媒介変数表示を直感的に理解する（時計の付いた曲線）

直交座標のグラフが答える問いはひとつです。x が与えられたとき、y は何か。学校数学のほとんどがその問いなので、曲線とは y 対 x のグラフであるように感じられてきます。すると後の授業が x = cos t、y = sin t と書き、この組を媒介変数表示と呼んで、道筋をスケッチさせます。y = f(x) に慣れていた生徒が急に t = π/2 で質点がどこにいるかを言えなくなり、傾きの公式 $\frac{dy}{dx}$ = ($\frac{dy}{dt}$)/($\frac{dx}{dt}$) はまた一つ、暗記するものとして到着します。

二つの記述はライバルではありません。y 対 x のグラフは曲線の写真です。媒介変数表示は、点がその曲線を旅する映画であり、余分な変数 t が時計です。絵がそうなれば、パラメータを消去するとは時計を忘れることであり、微積分の公式は同じ時計に対する二つの変化率を読む連鎖律にすぎません。

道筋は y 対 x のグラフではない

垂直線テストは関数のグラフについての規則であり、曲線についての規則ではありません。円は不合格です。ひとつの x が円と二つの高さで会えるからです。それで円が違法になるわけではありません。円を、単一の関数 y = f(x) ではありえないものにするだけです。

媒介変数表示は、そうした対象の話し方です。閉じた輪、8 の字、往復してなぞる線分、同じ x を二度通って上がり下りする放物運動。関数は入力ひとつ、出力ひとつの機械です。媒介変数表示は入力を共有する二つの機械を使います。両方に同じ t を渡せば点 (x(t), y(t)) が得られます。t を掃けば、その点が道筋を描きます。

その道筋には向きがあります。t が増えるからです。y = $x^{2}$ のグラフは、左から右へ歩いたのか右から左へ歩いたのかを知りません。媒介変数表示 x = t、y = $t^{2}$ は、t が増えるにつれて左から右へ歩きます。x = −t、y = $t^{2}$ は同じ放物線を逆向きに歩きます。同じ写真、二つの映画です。

t は時計である

いちばん正直な日常の例は運動です。窓のハエは、水平位置ごとに高さを付けるやり方では書けません。ホバリングも、輪も、同じ場所を二度訪れることもできるからです。各瞬間にどこにいるかで書きます。それが x(t) と y(t) です。

t を時計の時刻と読む必要はありません。角でも、弧長でも、アニメーションのスライダーでも構いません。t の仕事は、両方の座標が同時に聴く一つの入力であることです。時計と呼ぶのは絵であって、法則ではありません。

小さな数値の確認が絵を正直に保ちます。x = cos t、y = sin t とします。

• $t = 0$ は (1, 0)、単位円の東の点に着地します
• $t = \pi/2$ は (0, 1)、真北
• $t = \pi$ は (−1, 0)、西
• $t = 2\pi$ は (1, 0) に戻ります

これは三角関数の単位円を、縁に沿った旅として書いたものです。$x^{2} + y^{2} = 1$ と同じ点の集合に、出発点と反時計回りの向きが付きます。極座標はその円をさらに短く r = 1 と書き、これは原点からの距離についての陳述です。媒介変数表示は歩きとして書きます。問いは違う、曲線は同じです。

速さも時計の中にあります。x = cos 2t、y = sin 2t は同じ円を二倍の速さでなぞります。t が 0 から 2π まで行くあいだに二周します。t を消せば、二つの映画は一枚の写真に潰れます。t を残せば、違いは明らかです。

パラメータを消去するとは時計を忘れること

一方の式を t について解いて他方に代入すれば、t は消え、x と y の関係が得られます。x = t、y = $t^{2}$ ならすぐに y = $x^{2}$ です。x = cos t、y = sin t なら平方して足し、恒等式 $\cos^{2}$ t + $\sin^{2}$ t = 1 を使って $x^{2} + y^{2} = 1$ に戻ります。

その関係は点の集合です。映画ではありません。円の方程式は (1, 0) から出発したとも、反時計回りに進んだとも、一周であって二周ではないとも言いません。それらは t についての事実であり、t こそ消去が消すものです。

消すのが正しい手のこともあります。形だけを気にする問いは直交座標の関係を欲しがります。間違った手のこともあります。速さ、質点の静止、t = 3 でどの象限にいるか、道筋に沿ってどれだけ歩いたか、は時計についての問いです。

きれいに消去できるとも限りません。x = t − sin t、y = 1 − cos t はサイクロイド、転がる円の縁の点の道筋です。親しみやすい y = f(x) はありません。媒介変数表示が母語であり、直交座標の方程式の上に着た衣装ではありません。

問題が「パラメータを消去せよ」と求めるなら、欲しいのは写真です。質点がどこにいるか、どちらを向いているか、どれだけ速いか、どれだけ歩いたかを問うなら、時計を残してください。

円、直線、投げられた物体

三つの家族が絶えず現れ、どれも旅です。

点 (x₀, y₀) を通り、ベクトル (a, b) の向きの直線は x = x₀ + a t、y = y₀ + b t です。その点から始まり、ベクトルを t 倍歩きます。時計を付けた旅の絵であり、だから幾何が直線に沿った運動を述べなければならなくなった瞬間に媒介変数の直線が現れます。フランスのバカロレアの空間図形の問題が三次元の直線を同じ書き方で書くのも、このためです。

原点中心、半径 r の円は x = r cos t、y = r sin t です。中心 (h, k) なら、その定数を各座標に足します。媒介変数 t は向きであり、だからこの形と極座標は正弦と余弦を共有し続けます。極座標は住所です。どれだけ離れているか、どちら向きか。媒介変数表示は時刻表です。この t で、ここにいなさい。

