物理に必要な数学とは：代数・三角比・単位換算・二次方程式をAP Physics 1やA-Level前に固める方法

ニュートンの第二法則を正しく説明し、正しい自由体図を描き、正しい式を立てられる生徒でも、得点を落とすことがあります。つまずきはその2行後に起こります。公式の変形を誤る、余弦が必要な場面で正弦を使う、時速キロメートルの速さを秒単位の時間にそのまま掛けてしまう、といったことです。

物理の教師に得点がどこで失われるか尋ねても、「物理を理解していなかったから」という答えはめったに返ってきません。原因は代数、三角比、単位です。これらは数学の技能であり、それを使う物理そのものとは切り離して鍛えることができます。

この記事では、物理の最初の1年間で使う数学を単元ごとに整理します。すでに理解している章を読み返すのではなく、実際につまずいている技能だけを練習できるようにするためです。AP Physics 1やA-Level Physicsに備える生徒、そして私たちの姉妹アプリPhysics Zenを始めて、なぜ代数でつまずき続けるのか疑問に思っている人のために書きました。

公式の変形はどの単元でも使う技能です

物理の公式が印刷された形のまま問われることはほとんどありません。公式集には$v = u + at$とありますが、問題は時間を求めます。$F = ma$が与えられていても、問題は力と加速度を与えて質量を求めさせます。

変形はごく普通の代数です。未知数だけが残るまで、両辺に同じ操作を行います。誤りもごく普通のものです。片方の辺からだけ項を引いてしまう、和のうち一つの項だけを割ってしまう、二乗された量を移項したのに反対側で平方根を取り忘れる、といった誤りです。

良い例が向心加速度$a = \frac{v^2}{r}$です。半径について解くには両辺に$r$を掛けて$a$で割り、$r = \frac{v^2}{a}$を得ます。速さについて解くには最後に平方根が必要で、$v = \sqrt{ar}$となります。$v = \frac{ar}{1}$で止まってしまう生徒は物理を誤解しているのではなく、代数の一段階を飛ばしています。

ここが遅いと感じるなら、Math Zenの代数トピックが毎回新しい数値で簡略化、求解、変形を練習させてくれますし、代数ガイドはなぜその手順が許されるのかを説明します。Physics Zenでは、無料の運動学トピックで同じ技能がすぐに登場し、どの問題も式を反転させることを求めてきます。

二次方程式は重力が関わった瞬間に現れます

等加速度運動からは次の式が導かれます。

$$s = ut + \tfrac{1}{2}at^2$$

未知数が時間になった瞬間、これは二次方程式になります。地上$20\ \text{m}$の張り出しから$15\ \text{m/s}$で真上に投げたボールが地面に達するのは、次の式が成り立つときです。

$$0 = 20 + 15t - 4.9t^2$$

二次方程式の解の公式からはおよそ$t = 4.07\ \text{s}$と$t = -1.00\ \text{s}$という2つの解が得られます。投げた後の時間を表すのは正の解だけです。どちらの解を採用するかを教えてくれるのは物理で、解そのものを教えてくれるのは代数です。どちらの段階も正しくなければなりません。

ここでよくある数学の誤りは、公式内での符号の取り違え、$-b$の代わりに$b$を使ってしまうこと、平方根の中の計算間違いです。それぞれMath Zenの方程式を解くで練習でき、二次方程式ガイドはなぜその公式が成り立つのかを示します。Physics Zenの運動学の放物運動と自由落下の問題では、毎回新しい初速度でこれを使うことになります。

三角比は斜面を2つの数値に分解します

斜面上の力、角度のついたロープの張力、放物運動の初速度、これらはすべて成分に分解する必要があります。それは直角三角形の三角比であり、それ以上高度なものではありません。

ほとんどの誤りを防ぐ規則はこうです。既知の角度に隣接する成分には余弦を使い、対辺にあたる成分には正弦を使います。角度$\theta$の斜面では、斜面に沿った重力の成分は$mg\sin\theta$で、斜面に押し付ける成分は$mg\cos\theta$です。

極限で確認してみましょう。$\theta = 0$では面は水平になり、物体を面に沿って引く力はないはずです。$\sin 0 = 0$なので、正弦を使った式は条件を満たします。もし斜面に沿った力を$mg\cos\theta$と書いていたら、水平な場合に$mg$全体が横向きに働くことになり、明らかに誤りです。この30秒の確認だけで、力学における最も多い三角比の誤りを見つけられます。

Math Zenにはまさにこのための三角比トピックがあり、ベクトルトピックでは成分を合成して元に戻す方法を扱います。正弦と余弦がまだ円上の座標ではなく数値表のように感じるなら、先に三角比ガイドを読んでください。物理側では、斜面はPhysics Zenの動力学の最後の技能です。

累乗、平方根、そして逆二乗

運動エネルギーは$\tfrac{1}{2}mv^2$、向心加速度は$\frac{v^2}{r}$、重力場の強さは$\frac{GM}{r^2}$です。物理には分子や分母に二乗が現れる場面が多く、そのたびに比例関係を考える問題が生まれます。

