行列を直感的に理解する（移動を変換する機械）

行列は、できる生徒が一気に自分を愚かだと感じてしまう単元です。ここまでは、どの演算にも絵がありました。足し算は合わせること。掛け算は伸縮。先週の記事のベクトル演算さえ、歩ける移動でした。そこへ誰かが二つの数の表を書き、「行かける列」で掛けると宣言すると、絵が消えます。規則は動きます。それが何をしているのか、誰も言えません。

その結果、ベクトルの記事で見たものの兄弟のような、第二の二重映しが生まれます。代数の授業では、行列は数の箱です。後の授業では「線形変換」になり、答えのように聞こえて何も説明しない言葉です。この記事がその橋になります。行列とは移動を受け取って移動を返す機械であり、表の各列は軸の一本がどこへ着いたかの記録であり、掛け算の規則は二つの機械を順に動かすための帳簿付けにすぎません。

移動を変換する機械

このシリーズはひとつの考えに繰り返し立ち返ってきました。数は向きを指す、という考えです。負の数は、後ろ向きを指すふつうの数です。虚数は横向きを指す数で、直線を離れて平面へ飛び出します。ベクトルは、この考えがついに自由になった姿、どんな向きでも持てる量です。移動が手元にあれば、次の問いはほとんど強制されます。移動に働くものは何か。「東へ3、北へ4」を受け取って、別の移動に変えるものは何か。

その働き手が行列です。

伸ばしたり、潰したり、回したり、裏返したりできる設定を持った機械を想像してください。移動を渡すと、移動が返ってきます。2行2列の行列は、平面に働くそのような機械の完全な指示です。3行3列の行列は、空間における同じ考えです。数の表は対象ではありません。表は仕様書です。

だから行列は、大きなベクトルではありません。ベクトルは移動です。行列は移動を変える規則です。二つを混同するのは、旅と、進路をずらす天気を混同するようなものです。

列は軸の行き先

この単元全体を読めるようにしてくれる事実が、ここにあります。行列があらゆる可能な移動に何をするかを知る必要はありません。知るべきは、そのうち二つへの効果だけです。東へ一歩と、北へ一歩。ほかのどの移動もこの二つの組み合わせなので、機械が任意の移動に及ぼす効果は、軸への効果の同じ組み合わせです。

その二つの結果を列として書けば、行列が手元にあります。

機械が東へ一歩を (2, 1) へ、北へ一歩を (0, 3) へ送るとします。行列は、1列目が 2, 1、2列目が 0, 3 の2行2列の表です。移動 (3, 4)、つまり「東へ3、それから北へ4」を入れると、出力は1列目のコピー3つ足す2列目のコピー4つ、3倍の (2, 1) 足す4倍の (0, 3)、つまり (6, 3) 足す (0, 12)、つまり (6, 15) です。それが行列とベクトルの積です。教科書の行かける列の儀式は、この同じ和を、矢印を描かなくても計算機が走らせられるように書いたものです。

ベクトルの記事から来た読者は、この和を見覚えるはずです。伸ばしたり縮めたりした移動を足しているのです。行列は新しい種類の算術を発明してはいません。移動の算術を、列ごとに再利用しているだけです。

単位行列は、何もしない機械です。東へ一歩は東へ一歩のまま、北へ一歩は北へ一歩のままなので、その列はまさに二本の軸方向の移動です。何を入れても、同じものが返ってきます。倍率100パーセント、回転なしのコピー機であり、この単元に数の1の対応物がある理由でもあります。

掛け算は「これを適用し、それからあれ」

発明されたように感じる規則、二つの行列を掛けることは、格子をまとった関数の合成です。A に B を掛けるとは、B を先に、A をあとに行う一つの機械を組み立てることです。移動を B に入れ、出てきたものを A に入れます。積 AB は、その合成機械の仕様書です。

だから順序が問題になり、だから後ろ向きに感じます。AB は BA ではありません。靴下を履いてから靴を履くことが、靴を履いてから靴下を履くことではないのと同じ理由です。右の機械が先に働くのは、すでに関数をそう書いているからです。f(g(x)) は g を先に適用します。行列の積も同じ約束を受け継いでいます。

行かける列のレシピがある理由もこれです。AB の列は、合成機械が軸に何をするかであり、つまり B の列に A を適用したものです。その一つひとつが行列とベクトルの積であり、行列とベクトルの積の一つひとつが内積の積み重ねです。教科書の儀式は、同じ考えの三層を、一つの暗記法に圧縮したものです。

役に立つ帰結がひとつあります。二つの行列がいつ掛けられるかを暗記するのをやめられます。掛けられるのは、最初の機械から出てくる移動が、二番目の機械に入る大きさになっているときです。2行3列の行列は3次元の移動を食べ、2次元の移動を返します。2次元の移動を食べる2行2列の右に座れますし、3次元の移動を返す3行4列の左にも座れます。内側のサイズが一致しなければならないのは、そこが同じ通路だからです。

行列式は、面積がどれだけ残るか

二本の軸方向の移動を辺とする単位正方形を、機械に入れてください。像は、二つの列を辺とする平行四辺形です。行列式は、その平行四辺形の符号付き面積です。

行列式が2なら、機械は面積を2倍にします。1/2なら半分にします。0なら、平行四辺形は線分や点につぶれています。機械は平面を押しつぶし、異なる二つの移動が同じ場所に着け、情報は捨てられています。負なら、機械は向きを反転させ、反時計回りの正方形を時計回りに変えています。負の数が直線上で行うのと同じ逆転です。

計算のレシピ、2行2列なら ad − bc、その先の余因子展開は、その面積を求める方法です。意味ではありません。平行四辺形が見えれば、「行列式が0」は謎の失敗ではなく絵になります。二つの列が同じ直線上を指すので面積を張らず、機械はその直線への射影と区別がつかない、という絵です。

