置換積分の例題：uの選び方から答えの検算まで

$\int 2x\cos(x^2)\,dx$ を考えてみましょう。このような積をそのまま積分できる基本公式はありませんが、答えは短く $\sin(x^2)+C$ です。$\sin(x^2)$ を連鎖律で微分すると $\cos(x^2)\cdot2x$ となり、被積分関数に戻ります。置換積分は、こうした答えを意図的に見つける方法です。連鎖律を逆向きに使います。内側の関数を見つけて $u$ と名付け、その導関数に残りの因数を吸収させるのです。

この記事では置換積分の例題を6つ解きます。単純な場合から、定数倍のずれ、対数、積分区間を変える定積分、そして $x$ を新しい変数で表し直す必要がある置換まで扱います。連鎖律そのものにまだ不安があるなら、先に連鎖律の例題で準備しておきましょう。以下の検算はすべて連鎖律に頼っています。

公式を一行で

OpenStax Calculus 第1巻 §5.5 は、不定積分の置換を次のように述べています。$u=g(x)$ とし、$F$ が $f$ の原始関数であるとき、

$$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=F(g(x))+C.$$

実際には $u=g(x)$、$du=g'(x)\,dx$ と書き、積分全体を $u$ で書き直して積分し、元の変数に戻します。よい選び方かどうかの判定は簡単です。書き直したあとに $x$ が1つも残ってはいけません。残った場合は、それを $u$ で表すか、別の $u$ を選びます。

uの選び方

ほかの関数の中に入っている関数を探します。累乗の中、根号の中、指数の中、三角関数や対数関数の中などです。次に、その導関数が（定数倍を除いて）残りの部分に掛かっているかを確認します。

最後の行が大切です。$\int e^{x^2}\,dx$ は2行目と似ていますが、因数 $x$ がないので $du$ が吸収するものがなく、この積分には初等関数で表せる原始関数そのものがありません。置換積分はいつでも使える技ではなく、導関数がそろっているときに使える方法です。

例題1：導関数がすでにある場合

$\int 2x(x^2+1)^5\,dx$ を求めます。$u=x^2+1$ と置くと $du=2x\,dx$ です。因数 $2x\,dx$ はちょうど $du$ です。

$$\int 2x(x^2+1)^5\,dx=\int u^5\,du=\frac{u^6}{6}+C=\frac{(x^2+1)^6}{6}+C.$$

検算：$\frac{(x^2+1)^6}{6}$ の導関数は $(x^2+1)^5\cdot2x$ です。$(x^2+1)^5$ を展開して項ごとに積分しても答えは出ますが、ずっと時間がかかり、計算ミスも起きやすくなります。

例題2：定数倍が足りない場合

$\int xe^{x^2}\,dx$ を求めます。$u=x^2$ と置くと $du=2x\,dx$ ですが、被積分関数には $x\,dx$ しかありません。2で割って $x\,dx=\frac{1}{2}\,du$ とします。

$$\int xe^{x^2}\,dx=\frac{1}{2}\int e^{u}\,du=\frac{1}{2}e^{x^2}+C.$$

$\frac{1}{2}$ を積分の外に出せるのは、それが定数だからです。足りないのが変数の因数なら同じことはできません。$\int e^{x^2}\,dx$ は $dx=\frac{du}{2x}$ と書いても救えません。$x$ が $u$ の積分の中に残ってしまうからです。

例題3：内側の関数が対数の場合

$\int\frac{\ln x}{x}\,dx$ を求めます。ただし $x>0$ とします。$u=\ln x$ と置くと $du=\frac{1}{x}\,dx$ です。

$$\int\frac{\ln x}{x}\,dx=\int u\,du=\frac{u^2}{2}+C=\frac{(\ln x)^2}{2}+C.$$

関連する定番の結果が $\int\tan x\,dx=\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx$ から得られます。$u=\cos x$ と置くと $du=-\sin x\,dx$ で、積分は $-\int\frac{du}{u}=-\ln\lvert\cos x\rvert+C$ になります。マイナス符号に注意してください。これはコサインの導関数から来るもので、この例題で最もよくあるミスはこの符号の書き落としです。

