部分積分の例題：uの選び方から答えの検算まで

$\int x e^{2x}\,dx$を考えてみましょう。べき関数の積分公式だけでは積全体を積分できず、$e^{2x}$だけを積分すると$x$が残ります。部分積分は、この積を扱う方向を決める方法です。微分すると単純になる部分を微分し、積分しやすいままの部分を積分して、残ったより簡単な積分を処理します。

この記事では、単純な積から、繰り返して使う場合や上下限のある定積分まで、部分積分の例題を順に解きます。手法より先に積分の意味を確認したい場合は積分の解説をお読みください。微分の解説も役立ちます。ここでは答えを微分することが最も有効な検算だからです。

公式の由来

積の微分法則は$\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$です。両辺を積分し、一方の項を移項すると、OpenStax Calculus, Volume 2でも説明される部分積分の公式が得られます。

$$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$$

ここで$u$は微分するために選ぶ式、$dv$は積分するために選ぶ部分です。$du$と$v$を求めたあと、新しい積分$\int v\,du$は元の積分より簡単であるべきです。かえって難しくなるなら、分け方を見直してください。この公式は積の微分法則から代数的に導かれますが、どの分け方でも計算が楽になると保証するものではありません。

不定積分では最後に積分定数$C$を忘れないでください。$v$の原始関数を選ぶときにも定数を含められますが、都合のよい$v$を一つ選び、最終結果に$C$を付けるほうが簡単です。

目的を持って u と dv を選ぶ

まず「微分すると小さくなる因子はどれか」と考えます。多項式$x^2$は$2x$、$2$、そしてゼロへと変わります。対数関数は$1/x$になり、残りの部分と組み合わせやすい場合があります。一方、指数関数や正弦・余弦は、繰り返し積分しても比較的扱いやすいままです。

よく知られるLIATEという語呂合わせは、対数関数、逆三角関数、代数関数、三角関数、指数関数の順に$u$の候補を並べます。OpenStaxはこれを経験的な目安として紹介しており、定理ではありません。最初に当てはまる文字を盲信せず、得られた$\int v\,du$を確かめましょう。別の分け方のほうが短い場合もあり、置換積分のほうが適した積もあります。

例えば$\int 2x\cos(x^2)\,dx$には、内側の関数$x^2$とその導関数$2x$があります。$t=x^2$と置けば$dt=2x\,dx$となり、積分は$\sin(x^2)+C$です。ここで部分積分を使うと、簡単な合成関数の問題をわざわざ複雑にしてしまいます。対して$x e^{2x}$には、そのように直接対応する内側の関数と導関数がなく、$x$を微分すればその因子が消えます。

計算前に二列の小さな表を書き、片側に$u$と$du$、もう片側に$dv$と$v$を置きましょう。そして$v$と$du$を掛けたとき、より簡単な積分になるか確かめます。この確認によって、見慣れていて積分しやすいというだけでその因子を$u$に選ぶ誤りを避けられます。

例題1：一次式と指数関数の積

$\int x e^{2x}\,dx$を求めます。$u=x$と選ぶと$du=dx$です。$dv=e^{2x}\,dx$と選ぶと$v=\frac12e^{2x}$になります。係数$\frac12$は重要です。$e^{2x}$を微分すると、さらに2が掛かるからです。

$$\begin{aligned} \int x e^{2x}\,dx &=x\left(\frac12e^{2x}\right)-\int\frac12e^{2x}\,dx\\ &=\frac{x e^{2x}}2-\frac{e^{2x}}4+C\\ &=\frac{e^{2x}}4(2x-1)+C. \end{aligned}$$

因数をくくった形の答えを微分します。積の微分法則により$\frac14[2e^{2x}(2x-1)+2e^{2x}]$となり、これは$x e^{2x}$に簡約されます。元の被積分関数に正確に戻りました。もし検算で$2x e^{2x}$が出たなら、$\frac12$を忘れた可能性があります。$e^{2x}$の積分ではこの係数が必要です。

この選び方には終了点も見えています。$x$を微分すると定数になるため、残りの積分には指数関数しか含まれません。この例で「簡単になる」とは、そういう意味です。

例題2：対数関数を積分する

$\int\ln x\,dx$を$x>0$で求めます。式に積は書かれていませんが、1を掛けて$\ln x=1\cdot\ln x$とできます。$u=\ln x$、$dv=dx$と選ぶと、$du=\frac1x\,dx$、$v=x$です。

$$\begin{aligned} \int\ln x\,dx &=x\ln x-\int x\frac1x\,dx\\ &=x\ln x-x+C. \end{aligned}$$

検算は簡単です。$\frac{d}{dx}(x\ln x-x)=\ln x+1-1=\ln x$となります。定義域を$x>0$に限定しているため、ゼロをまたがずに$\ln x$と$1/x$を使えます。より一般的な原始関数$x\ln|x|-x+C$はゼロを含まない区間で使えますが、この問題は正の範囲にとどまります。

