双曲線関数を直感的に理解する（三角関数の先にあるもの）

電卓に sinh、cosh、tanh というボタンが初めて現れたとき、それらはサイン、コサイン、タンジェントの別版に見えます。誰かが三角関数に h を足し、暗記すべき公式を3つ増やしたような名前です。

それでは順序が逆です。双曲線関数は角度ではなく、指数から始まります。最も単純な2つの指数的な動き、$e^{x}$ による増加と $e^{-x}$ による減衰を取り出し、完全に釣り合った組として足したり引いたりします。三角関数との類似が現れるのはその後です。この組が円ではなく双曲線上の座標になると分かるからです。

2つの指数関数が反対方向に引っ張り合う姿が見えれば、定義は恣意的に見えなくなります。中心となる恒等式は曲線の方程式になり、導関数はほとんど必然に見え、微積分の教科書に必ず出てくる吊り下げられたケーブルが cosh で表される理由も分かります。

双曲線は円の親戚

三角関数には中心となる絵がひとつあります。単位円上を歩く点です。パラメータ t における座標は

$$(\cos t, \sin t)$$

この座標は次の式を満たします。

$$\cos^{2} t + \sin^{2} t = 1$$

すべての点が円 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上にあるからです。コサインが横座標、サインが縦座標を与え、ピタゴラスの恒等式は円の方程式をそれらの名前で書いただけです。

双曲線関数は、同じ座標の考えを別の曲線に使います。媒介変数表示の言葉では、組

$$(\cosh t, \sinh t)$$

は単位双曲線の右側の枝

$$x^{2} - y^{2} = 1$$

上にあるため、その座標は

$$\cosh^{2} t - \sinh^{2} t = 1$$

を満たします。変わった符号が新しい曲線の性格です。円では $x^{2} + y^{2}$ が一定に保たれ、双曲線では $x^{2} - y^{2}$ が一定に保たれます。プラスからマイナスへのたったひとつの変更が、多くの双曲線関数の恒等式が三角関数の恒等式の符号をひとつ反転したように見える理由です。

ここには正しく区別したい微妙な点があります。y = cosh x のグラフは U 字形の関数です。単位双曲線 $x^{2} - y^{2} = 1$ そのものではありません。双曲線が現れるのは、cosh と sinh が座標として協力し、x = cosh t、y = sinh t と置かれたときです。一方が横座標、もう一方が縦座標となり、コサインとサインが協力して円を描くのと同じ働きをします。

パラメータ t は双曲角と呼ばれることがありますが、円の周りの回転で測る普通の角度ではありません。単位双曲線では、t は (1, 0) から動く点までに掃かれる双曲扇形の符号付き面積の2倍です。多くの計算では、t を点を双曲線に沿って動かす共通のパラメータと考えれば十分です。t = 0 では点は (1, 0) にあります。正の t は点を右側の枝に沿って上へ動かし、負の t は下へ動かします。

sinh と cosh は増加と減衰を釣り合わせる

幾何学が名前を説明し、定義が関数の実際の働きを説明します。

$$\sinh x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}$$ $$\cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}$$

どちらも同じ2つの指数関数から始まります。一方は x が増えると大きくなり、もう一方は小さくなります。cosh は2つを足すので、対称な合計を測ります。sinh は2つを引くので、どちらの指数項が優勢かを示します。

x = 0 では、2つの指数関数はどちらも 1 です。和は 2、差は 0 なので

$$\cosh 0 = 1, \quad \sinh 0 = 0$$

となります。これは双曲線の右側の枝の頂点 (1, 0) です。

次に x を -x に置き換えます。2つの指数項は入れ替わります。和は変わらないので cosh(-x) = cosh x です。cosh は偶関数で、グラフは y 軸について対称です。差は符号が変わるので sinh(-x) = -sinh x です。sinh は奇関数で、グラフは原点について点対称です。

小さな厳密な例で仕組みが見えてきます。x = ln 2 としましょう。すると $e^{x} = 2$、、e^(-x) = 1/2 なので

$$\cosh(\ln 2) = \frac{2 + \frac{1}{2}}{2} = \frac{5}{4}$$ $$\sinh(\ln 2) = \frac{2 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{3}{4}$$

点は (5/4, 3/4) です。双曲線の式で確かめると

$$(5/4)^{2} - (3/4)^{2} = 25/16 - 9/16 = 1$$

となります。この恒等式は定義の後から付け加えた偶然ではありません。釣り合った和と差が自動的に生み出します。

正の大きな x では $e^{-x}$ がごく小さくなるので、sinh x と cosh x はどちらも $e^{x}$ の半分に近づきます。負の大きな x では、cosh は正のまま、sinh は負になります。グラフが似ていながら同じではない理由はここです。cosh は2つの正の指数関数の合計で U 字形になり、sinh はそれらの符号付きの差を記録します。

