傾きを直感的に理解する：変化の割合、傾きの公式、y = mx + b

山道の標識に「8%勾配」と書かれています。この数字は、この先の道のようすを表しています。水平方向に100フィート進むごとに、道は進む向きに応じて8フィート上るか下ります。この距離を1フィートまで縮めると、変化量は0.08フィートになります。

この0.08が傾きです。傾きは、別の量（水平距離）が1単位変化するごとに、ある量（高さ）がどれだけ変化するかを表します。グラフでは、この二つの量が $y$ と $x$ になりますが、問いは同じです。$x$ が右に1歩進むとき、$y$ はどれだけ、どちらの向きに動くのでしょうか。

変化の割合、傾きの公式、$y = mx + b$、そして点と傾きから作る式は、どれもこの一つの答えを書き表す四つの方法です。

傾きは形ではなく変化の割合

傾きは見た目には直線の傾斜のように思えますが、実際には一つの数であり、その数は変化の割合を表しています。

古くからの定義は「yの増加量 ÷ xの増加量」です。直線上の二点の間で、縦方向の変化（$y$ の変化）がyの増加量、横方向の変化（$x$ の変化）がxの増加量です。

$$\text{傾き} = \frac{\text{yの増加量}}{\text{xの増加量}}$$

xの増加量で割ることで、単なる変化量が「1歩あたりの変化量」になります。yの増加量6、xの増加量3の傾きは、yの増加量2、xの増加量1の傾きと同じです。どちらも、$y$ が $x$ の1単位ごとに2ずつ増えることを表すからです。英語圏の代数の教科書では、この数を $m$ で表します。

傾きはある量を別の量で割ったものなので、単位をもちます。携帯電話料金なら1ギガバイトあたりのドル、時間に対する距離なら1秒あたりのメートル（つまり速さ）です。文章題に「〜あたり」という言葉が出てきたら、たいていそこに傾きが隠れています。

傾きの符号は向きを表します。左から右へ見ていくと、傾きが正の直線は上がり（右上がり）、負の直線は下がります（右下がり）。8%の坂道の傾きは、上り方向に進む運転手にとっては0.08、下り方向に進む運転手にとっては $-0.08$ です。傾きの大きさ（絶対値）は急さを表します。傾き5は傾き2より急で、$-5$ も $-2$ より急です。数としては $-5$ のほうが小さいにもかかわらず、です。

図は誤解を招くことがあります。y軸方向に引き伸ばせば、斜めの直線はどれも急に見えますが、傾きは一つも変わっていません。傾きは紙の上の角度ではなく、軸の単位で測るものだからです。

2点から傾きを求める方法

傾きの求め方は、何が与えられているかによって変わります。2点が分かっている場合は、y座標どうしを引いてyの増加量を、x座標どうしを引いてxの増加量を求めます。これが傾きの公式です。

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

$(2, 3)$ を点1、$(6, 11)$ を点2とします。

$$m = \frac{11 - 3}{6 - 2} = \frac{8}{4} = 2$$

この答えを変化の割合として読み直してみましょう。$x = 2$ から $x = 6$ までは4歩分で、1歩あたり2ずつ増えるなら、$y$ は8増えて3から11になるはずです。実際にそうなっています。

どちらを点1にするかは自由です。今度は $(6, 11)$ を点1とすると、二つの引き算はどちらも逆になります。

$$m = \frac{3 - 11}{2 - 6} = \frac{-8}{-4} = 2$$

yの増加量とxの増加量の両方の符号が変わったので、答えは変わりません。一方だけ順序を入れ替えると答えが狂います。$11 - 3$ を $2 - 6$ で割ると $\frac{8}{-4} = -2$ となり、逆向きに傾いた直線になってしまいます。分子で先に使った点は、分母でも先に使いましょう。

負の傾きも同じ公式から求められます。$(1, 7)$ と $(4, 1)$ の場合です。

$$m = \frac{1 - 7}{4 - 1} = \frac{-6}{3} = -2$$

右へ1歩進むごとに $y$ は2ずつ減るので、3歩進むと7から1まで下がります。

直線の傾きは、どの二点を選んでも同じです。$(4, 7)$ も最初の直線上にあり、$(2, 3)$ と組み合わせても、やはり $\frac{4}{2} = 2$ になります。変化の割合がこのように一定であることこそ、直線を直線たらしめているのです。

グラフから傾きを読み取る

グラフでは、引き算の代わりにマス目を数えます。格子点（直線がマス目の交点をちょうど通る点）を二つ選び、左の点から右の点まで数えます。上下に何マス動いたかがyの増加量、横に何マス動いたかがxの増加量です。左から右へ数えればxの増加量は必ず正になるので、符号はyの増加量だけで決まります。