もし$u=1$、$dv=\ln x\,dx$と選べば、$v$を求めるために元の積分を既に知っている必要があります。この堂々巡りになる分け方からも、ここでは対数関数を$u$に選ぶ理由が分かります。

例題3：多項式が消えるまで繰り返す

$I=\int x^2\sin x\,dx$を求めます。$x^2$は微分すると次数が下がり、正弦関数の積分は単純です。まず$u=x^2$、$dv=\sin x\,dx$と選ぶと、$du=2x\,dx$、$v=-\cos x$です。

$$I=-x^2\cos x+2\int x\cos x\,dx.$$

残った積分も積を含みます。$J=\int x\cos x\,dx$とし、もう一度部分積分を使います。$u=x$、$du=dx$、$dv=\cos x\,dx$、$v=\sin x$です。すると

$$J=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x.$$

この結果を$I$に代入します。

$$\int x^2\sin x\,dx=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C.$$

次に項ごとに微分します。$-x^2\cos x$の導関数は$-2x\cos x+x^2\sin x$、$2x\sin x$の導関数は$2\sin x+2x\cos x$、$2\cos x$の導関数は$-2\sin x$です。余分な項がすべて打ち消し合い、$x^2\sin x$が残ります。この相殺は、正弦を積分したときの符号と、$x^2$を微分したときの係数2の両方を確認できます。

各回で一つの因子が小さくなるとき、部分積分の繰り返しは有効です。新しい積分が元の積分に似ていても、元の積分を式の片側にまとめて解ける場合があります。ただし、終わり方の見通しがないまま公式を繰り返さないでください。

例題4：定積分の上下限を保つ

$\int_0^1 x\ln(1+x)\,dx$を計算します。因子$x$は積分しやすく、$\ln(1+x)$を微分すると$1/(1+x)$になります。$u=\ln(1+x)$、$dv=x\,dx$と選びましょう。すると$du=\frac{1}{1+x}\,dx$、$v=x^2/2$です。定積分での部分積分は$\int_a^b u\,dv=[uv]_a^b-\int_a^b v\,du$です。

$$\begin{aligned} \int_0^1 x\ln(1+x)\,dx &=\left[\frac{x^2}{2}\ln(1+x)\right]_0^1 -\frac12\int_0^1\frac{x^2}{1+x}\,dx\\ &=\frac12\ln2-\frac12\int_0^1\left(x-1+\frac1{x+1}\right)dx. \end{aligned}$$

多項式の割り算で$x^2/(x+1)=x-1+1/(x+1)$と分かります。これをゼロから1まで積分すると$1/2-1+\ln2=\ln2-1/2$です。したがって

$$\int_0^1 x\ln(1+x)\,dx =\frac12\ln2-\frac12\left(\ln2-\frac12\right)=\frac14.$$

この正の答えは、$x\ln(1+x)$が$[0,1]$で非負であることと整合します。独立した代数的な検算として、原始関数$\frac{x^2-1}{2}\ln(1+x)-\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}$を使えます。1とゼロを代入しても$1/4$になります。定積分では、新しい積分にも同じ上下限を引き継いでください。最後の数値には$+C$を付けません。

解答付きの練習問題3題

1. 多項式と指数関数。 $\int 3x e^x\,dx$を求めます。

$u=3x$、$dv=e^x\,dx$とすると、$du=3\,dx$、$v=e^x$です。したがって

$$\int 3x e^x\,dx=3x e^x-3\int e^x\,dx=3e^x(x-1)+C.$$

$3e^x(x-1)$を微分すると$3e^x(x-1)+3e^x=3xe^x$となり、元の被積分関数に一致します。

2. 係数を伴う対数。 $\int x\ln x\,dx$を$x>0$で求めます。

$u=\ln x$、$dv=x\,dx$と選ぶと、$du=dx/x$、$v=x^2/2$です。

$$\int x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac12\int x\,dx =\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C.$$

微分すると$x\ln x+x/2-x/2=x\ln x$です。二つの$x/2$の項を残して書くと、検算の流れを追いやすくなります。

3. 定積分。 $\int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx$を計算します。

$u=x$、$dv=\cos x\,dx$とし、$du=dx$、$v=\sin x$を得ます。部分積分を適用したあとに上下限を代入します。

$$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx &=[x\sin x]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx\\ &=\frac\pi2-[-\cos x]_0^{\pi/2}\\ &=\frac\pi2-1. \end{aligned}$$

この区間では$x$と$\cos x$がともに非負で、$\pi/2-1$も正です。$x\sin x+\cos x$を微分すると$x\cos x$となり、上下限の計算に使った原始関数を確かめられます。

原始関数の選び方を練習するには、Math Zenの積分トピックをご利用ください。繰り返し積分する手法の後の応用例は、ラプラス変換の解説にあります。