Règle de l'Hôpital : conditions et quatre limites détaillées

Vous remplacez $x$ par la valeur visée dans une fraction et trouvez $0/0$. Faut-il dériver son numérateur et son dénominateur ? Parfois. Vérifiez d'abord si une simplification algébrique suffit, si les deux parties forment bien un cas admissible et si la dérivation rend le calcul plus simple. La règle de l'Hôpital est un théorème soumis à des conditions, pas un ordre de dériver toute fraction dont le dénominateur pose problème.

Ce guide présente un tableau de décision avant les calculs, puis l'utilise dans quatre limites résolues. Une se traite plus vite en factorisant, une est exclue de la règle, une l'utilise à l'infini et une puissance ne devient admissible qu'après passage au logarithme. Si la notion de limite est nouvelle, commencez par notre guide sur les limites. Notre guide sur les dérivées explique l'autre outil nécessaire.

Vérifier les conditions avant de dériver

Au point visé, examinez le numérateur et le dénominateur séparément. La règle s'applique directement aux quotients de formes $0/0$ ou $\pm\infty/\pm\infty$, sous réserve des autres hypothèses. Elle ne s'applique pas directement à $5/0$, $0\cdot\infty$, $\infty-\infty$ ni à une puissance comme $1^{\pm\infty}$. Certaines de ces formes peuvent être réécrites en quotient admissible; d'autres demandent une autre méthode.

Dans une formulation courante, lorsque les hypothèses sont réunies,

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},$$

à condition que la limite de droite existe comme limite finie ou infinie appropriée. Sur l'intervalle épointé pertinent autour du point d'approche, $f$ et $g$ doivent être dérivables et $g'(x)$ doit rester non nul. Dans le quotient initial, les deux fonctions doivent tendre vers zéro ou toutes deux devenir non bornées dans le sens étudié. Il existe des versions adaptées aux limites unilatérales et aux limites à l'infini. OpenStax, Calculus, volume 1, §4.8 présente le théorème et les transformations; Paul's Online Notes souligne la vérification de la forme avant son emploi.

Si la limite de $f'/g'$ n'existe pas, cette tentative peut simplement rester sans conclusion : cela ne prouve pas que la limite initiale n'existe pas. À l'inverse, obtenir $0/0$ par substitution n'est que le premier contrôle. Les fonctions et la dérivée du dénominateur doivent aussi satisfaire les hypothèses près du point. Dans chaque exemple, nous précisons le domaine et le sens d'approche.

Cas 1 : l'algèbre résout d'abord une forme 0/0

Considérons

$$\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}.$$

Numérateur et dénominateur tendent vers zéro : la forme est $0/0$. La première ligne du tableau autorise la règle, mais factoriser est plus simple. Pour $x\ne3$,

$$\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3.$$

La fraction n'est pas définie en $x=3$, mais une limite concerne les valeurs voisines. Pour ces valeurs elle est égale à $x+3$, donc sa limite est $6$. Pour vérifier, dériver séparément numérateur et dénominateur donne $\lim_{x\to3}2x/1=6$. Les méthodes coïncident, mais la factorisation montre le trou amovible et pourquoi la simplification est légitime.

Il faut choisir sa méthode : admissible ne signifie pas préférable. Factoriser, rationaliser ou simplifier une fraction complexe suffit souvent avant toute dérivée. Notre explication des limites utilise un autre trou amovible pour distinguer valeur de la fonction et limite. Ici, la question est de choisir la méthode valide la plus courte et la plus claire.

Cas 2 : 5/0 n'est pas une forme indéterminée

Prenons maintenant

$$\lim_{x\to0}\frac{5}{x}.$$

Le numérateur tend vers $5$, ni vers zéro ni vers l'infini, tandis que le dénominateur tend vers zéro. C'est la deuxième ligne du tableau, $5/0$ : la règle de l'Hôpital ne s'applique pas. Le sens d'approche donne le comportement : lorsque $x\to0^+$, $5/x\to+\infty$; lorsque $x\to0^-$, $5/x\to-\infty$. La limite bilatérale n'existe donc pas, même si chaque comportement unilatéral est connu.

Dériver aveuglément le haut et le bas produirait $0/1=0$, réponse fausse. Ce n'est pas un échec du théorème, mais un calcul effectué hors de ses hypothèses. Vérifiez l'admissibilité avant la dérivation. Ici, le signe du dénominateur de chaque côté en dit plus qu'une ligne d'algèbre supplémentaire.

Cet exemple montre aussi que « le dénominateur tend vers zéro » ne suffit pas pour classer une limite. Comparez-le au cas 1 : les deux dénominateurs tendent vers zéro, mais le numérateur du cas 1 aussi, et son quotient tend vers une valeur finie. La forme initiale détermine les méthodes possibles; le côté d'approche décide si une limite bilatérale existe.

