直感で理解する微分方程式（傾き場）

普通の方程式が求めるのは数です。2x + 3 = 11 のような式を示し、それを成り立たせる値を尋ねます。微分方程式が求めるのは曲線です。変化についての局所的な規則を示し、どのような曲線全体がその規則に従うかを尋ねます。

この切り替えがあるため、初めて学ぶと微分方程式は奇妙に感じられます。未知のものは関数で、答えには任意定数が含まれることが多く、曲線上の一点だけでは情報が足りません。方程式は、曲線が区間全体でどのように動かなければならないかを記述しています。

陽に書かれた一階微分方程式を読みやすくしてくれる図が、短い線分を敷き詰めた傾き場です。y' = F(x, y) と書かれた方程式では、F が定義される各点に、その場所で曲線がどちらへ傾くべきかを示す短い線分を置きます。解とは、その方向に沿って進む経路です。この場が見えると、解の一族、初期条件、指数的な増加が互いに無関係な考え方には見えなくなります。

微分方程式は変化を定める規則

微分は、ある量がどれだけ速く変わっているかを教えます。微分方程式は、その発想を逆向きに使います。導関数を含む関係を与え、元の量を復元するよう求めるのです。

次の式を考えましょう。

$$y' = 2y$$

プライム記号は、y を x で微分した導関数を表します。この式は、変化率が常に現在の値の 2 倍だと言っています。y が 1 なら傾きは 2、y が 3 なら傾きは 6 でなければなりません。y が負なら傾きも負です。この規則は、特定の x で曲線の高さがいくつかを直接教えません。高さと傾きがどのように連れ立って変わるべきかを教えます。

中心にある逆転はこうです。

• 微積分では、関数がわかっていて、その変化率を計算します。
• 微分方程式では、変化率についての規則がわかっていて、関数を復元します。

y' = 2y は最高階の導関数が一階導関数なので、一階微分方程式です。y'' を含む式は二階です。「階数」が表すのは、方程式が何階の導関数まで含むかであって、見た目の難しさではありません。

また、y が一つの独立変数に依存するため、これは常微分方程式、略して ODE です。温度が位置と時間の両方に依存するなら、モデルには偏導関数が入り、偏微分方程式、略して PDE になります。大きな考え方は同じですが、この記事では ODE、つまり一つの入力と一つの発展する経路に絞ります。

解は数ではなく関数

y' = 2y を解くには、導関数が自分自身の 2 倍になる関数が必要です。指数関数にはまさにその性質があります。次を試してみましょう。

$$y = Ce^{2x}$$

C は任意の定数です。微分すると、

$$y' = 2Ce^{2x}$$

となります。y 自身が $Ce^{2x}$ なので、確かに y' = 2y です。提案した関数はすべての x で方程式を満たすため、解になっています。

検算のしかたに注目してください。代数方程式なら数を代入します。微分方程式なら関数を微分し、その結果を代入します。正しい解は、都合のよい一点を通るだけでなく、考えている区間のどこでも規則に従わなければなりません。

定数 C は解き残しではなく、答えの一部です。この方程式は、次のような曲線の一族を表しています。

• $C = 1$ なら $y = e^{2x}$。
• $C = 3$ なら $y = 3e^{2x}$。
• $C = -2$ なら $y = -2e^{2x}$。
• C = 0 なら平らな解 y = 0。

どの曲線も同じ増加の規則に従いますが、始まる高さは異なります。変化の法則だけでは、物語がどこから始まったかはわかりません。欠けた開始情報を保存しているのが、この定数です。

これは、積分で加法定数が現れる理由でもあります。定数による上下のずれは微分するとゼロになり、消えてしまいます。その過程を逆にたどるなら、可能なずれをすべて残さなければなりません。その後の代数操作で、パラメータの見た目が変わることもあります。この例では、指数をとることで $e^{C}$ が $e^{2x}$ の前に掛かる定数へ変わります。

傾き場は規則を風景に変える

陽に書かれた一階方程式 y' = F(x, y) は、記号で解けるようになる前から理解できます。F が定義される領域に格子点を取り、それぞれで必要な傾きを計算して、その傾きをもつ短い線分を描きます。できた図を傾き場、または方向場と呼びます。

y' = 2y では、傾きは高さだけで決まります。

• y = 0 に沿う線分は、すべて水平です。
• y = 1 に沿う線分は、すべて傾き 2 です。
• y = -1 に沿う線分は、すべて傾き -2 です。
• 正の高さが増すほど、線分は急に上を向きます。
• 負の高さが下がるほど、線分は急に下を向きます。

