連立方程式を直感的に理解する：すべての条件を満たす値
一つの方程式は一つの条件を示します。カフェがコーヒーと紅茶を別々の価格で販売している場合、一日の総売上から二つの販売数の関係は分かりますが、通常はそれぞれの数までは分かりません。もう一つ独立した情報があれば、両方を特定できます。
それが連立方程式の役割です。一つの命題を真にするものではなく、複数の命題を同時に真にするものを考えます。「連立」という言葉は難しそうですが、中心となる考え方は日常的です。すべての手がかりに合う値を見つけるのです。
解はすべての方程式を満たす必要がある
次の連立方程式を考えます。
値の組 と は、両方の方程式を真にするので解です。第一式では 、第二式では になります。
一方、 と の組は第一式を真にしますが、第二式は真にしません。したがって、連立方程式の解ではありません。連立方程式で必要なのは「または」ではなく「かつ」です。第一式と第二式の両方が成り立たなければなりません。
これは代数ガイドで説明した等式の意味を、複数の条件に適用したものです。行が変わっても、変数の表すものは変わりません。どこでも同じ と同じ が成り立つ必要があります。
グラフは代数が探しているものを示す
二変数の一次方程式は、それぞれ一本の直線を表します。方程式 が一本の直線を、 が別の直線を表します。第一の直線上の点は第一式を満たし、第二の直線上の点は第二式を満たします。
連立方程式の解は両方の直線上になければならないため、二直線の交点になります。
この図から、二変数の二つの一次方程式には三つの結果があり得ることが分かります。
- 二直線が一度交わり、一つの解が得られる。
- 異なる平行線は交わらないため、解がない。
- 二つの方程式が同じ直線を表すため、解が無数にある。
グラフは、どのケースなのかを把握し、解を概算するのに適しています。しかし、正確な分数や目盛りの間にある交点を求めるには信頼性が下がります。代数的な方法なら、作図の精度に頼らず同じ交点を求められます。
この対応は逆向きにも使えます。代入法や消去法で予想外の結果が出たら、直線を思い浮かべてください。矛盾が出れば二直線は平行で、恒等式が出れば二直線は重なっています。
代入とは等しいものを等しいもので置き換えること
代入法は、一つの方程式から変数が何に等しいかがすでに分かるときに最適です。上の第二式を次のように書き換えます。
第一式で が使われている箇所に、 を入れます。
未知数は一つだけになりました。
式 に戻ると、 です。解は になります。
不思議なことは何も起きていません。方程式 は、 と が同じ量だと示しています。一方を他方で置き換えても、第一式が真であることは保たれます。代入法によって、二つの未知数を含む二つの方程式が、一つの未知数を含む一つの方程式になります。
変数がすでに一つだけで表されている場合や、一つの簡単な手順でそうできる場合は、代入法を選びます。変数について解くとすぐに複雑な分数が生じるなら、消去法のほうが短いことがあります。
消去法は手がかりを組み合わせる
元の連立方程式に戻ります。
二つの式を加えます。 と が打ち消し合います。
したがって です。これをどちらかの元の方程式に代入すると、 が得られます。
消去法が成り立つのは、等しい量どうしに等しい量を加えているからです。右辺も加えるので、左辺どうしを加えられます。元の二つの方程式を満たすどの組も、組み合わせた方程式を満たさなければなりません。
係数がすぐには打ち消し合わないこともあります。次の連立方程式を考えます。
第二式を 倍します。
これを第一式に加えると です。すると なので、 になります。方程式全体をゼロでない数で掛けても、解は変わりません。同じ直線を別の尺度で表しただけです。
方程式がすでに標準形で、係数の一組が等しい場合、符号だけが反対の場合、または小さい公倍数を持つ場合には、通常、消去法が効率的です。
二つの手がかりから作る一つの文章題
ある学校のクラブがチケットを 30 枚販売したとします。学生用チケットは 4 ドル、大人用チケットは 7 ドルで、クラブの収入は 156 ドルでした。学生用チケットの枚数を 、大人用チケットの枚数を とします。
チケットの総数から次の式が得られます。
売上金額から次の式が得られます。
第一式を 倍して加えます。
したがって 、 です。二つの事実を確認すると、チケットは 30 枚あり、 になります。
最も難しいのは消去法ではありません。一つの方程式が枚数を表し、もう一つが収入を表すと判断することです。多くの応用問題では、各文がそれぞれ異なる条件を与えます。単位を含めて変数を定義し、各条件を別々に式へ変換してから、連立方程式を解きます。
解なしと無数の解も意味のある答え
次を考えます。
第一式を二倍すると ですが、第二式では同じ式が 10 に等しいとされています。消去法を使うと となり、矛盾します。両方を満たす組はありません。グラフでは二直線の傾きが同じで切片が異なるため、平行になります。
次に、第二式を次のように変えます。