Cas 3 : l'infini sur l'infini

Faisons tendre $x$ vers $+\infty$ dans

$$\frac{2x^2+3x}{x^2-1}.$$

Numérateur et dénominateur tendent tous deux vers $+\infty$. Nous avons la forme admissible $\infty/\infty$ de la troisième ligne. Pour $x$ positif assez grand, le dénominateur et sa dérivée sont non nuls. Dérivons numérateur et dénominateur séparément :

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2+3x}{x^2-1} =\lim_{x\to+\infty}\frac{4x+3}{2x}=2.$$

La dernière étape vient de $3/(2x)\to0$. Une application suffit : inutile de dériver encore lorsque le nouveau quotient a une limite évidente. Une vérification algébrique directe est même plus courte. Divisez le numérateur et le dénominateur initiaux par $x^2$ : $(2+3/x)/(1-1/x^2)\to2$. Les deux méthodes montrent que les coefficients quadratiques dominants commandent ce cas.

La comparaison aide au choix. Dériver est utile si cela simplifie le quotient. Si la division par la plus haute puissance de $x$ suffit immédiatement, choisissez-la. La validité de la règle ne rend pas la solution algébrique moins bonne.

Cas 4 : une puissance exige un passage au logarithme

Considérons l'expression positive $(1+x)^{1/x}$ lorsque $x\to0$, avec $x>-1$ et $x\ne0$. La base tend vers $1$ alors que la valeur absolue de l'exposant grandit sans borne : c'est la forme puissance indéterminée $1^{\pm\infty}$. Ce n'est pas un quotient. Selon la quatrième ligne, on ne peut pas appliquer directement la règle à la puissance.

Posons $y=(1+x)^{1/x}$ et prenons le logarithme naturel dans son domaine positif :

$$\ln y=\frac{\ln(1+x)}{x}.$$

Le numérateur et le dénominateur de ce quotient logarithmique tendent maintenant vers zéro. Près de zéro, ils sont dérivables et la dérivée du dénominateur vaut $1$. Appliquons la règle à ce quotient :

$$\lim_{x\to0}\ln y =\lim_{x\to0}\frac{1/(1+x)}{1}=1.$$

L'exponentielle est continue, donc la limite initiale est $e^1=e$. Elle est identique des deux côtés dans $x>-1$. La distinction essentielle est que la règle a évalué la limite de $\ln y$, pas directement celle de la puissance. Notre guide du nombre d'Euler explique pourquoi les limites faisant intervenir $e$ reviennent en analyse.

Ne prenez pas le logarithme d'une expression qui pourrait être non positive sans contrôler le domaine. Ici, $1+x>0$ près de zéro; le logarithme est donc légitime. Le passage au logarithme crée le quotient, puis l'exponentiation ramène la réponse à l'expression initiale. Omettre l'une des étapes laisse le raisonnement incomplet.

Ne confondez pas deux dérivations différentes

La règle de l'Hôpital compare la limite de $f/g$ avec celle de $f'/g'$. La règle de dérivation d'un quotient, en revanche, calcule la dérivée de la fonction entière $f/g$ :

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f'g-fg'}{g^2}.$$

Ce sont deux objets distincts. Dans le cas 1, la fraction est égale à $x+3$ pour $x\ne3$ : sa dérivée ordinaire près de ce point vaut $1$. Mais sa limite lorsque $x\to3$ vaut $6$. Remplacer $f'/g'$ par la dérivée calculée avec la règle du quotient répondrait à une autre question. De même, utiliser $f'/g'$ dans le cas 2 donnait une mauvaise réponse parce que la forme initiale requise manquait.

Voici une routine rapide : substituez ou inspectez les deux parties, nommez la forme, simplifiez si possible, vérifiez domaine et hypothèses, puis dérivez haut et bas séparément seulement si cela aide pour un quotient admissible. Conservez le sens d'approche dans la notation. Pour vous exercer, reprenez le cas 3 avec $x\to-\infty$ et contrôlez à nouveau forme et réponse. Les thèmes limites et dérivées de Math Zen travaillent ces bases problème par problème.

Questions fréquentes

Puis-je appliquer l'Hôpital chaque fois que la substitution donne $0/0$ ? C'est une méthode possible, pas une consigne automatique. Vérifiez la dérivabilité dans le voisinage épointé concerné, la dérivée non nulle du dénominateur et l'existence d'une limite adaptée pour le quotient des dérivées. Essayez d'abord l'algèbre simple.

Peut-on appliquer plusieurs fois la règle ? Oui, si le nouveau quotient satisfait encore les conditions et si une autre application aide. Vérifiez à nouveau sa forme chaque fois. Arrêtez lorsque la limite ordinaire est accessible.

Pourquoi pas la règle de dérivation d'un quotient ? Celle-ci calcule la dérivée de $f/g$. L'Hôpital compare sous certaines conditions les limites de $f/g$ et de $f'/g'$. Ces opérations ne sont pas interchangeables.

Et si le numérateur ne tend pas vers zéro ? Si le dénominateur tend vers zéro et le numérateur vers une valeur finie non nulle, la forme n'est pas $0/0$. Examinez plutôt les signes et les comportements unilatéraux, comme pour $5/x$ près de zéro.