항도 $A-C=5$로 맞습니다. $C=0$은 계산 결과이지, 처음부터 상수 분자만 가정할 근거가 아닙니다.

통분 확인은 $5(x^2+1)-3x(x-1)=2x^2+3x+5$입니다. 따라서 $H(x)=5/(x-1)-3x/(x^2+1)$, $x\ne1$입니다. $x^2+1$의 도함수는 $2x$이므로 두 번째 항은 계수를 조정해 치환 적분할 수 있습니다. 이차 인수가 중복되면 각 거듭제곱마다 별도의 일차 분자가 필요합니다.

예제 4: 가분수는 먼저 나누기

$J(x)=(x^2+4x+5)/(x^2-1)$에서는 분자와 분모가 모두 2차입니다. 다항식 나눗셈 또는 분모를 한 번 빼는 계산으로

$$J(x)=1+\frac{4x+6}{x^2-1}=1+\frac{4x+6}{(x-1)(x+1)}.$$

나머지만 분해합니다. $4x+6=A(x+1)+B(x-1)$에서 $x=1$이면 $10=2A$, $A=5$이고, $x=-1$이면 $2=-2B$, $B=-1$입니다. 따라서

$J(x)=1+\frac5{x-1}-\frac1{x+1},\qquad x\ne\pm1.$

몫인 1을 포함해 전체를 되돌려야 합니다. 진분수 둘의 합은 $[5(x+1)-(x-1)]/(x^2-1)=(4x+6)/(x^2-1)$입니다. 1을 더하면 분자는 $x^2-1+4x+6=x^2+4x+5$가 됩니다. 1을 잊으면 나머지는 맞아도 원래 식은 복원되지 않습니다.

적분한 뒤 미분으로 확인하기

예제 3을 $x=1$로 나뉜 각 구간에서 항별로 적분하면

$$\int H(x)\,dx =5\ln|x-1|-\frac32\ln(x^2+1)+C.$$

미분 결과는 $5/(x-1)-(3/2)(2x)/(x^2+1)=5/(x-1)-3x/(x^2+1)=H(x)$입니다. $x-1$에는 절댓값이 필요하고, 실수 $x$에 대해 $x^2+1$은 항상 양수입니다. 서로 떨어진 구간에서는 적분상수 $C$가 달라도 됩니다. 최종 미분 검사는 분해가 맞더라도 적분 중 2를 빠뜨린 오류를 잡아냅니다.

다른 적분 기법이 함께 필요하면 부분적분 예제를 참고하세요. 라플라스 변환의 역변환도 종종 유리식 분해로 시작합니다. Math Zen에서는 인수분해와 미분을 따로 연습한 뒤 긴 적분에서 합쳐 볼 수 있습니다.

다음 문제를 위한 확인 순서

차수 비교, 필요한 경우 나눗셈, 분모 인수분해, 각 거듭제곱에 맞는 항 작성, 계수 항등식 풀이, 전체 통분 복원의 순서를 따르세요. 네 예제의 형태는 달라도 마지막 검사는 같습니다. 복원에 실패하면 계수 계산 전에 빠진 항부터 찾습니다. 풀린 연립방정식도 누락된 항을 대신하지 못합니다.

제외된 값 근처의 모습도 힌트가 됩니다. 예제 1에서 $x-2$ 분모 항은 $x=2$ 근처의 발산을 만듭니다. 중복 인수는 일차 분모 항보다 강하게 발산할 수 있습니다. 하지만 한 극점만 보고 모든 계수를 확인할 수 없으므로, 대수적으로 다시 통분하는 것이 최종 증명입니다.