マイナス符号の恒等式

最も重要な双曲線関数の公式は

$$\cosh^{2} x - \sinh^{2} x = 1$$

です。双曲線の方程式として覚えられますが、一行の代数でも導けます。A = $e^{x}$、B = $e^{-x}$ と置きます。すると AB = 1 であり、

$$\cosh x = \frac{A + B}{2}, \quad \sinh x = \frac{A - B}{2}$$

です。2つの平方を引くと

$$\left(\frac{A + B}{2}\right)^{2} - \left(\frac{A - B}{2}\right)^{2} = AB = 1$$

となります。平方差の形がすべての仕事をしています。引き算で $A^{2}$ と $B^{2}$ の項が消え、交差項がまとまって AB = $e^{x}$ と $e^{-x}$ の積、つまり 1 が残ります。

この恒等式から残りの仲間も得られます。$\cosh^{2} x$ で割ると

$$1 - \tanh^{2} x = \operatorname{sech}^{2} x$$

となります。ここで tanh x = sinh x / cosh x、sech x = 1 / cosh x です。sinh x がゼロでない場所では、代わりに $\sinh^{2} x$ で割ると coth と csch に対応する恒等式が得られます。名前が込み入って見えても、構造は三角関数と同じです。タンジェントは比、セカントとコセカントは逆数で、中心となる曲線の方程式が恒等式を生みます。

最も安全な覚え方は、「双曲線版の三角関数には変な符号がある」と考えることではありません。曲線を思い浮かべることです。円ならプラス、双曲線ならマイナス。どの方程式の上にいるかが見えれば、符号を当てずっぽうで選ぶ必要はなくなります。

tanh が測るもの

双曲線正接関数は比

$$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}$$

です。この比は、増加と減衰の差をその合計と比べます。x = 0 では両者が釣り合うので tanh 0 = 0 です。x が増えると $e^{x}$ が分子と分母の両方を支配し、比は 1 に近づきます。x が大きな負の値になると $e^{-x}$ が支配し、比は -1 に近づきます。

したがって tanh は -1 と 1 の間に収まる S 字形の関数です。ゼロの近くではほぼ x のように振る舞い、一方の指数関数が他方を圧倒するにつれて少しずつ平らになります。通常のタンジェントと違い、周期的に繰り返す枝も垂直漸近線もありません。同じ名前なのは、サインに似た座標とコサインに似た座標の比だからであって、グラフが同じだからではありません。

この有界な形は、上限も下限もない入力から滑らかで限られた出力を得たい場面で役立ちます。ただし純粋数学の授業での要点はもっと単純です。tanh は、符号付きの不均衡 sinh を正の合計 cosh で正規化したものです。

残りの関数も同じ整理から得られます。

• $\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}$
• $\operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x}$
• $\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x}$

実数 x に対して cosh がゼロになることはないので、sech はどこでも定義されます。sinh は x = 0 でゼロになるため、csch と coth はそこで定義されません。定義から読み取れば、これらは別々に覚える事実ではありません。

微積分が双曲線関数を好む理由

指数関数による定義のおかげで、導関数は驚くほど簡潔です。まず sinh を微分します。

$$\frac{d}{dx} \sinh x = \frac{d}{dx} \left[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}\right] = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} = \cosh x$$

2つ目の項がマイナスからプラスに変わるのは、$e^{-x}$ の微分でもうひとつマイナス符号が現れるからです。cosh を微分すると、符号は反対向きに変わります。

$$\frac{d}{dx} \cosh x = \sinh x$$

通常のコサインは微分するとマイナス符号が付きます。双曲線余弦関数には付きません。この違いから便利な対比が生まれます。

• sin x と cos x は y'' = -y を満たし、振動を生む
• sinh x と cosh x は y'' = y を満たし、指数的な増加と減衰を生む

これが、導関数どうしの関係を記述する微分方程式に、双曲線関数が自然に現れる理由です。y'' = y の一般解は A $e^{x}$ + B $e^{-x}$ と書けますが、C cosh x + D sinh x とも書けます。2つの形は同じ情報を持っています。cosh と sinh は対称な組み合わせと反対称な組み合わせを、初期条件に合わせやすい形にまとめているだけです。

たとえば y(0) = 1、y'(0) = 0 を満たす解は cosh x です。高さ 1 から水平な接線で始まります。y(0) = 0、y'(0) = 1 を満たす解は sinh x です。原点から傾き 1 で始まります。これらの初期条件はグラフからすぐに読み取れます。

tanh の導関数も同じくらいきれいです。

$$\frac{d}{dx} \tanh x = \operatorname{sech}^{2} x$$

$\operatorname{sech}^{2} x$ は正なので、tanh は常に増加します。原点から離れると sech はゼロに近づくため、tanh の傾きもゼロに近づきます。これがグラフの両端が平らになる理由です。

双曲線関数は積分や置換にも現れます。その逆関数を使うと、sqrt($x^{2}$ + 1) や sqrt($x^{2}$ - 1) のような平方根を含む原始関数を表せます。関数そのものを理解するためにそれらの公式を知る必要はありませんが、このつながりを知れば、微積分の授業が指数関数や三角置換のすぐ後に双曲線関数を導入する理由が分かります。

