連鎖律の例題：合成関数の微分を手順ごとに解説

$(2x+3)^5$を微分してみましょう。括弧の中が単なる$x$であるかのように通常のべき乗の微分法則を使うと、$5(2x+3)^4$になります。形は正しそうですが、因子の2が足りません。括弧の中の式は$x$の2倍の速さで変化するため、導関数にもその変化を反映する必要があります。

この因子を掛けるのが連鎖律の要点です。この記事では、内側が一つの例から三層に入れ子になった例まで、独自の問題を順に解きます。導関数そのものの意味を先に確認したい場合は、微分の解説をお読みください。ここでは層の見分け方、微分の進め方、答えの検算に集中します。

内側の関数と外側の関数を見分ける

合成関数では、一つの関数の出力を別の関数に入力します。$y=(2x+3)^5$なら、まず$2x+3$を計算し、その結果を5乗します。内側を$g(x)=2x+3$、外側を$f(u)=u^5$と書けば、$y=f(g(x))$です。

値を求める順序と微分する順序は逆です。値を求めるときは内側から外側へ進みます。微分するときは外側の操作から始め、その入力を変えずに残し、最後にその入力の導関数を掛けます。OpenStaxの連鎖律の章は、微分可能な合成関数について次のように示しています。

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)$$

外側の関数の導関数を評価する入力は$g(x)$であり、$g'(x)$ではありません。内側の導関数は別の因子です。該当する点でどちらかの層が微分可能でないなら、この式をそのまま適用することはできません。

法則を使う前に層の名前を付けてみましょう。$\sin(4x^2-1)$では外側が正弦、内側が$4x^2-1$です。$\sqrt{1+x^4}$では外側が平方根、内側が$1+x^4$です。$x^2+3x$は式全体が和なので、各項を別々に微分します。括弧がある式すべてに連鎖律を使うわけではありません。

一つの関数の出力を別の関数に入れる考え方が初めてなら、合成関数の解説で微分前の値の求め方と定義域を確認できます。入出力の記法にまだ慣れていなければ、関数の基礎から始めてください。

毎回同じ四つの手順を使う

式が大きくなっても手順は変わりません。

1. すぐ内側の式を置く。 $h(x)=(3x^2-2)^4$なら、$u=3x^2-2$とします。
2. $u$をそのままにして外側を微分する。 外側は$u^4$なので、導関数は$4u^3$です。
3. 内側を微分する。 ここでは$du/dx=6x$です。
4. 掛け合わせて元の式に戻す。 $h'(x)=4(3x^2-2)^3(6x)=24x(3x^2-2)^3$となります。

後の計算で必要でない限り、4乗を展開しないでください。因数分解された答えなら、$4(3x^2-2)^3$は外側のべき乗から、$6x$は内側の二次式から来たことが見えます。早く展開すると因子の掛け忘れに気付きにくくなります。

三層でも同じ操作を繰り返します。最も外側を微分し、次の層の導関数を掛け、さらに最も深い層の導関数を掛けます。OpenStaxも同じ章で連鎖律の反復適用を扱っています。新しい法則を覚える必要はありません。

最後まで解く三つの例題

一次式のべき乗。 $p(x)=(2x+3)^5$に戻ります。外側の導関数は$5(2x+3)^4$、内側の導関数は$2$です。したがって、

$$p'(x)=5(2x+3)^4(2)=10(2x+3)^4$$

記号だけの答えを信じず、$x=0$で確かめます。元の関数は$p(0)=3^5=243$です。$(3+2x)^5$を一次の項まで展開すると$243+5(3^4)(2x)+\cdots=243+810x+\cdots$なので、ゼロでの傾きは$810$です。求めた導関数でも$10(3)^4=810$となります。内側の因子を忘れた式では$405$となり、この検算に失敗します。

三角関数の合成。 角度をラジアンで測り、$q(x)=\sin(4x^2-1)$とします。外側の正弦を微分すると、元の入力の余弦になります。内側の$4x^2-1$の導関数は$8x$です。

$$q'(x)=\cos(4x^2-1)(8x)=8x\cos(4x^2-1)$$

$x=0$では内側の導関数がゼロなので、$q'(0)=0$です。$q(x)$は$x^2$に依存し、$x$と$-x$で同じ値を取るため、局所的な対称性の確認にもなります。$x=1$での傾きは$8\cos(3)$であり、$\cos(8)$ではありません。余弦に入るのは元の内側の式で、その導関数ではありません。

三層の入れ子。 $r(x)=\left[\sin(2x^2+1)\right]^3$を考えます。外から順に、3乗、正弦、$2x^2+1$の三層です。この順に微分すると、

$$\begin{aligned} r'(x)&=3\left[\sin(2x^2+1)\right]^2 \cdot\cos(2x^2+1)\cdot 4x\\ &=12x\sin^2(2x^2+1)\cos(2x^2+1). \end{aligned}$$

三つの変化がつながっているため、導関数にも三つの因子があります。3乗は$3\sin^2(\cdot)$、正弦は余弦、二次式は$4x$を与えます。ここでも$r'(0)=0$で、$r(x)$が偶関数であることと一致します。この確認だけで導関数全体を証明できるわけではありませんが、代数的な誤りの一部を素早く見付けられます。