これは第一式のちょうど二倍です。消去法を使うと になります。これは常に真ですが、一つの組を特定するものではありません。両方の方程式が同じ直線を表すので、その直線上のすべての点が解になります。
これらの結果を計算の失敗だと考えないでください。与えられた情報について何かを示しています。矛盾は、条件どうしが両立しないことを意味します。恒等式は、一つの手がかりがもう一つを繰り返しており、新しい情報を加えていないことを意味します。
方程式の形から方法を選ぶ
グラフ、代入法、消去法は、同じ問題を解く方法です。どれが効率的かは、方程式の書かれ方によって決まります。
図やおおよその交点が重要な場合はグラフを使います。一つの変数がすでに単独で表されている場合や、係数が 1 または -1 の場合は代入法を使います。係数がすでにそろっている場合や、簡単な倍数でそろえられる場合は消去法を使います。
電卓で二つの方程式をグラフにして交点を表示することもできますが、それでも代数は重要です。グラフの表示範囲によっては交点が隠れたり、ほぼ平行な直線が平行に見えたり、正確な分数を求める問題なのに小数だけが表示されたりします。グラフはモデルや確認手段として使い、何が解になるのかを理解する代わりにはしないでください。
方程式が増えると、消去法は行基本変形や行列を使う方法へ発展します。より広い見方は行列ガイドで説明しています。よく知っている二つの方程式の手順にも、共通解を変えずに条件を組み合わせるという中心的な考え方がすでに含まれています。
元の連立方程式で組を確認する
最後に、すべての元の方程式へ代入するのが最も安全です。自分で作った簡略化後の方程式だけを確認してはいけません。その方程式は、連立方程式全体よりも含む情報が少ないからです。
最初の例の について確認します。
どちらの命題も真なので、この組が解だと確認できます。また、答えが状況に合っているかも考えましょう。チケットの枚数が負になっていれば、文章を誤って式に変換した代数には合っても、現実の問題には合いません。
よくあるのは手順上のミスです。方程式の一項だけを掛ける、式を足すときに符号を変えてしまう、誤った式へ代入する、一つの変数を求めたところで止めるといったものです。一つの操作を方程式全体に行い、項を縦にそろえて書けば、その大半を防げます。
適切な手順を見分ける練習
習熟に必要なのは方法を選ぶことであり、同じ方法を二十回続けて繰り返すことではありません。代入法に向く連立方程式と消去法に向くものを混ぜて練習します。解なしや無数の解のケースも含めれば、 と は驚きではなく情報として見られるようになります。
Math Zen の代数トピックには、連立一次方程式を集中的に練習するスキルがあります。手順と意味を結び付けておきましょう。各方程式は一つの条件であり、解はそのすべてを満たす必要があります。
連立方程式は、関係のない二つの作業を積み重ねたものではありません。複数の手がかりで制約された一つの探索です。グラフでは答えを交点と呼び、代入法では置き換えとして扱い、消去法では一つの変数が消えた後に残るものとして扱います。三つはすべて、同じ問いを異なる角度から見ています。すべての条件を同時に真にする値は何でしょうか。
よくある質問
- 連立方程式とは簡単に言うと何ですか？
- 連立方程式とは、未知数がどの方程式でも同じ値を取る必要がある、複数の方程式の集まりです。各方程式が一つの条件になります。解とは、すべての条件を同時に真にする値または順序対です。x と y の二つの一次方程式なら、解は二本の直線に共通する点です。
- 代入法と消去法はどう使い分けますか？
- 一つの方程式ですでに変数が単独で表されている場合や、複雑な分数を使わずにそうできる場合は、代入法を使います。同じ係数や符号が反対の係数がすでに見えている場合、または方程式を掛けることで簡単に作れる場合は、消去法を使います。どちらの方法も同じ解集合を保つので、計算が簡単になるほうを選びましょう。
- 連立方程式が解なしや無数の解になるのはなぜですか？
- 異なる二本の平行線は交わらないため、両方の方程式を満たす順序対はありません。また、二つの方程式が同じ直線を表す場合もあります。そのときは直線上のすべての点が両方を満たし、解は無数にあります。代数では、これらは 0 = 5 のような矛盾や、0 = 0 のような恒等式として現れます。
- 連立方程式の解はどう確認しますか？
- 求めたすべての値を、元のすべての方程式に代入します。各方程式が真の命題になる場合に限り、その組は解です。最後の方程式だけを確認しても十分ではありません。計算ミスによって、一つの条件には合っても連立方程式全体には合わない値が出ることがあるからです。
- 消去法は実際に何をしていますか？
- 消去法は二つの正しい方程式を組み合わせ、一つの変数を打ち消します。こうして共通解を失わずに未知数を一つ減らします。方程式全体をゼロでない数で掛けても、その直線は変わりません。また、等しい量を加えても等しさは保たれるため、簡略化した方程式にも、もう一つの変数を求めるのに必要な情報が残ります。
