Règle de dérivation en chaîne : exemples détaillés pas à pas

Dérivez $(2x+3)^5$. Si vous appliquez la règle habituelle des puissances comme si la parenthèse ne contenait que $x$, vous obtenez $5(2x+3)^4$. La forme semble juste, mais il manque un facteur deux. L'expression entre parenthèses varie deux fois plus vite que $x$, et la dérivée doit tenir compte de cette variation.

C'est précisément le rôle de la règle de dérivation en chaîne. Nous allons résoudre des exemples originaux, depuis une seule fonction intérieure jusqu'à trois niveaux imbriqués. Pour revoir le sens général d'une dérivée, commencez par notre guide sur les dérivées. Ici, nous allons reconnaître les niveaux, les dériver et vérifier le résultat.

Reconnaître les fonctions intérieure et extérieure

Dans une composition, le résultat d'une fonction sert d'entrée à une autre. Pour $y=(2x+3)^5$, calculez d'abord $2x+3$, puis élevez le résultat à la cinquième puissance. Notons $g(x)=2x+3$ la fonction intérieure et $f(u)=u^5$ la fonction extérieure. Alors $y=f(g(x))$.

L'ordre d'évaluation et l'ordre de dérivation vont en sens inverse. Pour évaluer, allez de l'intérieur vers l'extérieur. Pour dériver, commencez par l'opération extérieure, conservez son entrée telle quelle, puis multipliez par la dérivée de cette entrée. OpenStax énonce ainsi la règle pour des compositions dérivables dans son chapitre consacré à la règle en chaîne :

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)$$

La dérivée de la fonction extérieure s'évalue en $g(x)$, pas en $g'(x)$. La dérivée intérieure est un facteur distinct. Si l'un des niveaux n'est pas dérivable au point considéré, on ne peut pas simplement appliquer cette formule à ce point.

Essayez de nommer les niveaux avant de choisir une règle. Dans $\sin(4x^2-1)$, l'opération extérieure est le sinus et l'expression intérieure est $4x^2-1$. Dans $\sqrt{1+x^4}$, l'opération extérieure est la racine carrée et l'expression intérieure est $1+x^4$. Dans $x^2+3x$, l'opération principale est une addition : dérivez les termes séparément. Toutes les parenthèses ne signalent pas une règle en chaîne.

Si l'idée d'insérer une fonction dans une autre vous est nouvelle, notre article sur les fonctions composées explique l'évaluation et le domaine de définition avant la dérivation. Notre article sur les fonctions est un point de départ si la notation entrée-sortie vous paraît encore peu familière.

Toujours suivre les quatre mêmes étapes

La méthode ne change pas selon la taille de l'expression :

1. Nommez l'expression immédiatement intérieure. Pour $h(x)=(3x^2-2)^4$, posez $u=3x^2-2$.
2. Dérivez la partie extérieure en laissant $u$ en place. Puisque l'extérieur est $u^4$, sa dérivée est $4u^3$.
3. Dérivez la partie intérieure. Ici, $du/dx=6x$.
4. Multipliez et remettez l'expression initiale. Vous obtenez $h'(x)=4(3x^2-2)^3(6x)=24x(3x^2-2)^3$.

Ne développez pas la quatrième puissance sauf si un calcul ultérieur l'exige. La réponse factorisée montre la provenance de chaque morceau : $4(3x^2-2)^3$ vient de la puissance extérieure, tandis que $6x$ vient de l'expression quadratique intérieure. Un développement prématuré rend un facteur manquant plus difficile à repérer.

Pour trois niveaux, répétez le même geste. Dérivez le niveau le plus extérieur, multipliez par la dérivée du suivant, puis par celle du niveau le plus profond. OpenStax développe cette application répétée dans le même chapitre. Aucune nouvelle règle n'est à mémoriser.