行列式が0だと逆行列が禁じられる理由もこれです。それが次の節の主題そのものです。

逆とは取り消し

逆行列は取り消しボタンです。A が移動 v を移動 w に送るなら、A の逆行列は w を v に戻します。機械を動かしてからその逆行列を動かすと単位行列になります。出発した場所に着き、何も起きなかったかのようになります。

機械を取り消せるのは、情報を捨てていないときに限られます。またしても行列式の判定です。異なる二つの入力の移動が同じ出力を出せるなら、ある出力がどの入力から来たかを正直に言う方法はなく、逆行列は存在しません。どの出力もちょうど一つの入力から来ているなら、取り消しの機械は存在し、しかも一つだけです。

学校ではこれは、行列式分の1と、並べ替えた成分の表を含む公式としてやって来ます。公式は本物で、練習する価値もありますが、帰結です。考えは「フィルムを逆回しする」であり、場面を潰してしまっていないときだけ機能します。

連立一次方程式は、同じ考えの衣装替えです。代数は、未知数が二つの方程式を消去法で解くことを教えました。その二つの方程式は、未知の移動に働く行列が、既知の移動に等しいと言っているのです。連立方程式を解くことは、逆行列を適用することです。解がない、あるいは無限個あるとき、行列式は0です。機械は平面を押しつぶし、右辺は残った直線を外すか、その直線の上に無限通りの仕方で着きます。不能と不定として暗記した場合は、潰れていく機械がただ一つの取り消しを持てない、二つの仕方です。

固有ベクトルは向きを変えない

ほとんどの移動は機械に入り、別の向きを指して出てきます。少数の特別な移動だけが、入ったときと同じ向きを指して出てくるだけで、長くなったり短くなったりします。それらの移動が固有ベクトルで、伸縮の倍率が固有値です。

絵は風洞です。ほとんどの矢印は横へはじかれます。固有ベクトルは、風が長くしたり短くしたりするだけの矢印です。倍率が2なら、機械はその移動を2倍にします。倍率が1なら、その移動には何もしません。倍率が0なら、その移動を潰して何もなくします。これは前の二節の潰しを、一つの方向に沿って見たものです。倍率が負なら、伸ばすだけでなく移動を反転させます。

これは後の章で高度に見えるが実はそうでない、ただひとつの考えです。固有ベクトルを求めるとは、こう問うことです。この機械はどの方向に沿って、ふつうの数の掛け算のように振る舞うのか。それらの方向が手元にあれば、その座標系では機械は単純になります。だから行列を使うあらゆる分野、微分方程式からウェブページの順位付けまで、固有ベクトルを探し始めます。

間違いはどこから来るのか

行列の誤りは3か所に集中しており、どれも描かれなかった絵です。

第一は、成分どうしを掛けてしまうことです。同じ大きさの二つの表を見て、行列の足し算と同じように数をペアにします。足し算は本当に成分ごとです。掛け算は足し算ではありません。一つの機械を動かし、それからもう一つを動かすことです。二つの2行2列は別の2行2列を生みますが、出力の各列は B の列に A を適用したものであり、対応する四組のマスを掛けたものではありません。

第二は、順序を無視することです。A と B が違うことをするなら、AB と BA は違う機械です。ほとんどいつもそうです。出会った順に因数を書くこと、働く順ではなく出会った順に書くことは、靴下と靴の誤りであり、この章全体でいちばん多い代数の滑りです。

第三は、行列式0を、つぶれた平行四辺形ではなく壊れた電卓として扱うことです。機械は何かしています。すべての移動を直線の上へ、あるいは原点へ送っています。ただ、取り消せないだけです。「逆行列なし」は宇宙の拒絶ではありません。次元を一つ失った機械の記述です。

Math Zenの出番

行列はベクトルの階の上に載っており、そこのぐらつきはすぐに表面化します。列を足すことはベクトルの足し算です。「行かける列」の一歩は内積です。2行2列の行列式は平行四辺形の符号付き面積で、ベクトルの記事が平行四辺形の法則に使ったのと同じ幾何です。それらの演算が視覚的ではなく言葉のままなら、行列の計算はどれも儀式になります。

Math Zenのバケット式の進行は、階を順番どおりに保ちます。序盤のバケットは符号付きの計算と単位円を鍛えます。ベクトルのバケットは足し算、スカラー倍、内積を反射にします。行列のバケットはそれらを所与として、新しい演算を鍛えます。掛けること、行列式を求めること、逆行列を求めること、連立方程式を解くこと、固有値を求めること。まさにこの記事の絵の一覧を、毎日できる短い問題に変えたものです。間隔反復の練習こそが、「列は軸の行き先」を、かつて納得した一文から、試験問題の二行目で使う反射へと変えるものです。

まとめ

行列は、移動を受け取って移動を返す機械です。数の表は仕様書です。各列は軸の一本がどこへ着いたかであり、ほかのどんな移動への効果も、それらの列の対応する組み合わせです。二つの行列を掛けることは、右の機械を先に動かす機械を組み立てることです。行列式は面積がどれだけ残るかで、機械が平面を押しつぶすと0です。逆行列は取り消しボタンで、何もつぶされていないときに限って存在します。固有ベクトルは、機械が向きを変えずに伸ばす、まれな移動です。

こうしてひとつにまとめて持てば、この単元にはひとつの考えしかなく、それがどんどん大きな機械に適用されているだけだと分かります。二つの教室の二重映しは、行列は本当は数の表なのか、それとも本当は変換なのかと問うのをやめた瞬間に解消します。行列は本当は機械であり、表は軸がどこへ行ったかの一覧にすぎないのです。