速さを2倍にすると運動エネルギーは4倍になります。軌道半径を2倍にすると表面重力は4分の1に下がります。同じカーブで速さを3倍にすると必要な向心力は9倍になります。出題者がこの種の問題を好むのは、計算は単純でも推論はそうではないからです。

ここで重要な数学の習慣は2つです。1つ目は、底を何倍かしたとき累乗がどう変化するかを知っていることです。$v$を$k$倍すると$v^2$は$k^2$倍になります。2つ目は指数表記に慣れておくことです。$G = 6.67 \times 10^{-11}$と地球の質量$5.97 \times 10^{24}\ \text{kg}$は同じ問題の中で掛け合わされるからです。

Math Zenの累乗と平方根はこの両方を練習させ、指数ガイドは負の指数が実際に何を意味するのかを説明します。重力はPhysics Zenの円運動と万有引力にあります。

比、比例、そして単位換算

時速$72\ \text{km/h}$で走る車が$4\ \text{s}$間ブレーキをかけます。物理の計算に入る前に、この速さを$20\ \text{m/s}$に直さなければなりません。$3.6$で割るのは物理の法則ではなく、1キロメートルあたり$1000$メートルを1時間あたり$3600$秒で割っているだけです。

単位換算は比例による推論です。密度の問題、「何倍か」を問う問題、一定の比で2つの量が与えられる問題もすべて同じです。よくある誤りはいつも同じで、割るべきところで掛けてしまう、あるいは$\text{km/h}$のような複合単位の一方だけを換算してしまう、というものです。

Math Zenの比と比例はこれを直接扱い、より詳しい説明は比のガイドにあります。Physics Zenの等速運動、つまり無料の運動学トピックの最初の技能では、ほぼすべての問題で同じ換算を求められます。

グラフを読む：傾きと面積

速度時間グラフは、物理の最初の1年で最もよく出題される表現です。傾きは加速度を表します。線と時間軸の間の面積は変位を表します。位置時間グラフでは傾きが速度になります。どの量がどこに現れるかを知るのが物理で、傾きを正しく読み取り面積を正しく計算するのが数学です。

よくある誤りは、傾きを問われているのにグラフの高さを読んでしまうこと、そして軸より下の面積が負の変位として数えられることを忘れてしまうことです。どちらも物理の誤りというより、グラフの読み取りの誤りです。

Math Zenのグラフ分析トピックでは、物理を一切絡めずに切片、傾き、グラフの振る舞いを練習できます。後に微積分を使う科目へ進んだときは、微分ガイドと積分ガイドが「傾き」と「面積」が同じ考え方を厳密にしたものであることを示してくれます。

未知数が2つあれば式も2つ必要です

問題によっては、式を1つずつ解いていく方法では解けないことがあります。弾性衝突は運動量と運動エネルギーの両方を保存するため、2つの終端速度についての2つの式が得られます。電池が2つある回路では、キルヒホッフの閉回路則を2つの閉回路について立てる必要があります。放物運動の問題では、飛行時間を共有する水平方向と鉛直方向の式を組み合わせることがあります。

これらは連立方程式であり、よくある誤りは間違った式に代入してしまうこと、どの変数を消去したのか分からなくなってしまうことです。Math Zenの連立方程式は代入法と消去法の手順を練習させます。Physics Zenでは同じ構造が運動量と衝突と回路に現れます。

2つのアプリを使った練習プラン

下の表は、それぞれの物理の単元と、その中で最もつまずきやすい数学の技能を対応させたものです。

物理の単元（Physics Zen）	最もつまずきやすい数学の技能（Math Zen）
等速運動	比と単位換算
等加速度運動、自由落下	公式の変形、二次方程式
放物運動	三角比、二次方程式、連立方程式
ニュートンの法則、摩擦、斜面	三角比、一次方程式を解く
仕事、エネルギー、仕事率	累乗と平方根、比例による推論
運動量と衝突	連立方程式
円運動と万有引力	分数中の二乗、指数表記
どの単元にも出るグラフ問題	傾き、面積、グラフの振る舞い

無理なく続けられるルーティンは短いものです。まず右列の数学の技能を、毎回新しく生成される問題で10分間練習し、次に左列の物理の単元に移り、代数の部分が気にならなくなるまで解きます。どちらのアプリも毎回新しい数値を生成するため、答えを暗記することはできず、身につくのは解き方だけです。

Physics ZenはMath Zenと同じチームが作っており、同じ流れに従います。生成された問題、その場での答え合わせ、解答例、そして各問題の横にある理論です。運動学は最初から最後まで無料です。iPhoneとAndroidで利用できます。逆の視点からは、Physics Zenのブログで実は数学の誤りである物理の誤りと、それぞれ何を練習すべきかを扱っています。

符号の落としを直すのに、もっと物理を勉強する必要はありません。必要なのは正しい代数を5分間練習することだけです。そうすれば、すでに理解している物理が、本来得られるはずの得点を得られるようになります。