偏微分を直感的に理解する（一方向だけの傾き）

普通の導関数は曲線の傾きです。入力は一つ、出力は一つ、各点に出力の変わり方を示す数が一つあります。関数が二つの入力を持った瞬間、この絵は崩れます。三次元のグラフは曲面であり、曲線ではなく、曲面には一つの傾きがありません。同じ点から東へ歩けば緩い登り、北へ歩けば下り、ということが起きます。

偏微分は、その正直な置き換えです。より狭い問いに答えます。ほかの入力をすべて止めて、この方向だけに歩いたとき、傾きはいくらか。章の残り、混合偏導関数、勾配、多変数の連鎖律は、同じ問いを複数の道に沿って尋ねたものです。

曲面には一つの傾きがない

一変数の関数は平面に曲線を描きます。二変数の関数 f(x, y) は空間に曲面を描きます。各対 (x, y) は床の点、f(x, y) はその点の上の屋根の高さです。

お椀

$$f(x, y) = x^{2} + y^{2}$$

を取ります。原点で高さは 0。(1, 0) では 1。(0, 2) では 4。(1, 2) では 5。(1, 2) に立つと、「その傾き」と呼べる一つの数はありません。x 方向に歩けば屋根は上がり続けます。y 方向に歩けばもっと速く上がります。斜めに歩けば両方の混ざったものになります。

一変数の微積分を身につけた人が地面が動くように感じるのはこのためです。信頼していた導関数は、局所的な変化の完全な記述でした。曲面上では、選んだ一回の歩きの記述にすぎません。

天気図や地形図はすでにこの考えを使っています。等高線は同じ高さの点の集まりです。線が詰まれば曲面は急、広がれば緩やかです。偏微分は、その地図の格子線の一本に沿って歩き、もう一本を無視したときに測る傾きです。

一つの入力を止める

曲面を読めるようにする手は切片です。

y を定数、たとえば y = 2 に固定し、高さが x にどう依るかだけを見ます。関数は

$$g(x) = f(x, 2) = x^{2} + 4$$

に縮み、x 軸の四単位上に乗った普通の放物線になります。導関数は 2x。この数が、直線 y = 2 に沿って評価した f の x に関する偏導関数です。x = 1 では 2 です。(1, 2) に立ち、x 方向にごく小さな一歩を踏み出せば、屋根は歩幅あたりおよそ 2 高さ単位上がります。

代わりに x を、たとえば x = 1 に固定すると、切片は

$$h(y) = 1 + y^{2}$$

で、導関数は 2y。y = 2 ではこの傾きは 4 です。同じ点、別の歩き、別の傾き。矛盾はありません。二つの違う問いを立てたのです。

計算上の規則は一変数の微積分と同じです。$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めるには y を定数とみなして x で微分します。$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めるには x を定数とみなして y で微分します。お椀では $\frac{\partial f}{\partial x}$ = 2x、$\frac{\partial f}{\partial y}$ = 2y。もう一方の変数は現れません。$x^{2} + y^{2}$ の各項が一つの入力にしか依らないからです。積 $3x^{2}$y では両方現れます。$\frac{\partial}{\partial x}$ は 6xy を与えます。3y が $x^{2}$ の固定係数だからです。$\frac{\partial}{\partial y}$ は $3x^{2}$ を与えます。$3x^{2}$ が y の固定係数だからです。

「他方の変数を定数とみなせ」は試験の裏技ではありません。それが切片です。格子線の上に立ち、その線に沿った屋根の傾きを尋ねているのです。

曲がった d は警告ラベル

記号 ∂、曲がった d は、この切片をほかの二つの導関数と混同しないためにあります。

$\frac{df}{dx}$ の普通の d は一変数関数のものです。誰かが f(x, y) に対して $\frac{df}{dx}$ と書けば、y が何をしているかは言っていません。y が独立で凍っているなら偏微分です。y が密かに x の関数なら、x は二つの通路を同時に通って出力を変えられ、全微分が必要です。曲がった d は第一の読みを告げます。この入力は動き、ほかは動かない。