放物運動は、いまも多くの教科書が使うフィートと秒の単位では、x = (v cos θ) t、y = (v sin θ) t − 16 $t^{2}$ です。水平の運動は定常、鉛直の運動は重力を感じます。t を消去すれば道筋は放物線です。面白い問い（いつ着地するか、頂点での速さは何か）は t についての問いであり、だから実際に計算に使うのは媒介変数表示のほうです。

出題者が媒介変数表示を好む理由

AP Calculus BC は媒介変数曲線を、極座標や級数と並ぶ定番の得点テーマとして扱い、だからこそAP微積分の対策ガイドはそれらを BC 専用の層として印を付けています。試験問題はほとんどいつも同じいくつかの手順で、時計の絵が頭にあればどれも短くなります。

傾き：$\frac{dy}{dx}$ = ($\frac{dy}{dt}$) / ($\frac{dx}{dt}$)。ただし $\frac{dx}{dt}$ がゼロでないときに限ります。新しい導関数ではありません。両方の座標が t とともに変わるので、$\frac{dy}{dt}$ と $\frac{dx}{dt}$ は時計に対する普通の変化率です。道筋の傾きは、x の単位あたり y がどれだけ速く変わるか、つまりその商です。時計を約した連鎖律です。

水平な接線：$\frac{dy}{dt}$ = 0 かつ $\frac{dx}{dt}$ ≠ 0。高さの変化が止まり、質点は横に動き続けています。鉛直な接線：$\frac{dx}{dt}$ = 0 かつ $\frac{dy}{dt}$ ≠ 0。両方が同時にゼロなのは接線ではありません。止まった質点であり、近くの t を見て、道筋が尖点なのかただの休止なのかを見なければなりません。

二階導関数も同じ型です。$d^{2}$y/$dx^{2}$ = ($\frac{dy}{dx}$ の t による微分) / ($\frac{dx}{dt}$)。これを暗記すべき第三の公式として扱う生徒は、分母を間違えます。商の発想を傾きの関数に適用しただけであり、その傾きの関数自体が t の関数です。

t = a から t = b までの弧長は、sqrt(($\frac{dx}{dt}$)² + ($\frac{dy}{dt}$)²) dt の積分です。その根号は微小な一歩 (dx, dy) に対する三平方の定理です。被積分関数は速さ、弧長は積み上げた速さであり、だから積分なのです。新しい幾何の発想は要りません。動く点に距離の公式を適用することが要るのです。

このどれも、ふつうの導関数の流暢さの代わりにはなりません。媒介変数の微積分はぐらついた連鎖律を許しません。それを晒します。傾きも、静止点も、弧長の被積分関数も、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を通るからです。

間違いはどこから来るのか

媒介変数表示の誤りは三か所に集まり、どれも絵の誤りです。

第一は t を x のように扱うことです。軸が t と y の紙に x = $t^{2}$、y = t をスケッチしたり、t = 2 を一方の座標にだけ代入したりすることです。この組は平面上の点です。両方を、(x(t), y(t)) の順でプロットし、いくつかの t の値を印して進行方向が見えるようにします。それらの矢印がなければ写真と映画は同じに見え、次の問いは映画について聞きます。

第二は、分子も分母も消える t で $\frac{dy}{dx}$ = ($\frac{dy}{dt}$)/($\frac{dx}{dt}$) と書き、残った 0 から水平または鉛直の接線を宣言することです。その瞬間、速度はゼロベクトルです。接線があるなら道筋から読むのであって、0/0 からではありません。定番の例は t = 0 における x = $t^{2}$、y = $t^{3}$ です。両方の導関数がゼロ、直交座標の関係は $y^{2} = x$³、道筋には尖点があります。

第三は t の区間を落とすことです。x = cos t、y = sin t で t が 0 から π なら半円であり、円ではありません。x = cos t、y = sin t で t が 0 から 4π なら二周した円です。直交座標の方程式は三つの場合すべて同一です。試験問題はたいていそうではありません。

Math Zenの出番

媒介変数曲線は関数、三角関数、連鎖律の上に載り、ベクトルと極座標と床を共有します。t が時計ではなく「もう一つの文字」のままだと、傾きと速さは無関係な公式に感じられます。Math Zen の媒介変数バケットは、それらの床がすでに荷重を支えていることを前提にします。序盤の作業は (x(t), y(t)) と進行方向を読むこと、それから二つの変化率による $\frac{dy}{dx}$、それから弧長、AP Calculus BC が実際に問うまさにその組です。

短い混合練習は、「媒介変数の章」の一度の詰め込みに勝ります。時計の絵も、0/0 の静止点も、弧長の被積分関数も、ふつうの y = f(x) の導関数の隣に現れて初めて自動になります。その流儀は数学の間隔反復と同じです。BC 試験での報酬は新しい科目ではありません。質点の問いが、すでに知っている導関数を二つの関数に一度に訊いているのだと見抜くことです。

まとめ

媒介変数表示は、時計の付いた直交座標の方程式です。y 対 x のグラフは点の集合の写真です。組 x(t)、y(t) はその集合を点が旅する映画で、出発点も向きも速さも知っています。パラメータを消去すれば時計は捨てられ写真が残り、形には役立ち運動には役立ちません。傾きは t に対する二つの普通の変化率の商です。弧長は旅に沿って積み上げた三平方の定理です。

育ってきたグラフはまだそこにあります。媒介変数表示はそれを置き換えません。単一の関数 y = f(x) ではありえない曲線の話し方を渡し、自然な問いが時刻 t に点がどこにいるかであって、どの点をかつて占めたかだけではないときに、手を伸ばすものです。