場は、同じ傾きが横一列に並ぶ帯のように見えます。解曲線はどの点からでも始められますが、始まったあとは周囲の線分に従わなければなりません。正の解は上へ曲がって増加し、負の解はゼロから下へ離れます。零解は平らなままです。その直線上ではすべての線分が水平だからです。

この図は、方程式そのものと個々の解を分けて見せてくれます。微分方程式が場全体を作り、それぞれの解は場を通る一本の糸です。

公式を求めなくても、傾き場から挙動を予測できます。ある領域で線分が上を向けば、解はそこで増加します。関係するすべての x について y = c 上の線分が水平なら、y = c は定数解であり、平衡解でもあります。近くの線分がその直線を向いていれば、近くの解は引き戻されます。外を向いていれば、小さなずれが大きくなります。応用微分方程式では、このような定性的な読み取りをよく行います。正確な公式を導く前に、経路が何をし得るかを理解するのです。

y' = 2y では、右辺が y に対して滑らかに変化するため、標準的な存在と一意性の条件により、各点を通る解は一つに決まります。傾き場はその結果を目で見せますが、証明ではありません。同じ一点を通り、そこで同じ傾きをもつだけでは十分とは限らず、正則性の低い規則では、解どうしが出会ってから再び分かれることもあります。

初期条件が一本の経路を選ぶ

同じ方程式に y(0) = 3 という条件を加えましょう。これは初期条件で、x = 0 のとき曲線が高さ 3 を通るという意味です。まず解の一族から始めます。

$$y = Ce^{2x}$$

わかっている点を代入すると、

$$3 = Ce^{0} = C$$

したがって、求める特解は、

$$y = 3e^{2x}$$

です。微分方程式が解の一族の形を与え、初期条件がその中から一つを選びました。傾き場の図では、点 (0, 3) に指を置き、その点を通る経路だけを残したことになります。

正則な初期値問題では、通常、必要な条件の数は方程式の階数に対応します。速度がすでに指定された一階の速度則 y' = v(x, y) なら、普通は初期位置が一つ必要です。二階の加速度則なら、一般に初期位置と初速度の両方が必要です。

たとえば、無減衰ばねの正規化された方程式は、

$$y'' + y = 0$$

です。加速度がつり合いの位置へ戻る向きに働くことを表します。物理的な形は m y'' + k y = 0 で、k/m = 1 となる単位を選べば上の正規化された式になります。解は正弦と余弦の組み合わせです。最初の位置だけでは、ばねが静止状態から放されたのか、すでに動いていたのかはわかりません。初速度も加えれば、運動が決まります。

変数分離法は結びつきをほどく

y' = 2y は、当て推量だけでなく手順に沿って解けます。導関数を $\frac{dy}{dx}$ と書きます。

$$\frac{dy}{dx} = 2y$$

y に関する部分を dy の側へ、x に関する部分を dx の側へ移します。

$$\frac{dy}{y} = 2 dx$$

両辺を積分すると、

$$\ln|y| = 2x + C$$

です。指数をとれば、

$$y = Ae^{2x}$$

を得ます。この時点で A はゼロではありません。途中で y で割ったため、y = 0 を除外していたからです。除外した関数を元の方程式に戻して調べると、y = 0 も確かに解です。したがって完全な解の一族は y = $Ae^{2x}$ と書け、A にはゼロを含む任意の実数を選べます。

この方法を変数分離法と呼ぶのは、積分する前に y を含むものと x を含むものを分けるからです。次の形へ変形できる方程式に使えます。

$$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$$

ただし、式変形には落とし穴があります。g(y) で割ると、g(y) = 0 となる解を失う可能性があります。この例では、y で割ったことで平衡解 y = 0 を一時的に除外しました。

入門で変数分離法を使うような滑らかな方程式なら、除外した平衡解を戻すことで解の一族が完成します。正則性の低い方程式では、平衡点でしばらく待ってから離れる区分的な解が存在する場合もあります。したがって、変数分離法は常に完全性を保証する証明ではありません。割り算や式変形をしたあとは、導いた解の一族と除外した値を、すべて元の方程式で確かめてください。