記法はそれから同じ意味の二つの習慣に分かれます。

• ライプニッツ形式：$\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial f}{\partial y}$
• 添字形式：$f_x$ と $f_y$

どちらも一つの切片の傾きです。高階の偏導関数は添字や分母を積みます。$f_xx$ は「x で切り、その傾きをまた x で切る」、その格子線に沿った普通の二階導関数です。$f_xy$ は「x で切り、y に歩くとその x の傾きがどう変わるかを尋ねる」です。

曲がった d は新しい算法ではありません。べき乗の法則、積の法則、連鎖律はすべてそのままです。新しい情報は、どの変数が凍っているかです。それを忘れることは、主題全体を新しい主題として読み違えることです。

混合偏導関数はねじれを測る

$f_x$ があれば、もう一度微分できます。x で微分すると $f_xx$、東西の切片の凹凸です。y で微分すると混合偏導関数 $f_xy$：東西の傾きそのものが北へ歩くとどう変わるかです。

お椀 $x^{2} + y^{2}$ では $f_x$ = 2x なので $f_xy$ = 0。東西の傾きは x だけに依ります。北へ歩いても変わりません。曲面は円いお椀で、回転対称、ねじれはありません。

鞍面

$$f(x, y) = x^{2} - y^{2}$$

では一次の偏導関数は $f_x$ = 2x と $f_y$ = -2y。混合もまた両方ゼロです。面白い混合の例は積

$$f(x, y) = x^{2} y$$

です。ここでは $f_x$ = 2xy、次いで $f_xy$ = 2x。反対側から $f_y$ = $x^{2}$、次いで $f_yx$ = 2x。二つの混合は一致します。

この一致は普通の場合であり、偶然ではありません。多変数微積分の入門で扱う滑らかな関数では、混合偏導関数は等しい。東へ行ってから北へ行くときに感じるねじれは、北へ行ってから東へ行くときに感じるねじれです。定理には技術的な仮定があります（混合が連続であること）。絵にはありません。折れのない曲面では、二つの小さな歩みの順番は問題になりません。

教科書が「$f_xy$ = $f_yx$ を確かめよ」と求めるとき、曲面が一方の順番ではねじれていて他方ではねじれていない、ということがないかを見ています。入門で出会う関数ではすべて通り、計算は切片の規則の練習であって新しい考えではありません。

勾配は傾きを集める

ある点での二つの一次偏導関数は二つの数です。対に書くと、入力平面のベクトルになります。

$$\nabla f = (f_x, f_y)$$

このベクトルが勾配です。各成分は一つの切片の傾きなので、全体は移動です。「東へこれだけ、北へこれだけ」、高さではなく床の座標です。移動は最も急な上りを指します。長さはその登りがどれほど急かです。反対の移動 -$\nabla f$ は下りを指すので、勾配降下は勾配に逆らって歩きます。

お椀 $x^{2} + y^{2}$ の (1, 2) では勾配は (2, 4) です。その床の点から屋根の上へいちばん速い道はベクトル (2, 4) の向き、つまり (1, 2) 自身の向きです。円いお椀で最も急な道は放射状に外へ向かいます。絵がすでに示唆し、勾配が確かめます。

両方の偏導関数が消える点は臨界点です。勾配の移動の長さはゼロです。一次ではどの向きも上りでも下りでもありません。極小（お椀の底、原点）、極大（丘の頂）、鞍点（峠：一方の切片では極小、他方では極大）になり得ます。鞍面 $x^{2} - y^{2}$ は原点に臨界点を持ちます。x の切片は谷、y の切片は尾根、勾配はゼロです。二つの一次の傾きが平らな近傍ではなく平らな一瞬に打ち消し合うからです。

多変数の最適化はこの探索です。勾配がゼロの移動になる場所を見つけ、二階の偏導関数、あるいは近くの切片を読んで、お椀か丘か峠かを見ます。二階の判定 D = $f_xx$ $f_yy$ - ($f_xy$)² はその読み方の梱包版です。D そのものが考えではありません。二つの切片と、その間のねじれが点を分類するという考えです。