Trois exemples entièrement résolus

Une puissance d'une expression affine. Revenons à $p(x)=(2x+3)^5$. La dérivée extérieure est $5(2x+3)^4$ et la dérivée intérieure est $2$. Donc :

$$p'(x)=5(2x+3)^4(2)=10(2x+3)^4$$

Vérifiez en $x=0$ sans croire aveuglément la réponse symbolique. La fonction initiale donne $p(0)=3^5=243$. En développant uniquement le terme du premier ordre de $(3+2x)^5$, on obtient $243+5(3^4)(2x)+\cdots=243+810x+\cdots$. La pente en zéro vaut donc $810$. Notre dérivée donne $10(3)^4=810$. La version sans facteur intérieur donne $405$ et échoue à ce contrôle.

Une composition trigonométrique. Soit $q(x)=\sin(4x^2-1)$, avec des angles en radians. La dérivée extérieure du sinus est le cosinus évalué à la même entrée, et la dérivée intérieure de $4x^2-1$ vaut $8x$ :

$$q'(x)=\cos(4x^2-1)(8x)=8x\cos(4x^2-1)$$

En $x=0$, la dérivée intérieure est nulle, donc $q'(0)=0$. Cela correspond à une vérification locale par symétrie : $q(x)$ dépend de $x^2$ et prend donc la même valeur en $x$ et en $-x$. En $x=1$, la pente est $8\cos(3)$, et non $\cos(8)$. Le cosinus reçoit l'expression intérieure inchangée, pas sa dérivée.

Trois niveaux imbriqués. Prenons $r(x)=\left[\sin(2x^2+1)\right]^3$. De l'extérieur vers l'intérieur, les niveaux sont le cube, le sinus et $2x^2+1$. Dérivez-les dans cet ordre :

$$\begin{aligned} r'(x)&=3\left[\sin(2x^2+1)\right]^2 \cdot\cos(2x^2+1)\cdot 4x\\ &=12x\sin^2(2x^2+1)\cos(2x^2+1). \end{aligned}$$

Il y a trois facteurs parce que trois variations sont liées. Le cube apporte $3\sin^2(\cdot)$, le sinus apporte le cosinus, et l'expression quadratique apporte $4x$. De nouveau, $r'(0)=0$, ce qui est cohérent avec la parité de $r(x)$. Cela ne prouve pas la dérivée entière, mais repère rapidement certaines erreurs de calcul.

Savoir quand une autre règle est nécessaire

Repérez d'abord l'opération principale. Dans $a(x)=x(2x+3)^5$, deux expressions variables sont multipliées. Commencez par la règle du produit, puis utilisez la règle en chaîne pour le facteur élevé à une puissance :

$$\begin{aligned} a'(x)&=1\cdot(2x+3)^5+x\cdot 5(2x+3)^4\cdot2\\ &=(2x+3)^5+10x(2x+3)^4\\ &=(2x+3)^4(12x+3). \end{aligned}$$

En revanche, $b(x)=(2x+3)^5$ ne comporte aucun produit au niveau principal : la règle en chaîne seule donne $10(2x+3)^4$. Les deux expressions diffèrent par un facteur $x$ placé en dehors de la puissance, et ce facteur change la règle à employer en premier.

Un quotient peut dissimuler le même choix. Pour $c(x)=1/(2x+3)^2$, réécrivez l'expression sous la forme $(2x+3)^{-2}$. L'opération principale est une puissance, donc :

$$c'(x)=-2(2x+3)^{-3}(2)=-\frac{4}{(2x+3)^3},\qquad x\ne-\frac32.$$

La règle du quotient fonctionnerait aussi, mais cette réécriture rend la composition évidente. Si le numérateur et le dénominateur dépendent tous deux de $x$, appliquez la règle du quotient au niveau principal et examinez chaque partie pour voir si elle nécessite la règle en chaîne. OpenStax traite ces combinaisons dans sa section sur cette règle.

Corriger trois erreurs fréquentes

Oublier le facteur intérieur. Pour $(5x-1)^4$, la réponse $4(5x-1)^3$ omet la dérivée $5$. Écrivez les deux parties avant de multiplier : $4(5x-1)^3\times5=20(5x-1)^3$.