どの直線も、次の四つの場合のいずれかに当てはまります。

グラフ上の直線	例	yの増加量 ÷ xの増加量	傾き
右上がり	$y = 2x + 1$	正 ÷ 正	正
右下がり	$y = -3x + 4$	負 ÷ 正	負
水平（x軸に平行）	$y = 5$	0 ÷ 任意のxの増加量	0
縦（y軸に平行）	$x = 5$	任意のyの増加量 ÷ 0	定義されない

最後の二行は、どちらも0が関係するので混同しやすいところです。水平な直線 $y = c$ では、どの点もy座標が同じなのでyの増加量は0で、0を0でないxの増加量で割ると0になります。この直線には傾きがあり、その傾きは0です。

y軸に平行な直線 $x = c$ では、どの点もx座標が同じなのでxの増加量は0になり、0で割る計算は定義されません。変化の割合として考えると、この直線は $x$ 方向に一歩も進まないので、「$y$ は $x$ が1歩進むごとにどれだけ変化するか」という問いには答えがありません。縦の直線について「傾きがない」と言われたら、「0」ではなく「定義されない」という意味に受け取ってください。

y = mx + b の形：傾きと切片で表す

この形は、直線を特徴づける二つの重要な数をひと目で分かるように示します。

$$y = mx + b$$

ここで $m$ は傾き、$b$ は $y$ の値のうち $x = 0$ のときの値、つまり直線がy軸と交わる点の高さです。この値をy切片と呼び、応用問題ではたいてい最初の量を表します。（日本の教科書では y = ax + b と書き、a を傾き、b を切片と呼びます。）

月額15ドルに加えて、データ1ギガバイトごとに2ドルかかる携帯電話プランがあるとします。$x$ ギガバイト使ったときの請求額を $y$ ドルとすると、次の式になります。

$$y = 2x + 15$$

データをまったく使わなければ支払いは15ドルで、これが切片です。1ギガバイトごとに2ドルずつ増え、これが傾きです。したがって5ギガバイトなら $2(5) + 15 = 25$ ドルになります。グラフをかくには、点 $(0, 15)$ をとり、そこから右に1、上に2進むことを繰り返します。

式は $Ax + By = C$ という形（一般形）で与えられることも多く、この形では傾きが隠れています。$y$ について解くと、傾きが現れます。

$$y = -\frac{A}{B}x + \frac{C}{B}$$

つまり、傾きは $-\frac{A}{B}$ で、これは $B \neq 0$ であればいつでも成り立ちます。$3x + 4y = 12$ の場合、両辺から $3x$ を引いて4で割ると $y = -\frac{3}{4}x + 3$ になります。傾きは $-\frac{3}{4}$、y切片は3です。

二つの切片からも確かめられます。この直線は $(0, 3)$ と $(4, 0)$ を通り、$\frac{0 - 3}{4 - 0} = -\frac{3}{4}$ です。$B = 0$ のときは式が $Ax = C$ となってy軸に平行な直線になりますが、これはちょうど $-\frac{A}{B}$ が0で割る計算になってしまう場合です。

点と傾きから作る式：分かっている点から出発する

傾きと1点は分かっていても、切片は分からないことがよくあります。点と傾きから作る式は、まさにその情報を使います。

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

言葉にすると、「分かっている点 $(x_1, y_1)$ から、$y$ は $m$ ずつ変化する（$x$ が1歩進むごとに）」という意味です。これは傾きの公式を変形したものです。直線上の別の点 $(x, y)$ について $\frac{y - y_1}{x - x_1} = m$ が成り立ち、両辺に $x - x_1$ を掛けると、点と傾きから作る式になります。

傾きが3で、点 $(2, 5)$ を通る直線の式を求めてみます。

$$y - 5 = 3(x - 2)$$

これだけですでに正しい答えです。y = mx + b の形に直すには、かっこをはずしてから両辺に5を加えます。

$$y - 5 = 3x - 6$$ $$y = 3x - 1$$

分かっている点で確かめると、$3(2) - 1 = 5$ です。

2点を通る直線の式を求めるには、もう一段階必要です。$(2, 3)$ と $(6, 11)$ の場合、先ほど計算したとおり傾きは2なので、$y - 3 = 2(x - 2)$ となり、整理すると $y = 2x - 1$ になります。もう一方の点でも $2(6) - 1 = 11$ と確かめられます。

分かっている情報に合わせて式の形を選びましょう。y = mx + b の形は、グラフをかくときや、携帯電話プランのように初期値がある問題に向いています。点と傾きから作る式は、1点と傾き、または2点が分かっているときにいちばん早く式が作れます。一般形は係数を整数のまま保てて、二つの切片がすぐに求められ、消去法で解くときに式の項をそろえやすい形です。