例題4：積分区間を変える定積分

$\int_0^1 x(1+x^2)^3\,dx$ を計算します。$u=1+x^2$ と置くと $du=2x\,dx$、したがって $x\,dx=\frac{1}{2}\,du$ です。次に積分区間を変換します。$x=0$ のとき $u=1$、$x=1$ のとき $u=2$ です。

$$\int_0^1 x(1+x^2)^3\,dx=\frac{1}{2}\int_1^2 u^3\,du=\frac{1}{2}\left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2=\frac{1}{2}\cdot\frac{16-1}{4}=\frac{15}{8}.$$

区間を $u$ で表したら、元の変数に戻す必要はありません。OpenStaxも定積分の置換をこの形で示しています。積分区間は $g(a)$ と $g(b)$ に変わります。典型的なミスは、新しい被積分関数に古い区間0と1をそのまま使うことで、ここでは $\frac{1}{8}$ となり、正しい答えの15分の1になってしまいます。

見積もりで確かめましょう。被積分関数は $x=0$ で0、$x=1$ で8まで増えるので、面積は0と8の間、それも小さめの値になるはずです。曲線が急になるのは右端の近くだけだからです。$\frac{15}{8}=1.875$ はこれに合っています。

例題5：残ったxを表し直す

$\int x\sqrt{x+1}\,dx$ を求めます。$u=x+1$ と置くと $du=dx$ です。根号の外に $x$ が1つ残ります。置換の式からこれを表します：$x=u-1$。

$$\int x\sqrt{x+1}\,dx=\int(u-1)u^{1/2}\,du=\int\left(u^{3/2}-u^{1/2}\right)du=\frac{2}{5}(x+1)^{5/2}-\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}+C.$$

このように戻せるのは、$u=x+1$ が簡単に逆に解けるからです。残った $x$ を $u$ できれいに表せないときは、たいてい置き方が間違っています。

例題6：置換積分が向いていない場合

$\int xe^{x}\,dx$ を試してみます。すぐ思いつく $u=x$ では何も変わらず、$u=e^x$ では $x=\ln u$ が中に残って $\int\ln u\,du$ という問題になり、結局別の方法が必要です。この積には、導関数と並んだ内側の関数がありません。これは部分積分の出番で、一方の因数が微分によって簡単になります。

役に立つ習慣：$u$ の候補を1つか2つ試すのに使う時間は1分までにしましょう。どれでも $x$ が消えなければ、無理に押し通さず方法を切り替えます。

避けたいミス

• duを忘れる。 $u=x^2$ と置いて内側の関数だけを置き換えると、$dx$ が $u$ についての積分の中に残ります。すべての $dx$ を $du$ の定数倍に直す必要があります。
• 変数で割る。 積分の外に出せるのは定数の因数だけです。
• 新しい積分に古い区間を使う。 両端の区間を変換するか、値を代入する前に $x$ に戻します。
• 答えをuのままにする。 不定積分では元の変数に戻し、答えを $x$ の関数にして $+C$ を付けます。
• 検算を飛ばす。 答えの微分は数秒で済み、符号や定数のミスのほとんどを見つけられます。

練習問題と答え

1. $\int 3x^2(x^3-4)^4\,dx$。$u=x^3-4$ と置く。答え：$\frac{(x^3-4)^5}{5}+C$。
2. $\int\sin^2x\cos x\,dx$。$u=\sin x$ と置く。答え：$\frac{\sin^3x}{3}+C$。
3. $\int e^{3x}\,dx$。$u=3x$ と置くと $dx=\frac{1}{3}\,du$。答え：$\frac{e^{3x}}{3}+C$。
4. $\int_1^{e}\frac{\ln x}{x}\,dx$。$u=\ln x$ と置き、区間は0から1。答え：$\frac{1}{2}$。

置換積分は、ほとんどどんな積分でも最初に試す方法です。だからこそ積分を直感的に理解するガイドでは、この章の主力と呼んでいます。内側の関数に名前を付け、その導関数がそろっているかを確かめ、積分区間も含めてすべてを変換し、次へ進む前に答えを微分しましょう。