多変数の連鎖律は、動きの中の同じ組み合わせです。道 (x(t), y(t)) が床を歩けば、道に沿った高さの変化率は

$$\frac{df}{dt} = f_x x'(t) + f_y y'(t)$$

つまり勾配と道の速度の内積です。曲面は傾きの移動を出します。道は運動の移動を出します。その一致が、実際に歩いている人の高さが変わる速さです。道が勾配と平行なら、高さは可能な限り速く変わります。垂直なら、高さは瞬間的に一定で、それが等高線の幾何学的な意味です。

誤りはどこから来るか

偏微分の誤りはほとんどすべて、凍らせるべき変数を凍らせ損ねることです。

一つ目は、目に入るものをすべて微分すること。$3x^{2}$y の $\frac{\partial}{\partial x}$ を求められて、学生は 6xy + $3x^{2}$、両方の偏導関数の和、あるいは y を x とみなした 6x を書きます。切片の規則はもっと厳しい。この導関数のあいだ y は数です。答えに残るのは係数としてだけです。

二つ目は、曲面に一つの傾きがあると信じること。高さで色を塗る作図ソフトはこれを隠し得ます。目が一つの急さを読むからです。ある点の傾きを尋ねたら、「どの向きに？」と答えねばなりません。偏微分はその答えの一つです。勾配は軸に沿った答えの集まりです。どちらも屋根の「その」傾きではありません。

三つ目は ∂ と d を混ぜること。y が本当に x に依るなら、y を凍らせるのは状況の誤った模型です。関連する変化率や一部の微分方程式は全微分を必要とし、依存の各通路に寄与させます。ほかの入力が本当に独立なとき、あるいは一つの通路をわざと調べるとき、偏微分は正しいです。

四つ目は、ゼロの勾配を保証された極小とみなすこと。$x^{2} - y^{2}$ の原点は臨界点であり、極小でも極大でもありません。一次の平坦は二次の平坦ではありません。切片はやはり見る必要があります。

五つ目は $\nabla f$ を f の値として読むこと。勾配は高さではありません。傾きから作った、入力平面上の移動です。両者を混同するのは、ベクトルの記事が警告した同じ取り違え、向きを場所として扱うことです。

Math Zen の位置

偏微分は普通の導関数の上に乗り、行列がベクトルの上に乗るのと同じです。一変数の規則がまだ言葉なら、切片はどれも儀式になります。流れていれば、偏微分は追加の判断一つ、どの入力が動いているかです。

Math Zen の偏微分の練習はその順に従います。早いバケツは切片そのものを掘ります。f(x, y) が与えられたら、他方を定数とみなして $f_x$ と $f_y$ を書きます。後のバケツは導関数を積み（$f_xx$、$f_xy$、$f_yx$）、勾配を組み立て、道に沿って連鎖律を使い、臨界点を分類します。この記事の絵はまさにその一覧です。

役に立つループはこうです。二変数の関数を選び、ある点で二つの切片を描き、両方の一次偏導関数を計算し、勾配を作り、どちらが上りか声に出して言う。間隔を置いて戻り、微積分の列の残りと同じ間隔反復の予定に従う。目標は「y は定数」を暗記することではありません。曲面を見て、自分がどの歩きをしているかを知ることです。

まとめ

偏微分は、ほかの入力をすべて止めたまま、曲面を一方向に歩いたときの傾きです。曲がった d はその凍結を印します。混合偏導関数は、一方の切片の傾きが他方の軸に沿って歩くとどう変わるかを尋ね、滑らかな曲面では二つの順番が一致します。勾配は一次の偏導関数を、上りを指す移動にまとめます。臨界点はその移動が消える場所で、お椀にも丘にも鞍点にもなり得ます。

こうつなぐと、多変数の微分は新しい種類の微積分ではありません。普通の微積分を、格子線一本ずつに向け、それから組み直したものです。曲面には多くの傾きがあります。偏微分は、どれを指しているかをついに言ったときに得られるものです。