Nombre e (nombre d'Euler) : définition et pourquoi il vaut 2,718

Tapez « e puissance 1 » sur une calculatrice et elle répond 2,718281828. Ce nombre est le nombre d'Euler, noté e, et c'est l'une des rares constantes que toutes les branches des mathématiques finissent par croiser : intérêts composés, croissance des populations, désintégration radioactive, probabilités, et tout le calcul différentiel.

Ce guide donne d'abord la réponse courte, puis montre d'où vient la valeur, deux façons de la calculer et pourquoi l'analyse traite e comme la base naturelle des exposants. Si les exposants eux-mêmes vous paraissent fragiles, commencez par comprendre les exposants intuitivement puis revenez ici.

La réponse courte : ce qu'est e, e puissance 1 et les valeurs clés

La valeur de e est d'environ 2,71828. Avec plus de décimales, c'est 2,718281828459045..., et les décimales ne s'arrêtent jamais et ne se répètent pas, car e est irrationnel (MathWorld). C'est la base du logarithme népérien et de la fonction exponentielle $e^{x}$. On l'appelle aussi constante de Néper, d'après John Napier (Wikipedia).

La plupart des recherches sur e demandent en réalité l'une de quelques valeurs. Les voici, calculées avec six chiffres significatifs ou plus :

Expression	Valeur	Pourquoi
$e^{1}$	2,718282	Tout nombre à la puissance 1 reste lui-même
$e^{0}$	1	Tout nombre non nul à la puissance 0 vaut 1
$e^{-1}$	0,367879	Identique à $1/e$
$e^{2}$	7,389056	$e \times e$
$e^{1/2}$	1,648721	Identique à $\sqrt{e}$
$\ln e$	1	Le logarithme népérien annule $e^{x}$

Donc e puissance 1 est simplement e, environ 2,71828. Rien de spécial ne se passe à la puissance 1 ; ce qui est spécial, c'est la base elle-même.

D'où vient e : les intérêts composés

Jacob Bernoulli a rencontré ce nombre en 1683 en étudiant les intérêts composés en continu, et il a montré qu'il devait se situer entre 2 et 3 (MacTutor). Sa question est simple à énoncer.

Placez 1 dollar sur un compte qui rapporte 100 % d'intérêt par an. Si les intérêts sont versés en une seule fois à la fin de l'année, vous avez 2 dollars. Découpez maintenant ces mêmes 100 % en n versements plus petits, chacun ajoutant $1/n$ du solde, et laissez chaque versement produire des intérêts sur les précédents. Au bout d'un an, vous avez

$$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}$$

dollars. Capitaliser plus souvent rapporte plus, mais pas sans limite :

Capitalisation	n	Solde après un an
Annuelle	1	2,000000
Semestrielle	2	2,250000
Trimestrielle	4	2,441406
Mensuelle	12	2,613035
Quotidienne	365	2,714567
Toutes les heures	8 760	2,718127
En continu	n grandit sans limite	2,718282 = e

Passer du mensuel au quotidien ajoute environ dix centimes. Passer du quotidien à l'horaire ajoute moins d'un demi-centime. Le solde se traîne vers un plafond qu'il ne dépasse jamais, et ce plafond est e. C'est exactement ainsi que le manuel de calcul d'OpenStax définit le nombre : quand m grandit, $\left(1 + 1/m\right)^{m}$ s'approche d'un nombre, et ce nombre s'appelle e (OpenStax Calculus Volume 1, section 1.5). Pour un taux r pendant t années, la même idée donne la formule de croissance continue $A = Pe^{rt}$.

Deux définitions qui concordent, et la vitesse de chacune

Il existe une seconde route vers le même nombre. Additionnez 1 divisé par chaque factorielle :

$$e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$$

MathWorld donne les deux formes comme définitions de e, et Euler les a placées côte à côte dans son Introductio in analysin infinitorum de 1748, où il a aussi donné e avec 18 décimales (MacTutor). Elles produisent le même nombre, mais à des vitesses très différentes. Voici la course à la convergence, calculée directement ; la cible est 2,71828, les cinq premières décimales de e :

Course à la convergence : limite contre série

Limite $\left(1 + 1/n\right)^{n}$	Valeur	Série, termes utilisés	Somme partielle
n = 1	2,000000	2 termes (jusqu'à 1/1!)	2,000000
n = 10	2,593742	4 termes (jusqu'à 1/3!)	2,666667
n = 100	2,704814	6 termes (jusqu'à 1/5!)	2,716667
n = 1 000	2,716924	8 termes (jusqu'à 1/7!)	2,718254
n = 100 000	2,718268	9 termes (jusqu'à 1/8!)	2,718279
n = 1 000 000	2,718280	10 termes (jusqu'à 1/9!)	2,718282

La série fixe 2,71828 après 10 termes. La limite exige un n d'environ 743 000 avant d'afficher 2,71828 pour la première fois, et même avec un million de pas elle se trompe encore à la sixième décimale. La raison tient à la taille des erreurs. Chaque nouveau terme factoriel est bien plus petit que le précédent, si bien que l'erreur de la série décroît plus vite que n'importe quelle puissance. L'erreur de la limite décroît à peu près comme $e/(2n)$ : dix fois plus de pas n'apportent qu'environ un chiffre exact de plus.

La leçon pratique : la limite explique pourquoi e existe (c'est le plafond de la croissance composée), et la série est ce qui sert à le calculer.