吊り下げたケーブルに cosh が現れる理由

最も目に見える応用は、吊り下げたケーブルです。2点から吊るされ、自重以外の荷重を受けない一様で柔軟なケーブルは、懸垂線の形に落ち着きます。最も低い点を y 軸上に置くと、方程式は次の形になります。

$$y = a \cosh(x / a) + C$$

定数 C が鉛直方向の位置を決めます。C がゼロになるよう座標の原点を選べば、よく知られた y = a cosh(x / a) になります。定数 a は曲線の浅さや深さを決めます。a が大きいとケーブルは平らになり、小さいとたるみが深くなります。最下部の近くでは放物線に似ているため、吊り下げた鎖は放物線だと思われがちです。しかし自重だけを受けるときの厳密なつり合い曲線は cosh で表されます。

この公式は飾りのような偶然ではありません。ケーブルの張力の水平成分は一定に保たれ、変化する鉛直成分が積み重なった重さとつり合います。その力のつり合いから微分方程式が生まれ、その解に cosh が現れます。$e^{x}$ と $e^{-x}$ のつり合いから生まれた同じ関数が、曲線に沿って物理的な力がつり合う場面でも現れるのです。

間違いはどこから来るのか

双曲線関数の間違いは、たいてい類推の間違いです。三角関数によく似ているため推測したくなりますが、三角関数の性質がすべて残るほど同じではありません。

最初の間違いは、sinh x を sin(hx) と読むことです。h が角度に掛かる変数のように見てしまいます。この名前は「双曲線正弦関数」と読み、ひとつの関数として扱います。h はラベルであって入力ではありません。

2つ目は、円の恒等式をプラス符号のまま写すことです。正しい公式は $\cosh^{2} x$ - $\sinh^{2} x$ = 1 です。$x^{2} - y^{2} = 1$ を思い浮かべれば、符号は自然に決まります。

3つ目は、通常のコサインの導関数がマイナスのサインだから、cosh の導関数を -sinh とすることです。指数関数に戻りましょう。cosh は2つの指数関数の和であり、その導関数は差なので、$\frac{d}{dx} \cosh x = \sinh x$ です。

4つ目は、逆関数と逆数を混同することです。教科書によって sinh の逆関数は asinh、arcsinh、sinh⁻¹ と書かれます。その逆数は csch であり、sinh⁻¹ ではありません。同様に、cosh の逆関数は acosh または arcosh、逆数は sech です。

逆関数の定義域も重要です。sinh はすべての実数値を取るので、asinh はすべての実数を入力できます。cosh の最小値は 1 で、ゼロの両側で同じ値を取ります。実数範囲で逆関数を定めるには、もとの cosh を x が 0 以上の枝に制限し、acosh の入力を 1 以上に限ります。tanh の値は -1 と 1 の間に厳密に収まるため、atanh の入力もその区間に限られます。

最後に、y = cosh x が「双曲線である」と言ってはいけません。そのグラフは懸垂線の形をした U 字形です。双曲線を描くのは組 (cosh t, sinh t) です。関数のグラフと媒介変数で表した曲線を区別すれば、驚くほどよくある概念上の混乱を避けられます。

Math Zen はどこで役に立つか

双曲線関数は、指数、恒等式、導関数が交わる場所にあります。指数関数による定義が身に付いていれば、この単元の大部分は暗記せずに組み立て直せます。そうでなければ、sinh、cosh、tanh、sech、csch、coth は、互いに無関係な6枚の規則表が付いた6個の新しいボタンになります。

Math Zen の双曲線関数の練習は、この依存関係に沿っています。sinh と cosh の値を求めることで定義に慣れ、恒等式の問題で双曲線のマイナス符号を定着させます。微分の問題では sinh と cosh がきれいに入れ替わることを確認し、その後の問題で逆双曲線関数を自在に扱えるようにします。目標は表を一度暗唱することではありません。どの絵がその表を必然にするかを見抜くことです。

効果的な練習の並びは短く、内容が混ざっています。厳密な値をひとつ求め、恒等式をひとつ確かめ、関数をひとつ微分し、最後に正しい逆関数か逆数を選びます。数学学習の間隔反復のように、間を空けてもう一度同じ組に戻りましょう。普通の三角関数と何度も対比することで、符号と名前が定着します。

結論

双曲線関数は、釣り合った指数関数です。cosh は増加と減衰を足し、sinh は引き、tanh は差を合計と比べます。cosh と sinh を一緒に座標として使うと $x^{2} - y^{2} = 1$ を描きます。そのため、対応する多くの恒等式は、円のプラス符号を双曲線のマイナス符号に変えた三角関数の恒等式のように見えます。

双曲線の絵と指数関数による定義を合わせれば、中心となる恒等式、グラフ、導関数が説明できます。また、微分方程式 y'' = y から吊り下げたケーブルの懸垂線まで、増加と減衰が組み合わさる場所にこれらの関数が現れる理由も分かります。h は新しい公式の壁を作るものではありません。その背後にある別の曲線と別の種類の動きを示しているのです。