平行な直線と垂直な直線

傾きが同じ二本の直線は同じ割合で上るので、2直線の縦方向の間隔は変わりません。切片が異なれば、二本の直線は平行で、決して交わりません。$y = 2x + 1$ と $y = 2x - 4$ は $m$ が同じで $b$ が異なります。

垂直に交わる2直線には、もう少し分かりにくい規則があります。どちらもy軸に平行でなければ、2直線の傾きは互いに負の逆数になります。分数の分子と分母を入れ替えて、符号を変えたものです。言い換えると、二つの傾きの積は $-1$ です。傾き2には $-\frac{1}{2}$ が、$-\frac{3}{4}$ には $\frac{4}{3}$ が対応します。

この規則は、1歩を回転させてみると分かります。傾き2の直線に沿った1歩は、右に1、上に2（xの増加量1、yの増加量2）です。この1歩を反時計回りに90度回すと、二つの数が入れ替わって片方の符号が変わり、xの増加量は $-2$、yの増加量は1になります。新しい傾きは $\frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$ です。

したがって、$y = 2x - 1$ に垂直で $(4, 1)$ を通る直線の傾きは $-\frac{1}{2}$ で、式は $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 4)$、つまり $y = -\frac{1}{2}x + 3$ です。y軸に平行な直線という例外は本当にあります。水平な直線とy軸に平行な直線は垂直に交わりますが、y軸に平行な直線には掛け合わせる傾きがありません。OpenStaxの一次関数の節には、平行な直線と垂直な直線の例題や、直線の式を求める練習がさらに載っています。

傾きの先にあるもの

直線の傾きはどこでも同じですが、曲線ではそうはいきません。曲線上の二点の間でも「yの増加量 ÷ xの増加量」は計算でき、その値は平均変化率、つまり2点を通る割線の傾きになります。$f(x) = x^2$ について、$x = 1$ から $x = 3$ までを考えます。

$$\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = 4$$

2点目を $x = 1$ に近づけていくと、平均変化率は変わっていきます。1から2の区間では3、1から1.5では2.5、1から1.1では2.1です。値は2に近づいていき、これが $x = 1$ における接線の傾きです。この極限としての傾きが微分であり、微分ガイドではこの図から出発して微積分を組み立てています。

もっと代数に近いところでは、傾きが一定であることこそが一次関数を一次関数たらしめています。これは関数ガイドで、ほかの代表的なグラフの形とあわせて説明しているとおりです。また、二元一次方程式はそれぞれ一本の直線を表すので、傾きから連立方程式の振る舞いを予測できます。傾きが異なれば2直線はちょうど1回交わり、傾きが同じで切片が異なれば決して交わらず、同じ直線を表す二つの方程式はすべての点を共有します。

傾きでよくある間違い

• xの増加量 ÷ yの増加量 にしてしまう。 横の変化を縦の変化で割ると逆数になり、最初の2点では2ではなく $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ になってしまいます。$y$ が8変化し、$x$ が4変化したのですから、傾きは1より大きいはずです。
• 点の順序がばらばらになる。 分子と分母で引き算を始める点が違うと、符号が逆になります。先にどちらを点1、点2にするか決めておきましょう。
• 負の座標で符号を落とす。 $(-3, -4)$ と $(1, 4)$ の場合、yの増加量は0ではなく $4 - (-4) = 8$、xの増加量は $1 - (-3) = 4$ なので、傾きは2です。負の座標を代入するときは、必ずかっこを付けましょう。
• y軸に平行な直線の傾きを0としてしまう。 平らな床の傾きは0です。壁の傾きは定義されません。
• 切片を傾きの急さと取り違える。 直線 $y = 0.5x + 100$ は高い位置から始まりますがゆっくり上り、$y = 3x + 1$ は低い位置から始まりますが6倍の速さで上ります。切片は直線を上下に動かすだけで、急さを変えるのは $m$ だけです。

式の形を行き来する練習

一本の直線を選び、2点、グラフ、$y = mx + b$、点と傾きから作る式、一般形のすべての形で表してみましょう。どの変換も迷わずできるようになるまで行き来し、水平な直線やy軸に平行な直線も混ぜて、分子の0と分母の0が同じものに見えなくなるまで練習しましょう。

Math Zen には傾きだけを練習する専用のドリルはないので、いちばん近い練習は二つのトピックに分かれています。切片やグラフの読み取りはグラフ分析、方程式や連立一次方程式を解く練習は代数で、連立一次方程式では傾きによって2直線が交わるかどうかが決まります。一次方程式と傾きはSAT、ACT、GEDにも出題されます。SAT数学ガイドでは、それらがこの試験のどこに位置するかを説明しています。

ここに出てきた公式はどれも、あの道路標識の問いに答えています。$y$ は、$x$ が1歩進むとき、どれだけ変化するのか。公式を忘れてしまったら、目の前の数字にその問いを投げかけて、公式をもう一度組み立ててみましょう。