Pourquoi l'analyse préfère e

Toute fonction exponentielle $b^{x}$ avec $b > 0$ est une courbe qui monte (ou descend) de plus en plus vite. Sa pente en chaque point est proportionnelle à sa hauteur. Pour la plupart des bases, le coefficient est une constante peu commode : pour $2^{x}$, la pente vaut environ 0,693 fois la hauteur ; pour $3^{x}$, environ 1,099 fois la hauteur.

Il existe exactement une base pour laquelle ce coefficient vaut 1, de sorte que la pente en chaque point est égale à la hauteur. Cette base, c'est e. OpenStax définit e ainsi dans son chapitre sur les dérivées : l'unique base dont l'exponentielle a une pente de 1 en $x = 0$, d'où l'on déduit que

$$\frac{d}{dx}\, e^{x} = e^{x}$$

(OpenStax Calculus Volume 1, section 3.9). Une fonction qui est sa propre dérivée rend le calcul avec la croissance presque gratuit : dérivez $e^{x}$ et rien ne change, intégrez-la et rien ne change. Si l'idée de dérivée comme pente est nouvelle pour vous, les dérivées depuis zéro la construisent pas à pas.

Le logarithme népérien, noté ln, est la réciproque de $e^{x}$ : $\ln(e^{x}) = x$ et $e^{\ln x} = x$ pour $x > 0$. Sa dérivée est tout aussi simple, $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$. C'est pourquoi les scientifiques disent que la base e est « naturelle » : c'est la base qui raccourcit le plus les formules. Notre guide pour comprendre les logarithmes intuitivement traite ln aux côtés des bases 10 et 2.

La série de la section précédente n'est pas un hasard non plus. La série de Maclaurin de $e^{x}$ est $\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}/n!$ (OpenStax Calculus Volume 2, section 6.3) ; posez $x = 1$ et vous retrouvez la somme de factorielles de e.

Nombre d'Euler, constante d'Euler et identité d'Euler

Le nom d'Euler est attaché à tant de résultats que trois choses différentes se confondent dans les recherches :

Nom	Symbole et valeur	Ce que c'est
Nombre d'Euler	e ≈ 2,71828	Base du logarithme népérien ; la limite et la série ci-dessus
Constante d'Euler (Euler-Mascheroni)	γ ≈ 0,57722	La limite de $1 + \tfrac{1}{2} + \cdots + \tfrac{1}{n} - \ln n$ quand n grandit
Identité d'Euler	$e^{i\pi} + 1 = 0$	Une équation qui relie e, i, π, 1 et 0

Elles diffèrent aussi par ce que l'on en sait. Pour e, on a prouvé qu'il est irrationnel et, par Charles Hermite en 1873, transcendant (MathWorld). Pour γ, on ne sait même pas encore s'il est irrationnel (MathWorld, constante d'Euler-Mascheroni). Et l'identité d'Euler n'est pas un nombre mais une affirmation sur e élevé à une puissance imaginaire ; notre présentation de l'identité d'Euler montre pourquoi $e^{i\pi}$ tombe sur -1.

Erreurs fréquentes avec e

Traiter e comme une variable. Dans $e^{x}$, x varie et e ne varie pas. Résoudre $e^{x} = 5$ revient à prendre ln des deux côtés : $x = \ln 5 \approx 1.609$.

Arrondir trop tôt. Utiliser 2,7 à la place de e dans $e^{3}$ donne 19,683 au lieu de 20,0855. Gardez le e de la calculatrice jusqu'à la dernière étape.

Confondre $e^{-1}$ et $-e$. Un exposant négatif signifie un inverse : $e^{-1} = 1/e \approx 0.3679$, qui est positif. $-e \approx -2.718$ est un autre nombre.

Mélanger ln et log. Sur la plupart des calculatrices, « log » désigne la base 10 et « ln » la base e. On a $\ln e = 1$, mais $\log e \approx 0.4343$.

Exercices sur e

Essayez ceux-ci avant de vérifier :

1. Sans calculatrice, que valent $e^{0}$, $e^{1}$ et $\ln 1$ ?
2. Simplifiez $e^{2} \cdot e^{3}$ et $\ln\left(e^{7}\right)$.
3. Résolvez $e^{x} = 1$.

Réponses : 1, e et 0 ; $e^{5}$ et 7 ; $x = 0$.

Les exercices sur les logarithmes de Math Zen travaillent ln et le changement de base, et les exercices sur les fonctions incluent les fonctions exponentielles : de quoi transformer ces règles en réflexes, un problème à la fois.

Questions fréquentes

Le nombre e est-il rationnel ?

Non. e est irrationnel et ses décimales ne s'arrêtent jamais et ne se répètent pas. Hermite a prouvé en 1873 qu'il est aussi transcendant : il n'est racine d'aucun polynôme non nul à coefficients rationnels.

Pourquoi l'appelle-t-on e ?

Leonhard Euler a utilisé la lettre dans une lettre à Christian Goldbach en 1731, puis dans un ouvrage imprimé en 1736. Personne ne sait avec certitude pourquoi il a choisi e ; l'histoire selon laquelle il aurait pris sa propre initiale n'est pas retenue par les historiens.

Combien vaut e^2 ?

Environ 7,389. C'est e multiplié par lui-même, $2.71828 \times 2.71828$.

Combien vaut e puissance 0 ?

Exactement 1, comme tout nombre non nul élevé à la puissance 0.