別の微分法則も必要か判断する

まず式全体の操作を見ます。$a(x)=x(2x+3)^5$では、変数を含む二つの式を掛けています。最初に積の法則を使い、べき乗になった因子に連鎖律を使います。

$$\begin{aligned} a'(x)&=1\cdot(2x+3)^5+x\cdot 5(2x+3)^4\cdot2\\ &=(2x+3)^5+10x(2x+3)^4\\ &=(2x+3)^4(12x+3). \end{aligned}$$

一方、$b(x)=(2x+3)^5$には式全体を構成する積がないため、連鎖律だけで$10(2x+3)^4$となります。二つの式の違いは、べき乗の外側に因子$x$があることです。この因子によって最初に使う法則が変わります。

商の形でも判断が必要です。$c(x)=1/(2x+3)^2$を$(2x+3)^{-2}$と書き直すと、式全体の操作がべき乗だと分かります。したがって、

$$c'(x)=-2(2x+3)^{-3}(2)=-\frac{4}{(2x+3)^3},\qquad x\ne-\frac32.$$

商の法則でも解けますが、この書き換えなら合成関数の構造が明確です。分子と分母の両方が$x$に依存するなら、まず商の法則を使い、それぞれの部分で連鎖律が必要か調べます。OpenStaxの連鎖律の章も、こうした法則の組み合わせを扱っています。

よくある三つの誤答を直す

内側の因子の掛け忘れ。 $(5x-1)^4$に対する$4(5x-1)^3$という答えには、内側の導関数$5$がありません。掛ける前に二つの部分を書けば、$4(5x-1)^3\times5=20(5x-1)^3$です。

外側の関数の入力を変えてしまう。 $\cos(x^2+2)$に対する$-\sin(2x)\cdot2x$は、内側の導関数を正弦の入力にしてしまっています。正しくは$-\sin(x^2+2)\cdot2x$です。外側は元の内側の式を入力として微分し、その後で内側の導関数を掛けます。

括弧のまとまりを失う。 $(x^2+3)^3$に対する$3x^2+3^2(2x)$は連鎖律になっていません。内側の式全体を二乗の括弧内に残します。$3(x^2+3)^2(2x)=6x(x^2+3)^2$です。最後の行まで内側を大きな括弧で囲みましょう。

簡単な値で元の関数と導関数を調べるのも有効です。一点での数値の一致だけではすべての$x$に対して正しいとは証明できませんが、値が合わなければ誤答をすぐに否定できます。

解答付きの練習問題三つ

解答を見る前に自分で試してください。層を示し、各層に一つずつ因子を書きます。

1. $s(x)=(7-3x)^4$を微分します。外側の導関数は$4(7-3x)^3$、内側の導関数は$-3$なので、

$$s'(x)=4(7-3x)^3(-3)=-12(7-3x)^3.$$

負号は手早い確認になります。$7-3x$が正である点の近くでは、$x$が増えると内側の値が減り、その4乗も減ります。

2. $t(x)=\cos(3x^2+x)$を微分します。外側の余弦は負の正弦に、内側の多項式は$6x+1$になります。

$$t'(x)=-\sin(3x^2+x)(6x+1).$$

$x=0$では$\sin(0)=0$なので、導関数もゼロです。ただし内側の導関数がゼロなのではありません。そこでは1です。二つの因子を分けておくと、積がゼロになる理由が分かります。

3. $v(x)=(1+\sin x)^3$を微分します。外側のべき乗から$3(1+\sin x)^2$、内側の導関数から$\cos x$が得られます。

$$v'(x)=3(1+\sin x)^2\cos x.$$

内側に正弦がありますが、式全体の操作はあくまで3乗です。外から内へ進みましょう。$x=0$では導関数は$3(1)^2(1)=3$です。

これらに慣れたら、Math Zenの微分の練習にある連鎖律のスキルに進めます。間違えた例に戻り、次の問題を解く前にどの因子を忘れたか説明してみてください。外側の操作を特定し、その入力を変えずに残し、入力の導関数を掛ける。この手順を定着させましょう。

よくある質問

連鎖律とべき乗の微分法則は同じですか？

いいえ。通常のべき乗の法則は$x^n$を微分します。連鎖律を使えば内側の式のべき乗にも適用でき、$[g(x)]^n$の導関数は$n[g(x)]^{n-1}g'(x)$です。$g(x)=x$なら導関数は1なので、通常のべき乗の法則になります。

平方根にも連鎖律を使えますか？

はい。$\sqrt{1+x^4}$を$(1+x^4)^{1/2}$と書き直します。外側の導関数は$\tfrac12(1+x^4)^{-1/2}$、内側の導関数は$4x^3$なので、結果は$2x^3/\sqrt{1+x^4}$です。

入れ子の関数で因子が複数になるのはなぜですか？

各層はその内側の層の変化に応じて変わるからです。$[\sin(2x^2+1)]^3$では、$x$が変わると二次式が変わり、それが正弦を変え、さらに3乗した値も変えます。三つの導関数の因子は、連動した三つの変化を表します。