増加、減衰、振動は異なる規則から生まれる

微分方程式を少し変えるだけで、動きは大きく変わります。

モデル

$$y' = ky$$

は、正の量について、k が正なら指数的増加を、k が負ならゼロへ向かう指数的減衰を表します。より一般には、k が正ならゼロでない解の絶対値が増え、k が負なら小さくなります。変化率が現在量に比例する場面では、このモデルが現れます。理想化された人口増加、連続複利、放射性崩壊がよく知られた例です。同じ公式があるからといって、現実の人口や投資が永遠に指数的に変化するわけではありません。比例変化率が一定という仮定が成り立つあいだ、指数的な挙動が続くという意味です。

一方、ばねの方程式 y'' + y = 0 は振動を生みます。解は正弦と余弦から作られます。これらの関数は 2 回微分すると符号が反転するからです。次の式と比べてください。

$$y'' - y = 0$$

こちらの解は指数関数、または同じことですが双曲線関数から作られます。符号によって、系が引き戻されて繰り返し運動するのか、増加と減衰へ押し出されるのかが決まります。

現実のモデルには、外力、摩擦、限られた資源、複数の量どうしの相互作用などの項が加わります。ロジスティック人口モデルでは、環境収容力に近づくと増加が遅くなります。減衰するばねは時間とともに振幅を失います。微分方程式系なら、同時に変化する複数の量を追跡できます。項を加えるたびに局所的な規則が変わり、系がたどれる経路も変わります。

間違いはどこから生まれるか

最初の間違いは、数を探してしまうことです。微分方程式の未知のものは通常、関数です。特定の点での値を求める問題でもないのに、答えが y の一つの値だけなら、途中で止まっている可能性があります。

二つ目は、初期条件だけを確認することです。(0, 3) を通るだけでは、曲線は y' = 2y の解になりません。その点を通る曲線は無数にあります。区間全体で導関数の規則も満たす必要があります。

三つ目は、任意定数を落とすことです。十分な条件がない微分方程式は、普通、解の一族を記述します。その中の一つだけを完全な答えとして書けば、正しい経過をほかにいくつも捨ててしまいます。

四つ目は、割り算で平衡解を失うことです。y、y - 1、または未知関数を含む式で割るなら、いったん止まり、その式がゼロになる値を元の方程式で確かめてください。

五つ目は、モデルと対象そのものを同一視することです。y' = ky が指数的増加や減衰を生むのは、比例変化率が一定だと仮定しているからです。現実の系がその曲線をたどるのは、この仮定が有用な近似であるあいだだけです。方程式を正しく解けても、その方程式が正しいモデルだったとは証明できません。

Math Zen が役立つところ

微分方程式では、通常は別々の章で学ぶいくつもの技能を組み合わせます。微分を変化率として読み、場合分けを失わずに代数式を変形し、指数関数が微分しても自分自身に比例することを見抜き、両辺を積分し、初期条件で残った定数を決める必要があります。どれか一つでも理解が弱いと、方法全体が不可解に見えます。

Math Zen では、変数分離形、一階線形、二階、同次形、完全微分方程式、ベルヌーイ型、常微分方程式系を練習できます。計算を始める前に、この記事で使った三つの問いを立ててください。方程式はどんな変化を要求しているか、どんな経路の一族ならそれに従えるか、必要な経路を選ぶ条件は何か。

効果的な練習の流れは単純です。一つの方程式を分類し、解が向かう方向を予想し、解くか検算し、最後に初期条件と除外した平衡解を確認します。しばらく間を空けてから混合問題に戻り、Math Zen のほかの練習と同じ間隔反復の方法を使いましょう。目的は解法のレシピを棚いっぱいに暗記することではありません。目の前にある変化の規則を見抜くことです。

まとめ

微分方程式は、ある量とその変化のしかたの関係を記述します。その解は関数全体で、多くの場合は一族の中の一つです。任意定数は経路が始まり得た場所を記録し、初期条件が実際の出発点に合う経路を選びます。

陽に書かれた一階方程式では、傾き場の図が考え方を一つにまとめます。局所的な規則が定義域の各点に許される方向を与え、解はそれに沿って進みます。変数分離、初期値問題、増加、減衰、振動は、その風景を読み、たどるための異なる方法です。微分方程式は、変化についての局所規則を一本の大域的な曲線へ変えます。