Modifier l'entrée de la fonction extérieure. Pour $\cos(x^2+2)$, la réponse $-\sin(2x)\cdot2x$ introduit la dérivée intérieure dans le sinus. La dérivée correcte est $-\sin(x^2+2)\cdot2x$. Dérivez la fonction extérieure en conservant l'intérieur inchangé, puis ajoutez sa dérivée comme facteur.

Perdre les parenthèses. Pour $(x^2+3)^3$, $3x^2+3^2(2x)$ n'est pas la règle en chaîne. Toute l'expression intérieure reste à l'intérieur de la puissance au carré : $3(x^2+3)^2(2x)=6x(x^2+3)^2$. Gardez de grandes parenthèses autour de l'intérieur jusqu'à la dernière ligne.

Un contrôle utile consiste à évaluer la fonction initiale et votre dérivée en un point simple. Une seule valeur numérique ne démontre pas une dérivée pour tout $x$, mais une discordance peut rapidement réfuter une réponse fausse et séduisante.

Trois exercices avec solutions complètes

Essayez chaque exercice avant de lire la solution. Repérez les niveaux, puis écrivez un facteur par niveau.

1. Dérivez $s(x)=(7-3x)^4$. La dérivée extérieure est $4(7-3x)^3$. La dérivée intérieure est $-3$, donc :

$$s'(x)=4(7-3x)^3(-3)=-12(7-3x)^3.$$

Le signe négatif fournit un contrôle rapide : près d'un point où $7-3x$ est positif, une augmentation de $x$ réduit cette quantité intérieure et donc sa quatrième puissance.

2. Dérivez $t(x)=\cos(3x^2+x)$. Le cosinus extérieur devient l'opposé du sinus; le polynôme intérieur devient $6x+1$ :

$$t'(x)=-\sin(3x^2+x)(6x+1).$$

En $x=0$, le résultat est nul parce que $\sin(0)=0$. N'en concluez pas que la dérivée intérieure y est nulle : elle vaut un. La séparation des deux facteurs vous montre pourquoi le produit s'annule.

3. Dérivez $v(x)=(1+\sin x)^3$. La puissance extérieure apporte $3(1+\sin x)^2$; la dérivée intérieure est $\cos x$ :

$$v'(x)=3(1+\sin x)^2\cos x.$$

L'intérieur contient ici un sinus, mais l'opération principale reste le cube. Travaillez de l'extérieur vers l'intérieur. En $x=0$, la dérivée vaut $3(1)^2(1)=3$.

Une fois ces exercices maîtrisés, les exercices de dérivation de Math Zen proposent notamment la règle en chaîne parmi les exercices d'analyse. Revenez sur un exemple manqué et expliquez quel facteur manquait avant de passer au suivant. Gardez cette habitude simple : nommer l'opération extérieure, conserver son entrée et multiplier par la dérivée de cette entrée.

Questions fréquentes

La règle en chaîne est-elle la même que la règle des puissances ?

Non. La règle des puissances permet de dériver $x^n$. La règle en chaîne permet de l'appliquer à une puissance d'une expression intérieure : la dérivée de $[g(x)]^n$ est $n[g(x)]^{n-1}g'(x)$. Si $g(x)=x$, sa dérivée vaut un et on retrouve la règle habituelle des puissances.

Peut-on appliquer la règle en chaîne à une racine carrée ?

Oui. Réécrivez $\sqrt{1+x^4}$ sous la forme $(1+x^4)^{1/2}$. La dérivée extérieure est $\tfrac12(1+x^4)^{-1/2}$ et la dérivée intérieure est $4x^3$, d'où $2x^3/\sqrt{1+x^4}$.

Pourquoi les fonctions imbriquées produisent-elles plusieurs facteurs ?

Chaque niveau réagit à la variation du niveau qu'il contient. Dans $[\sin(2x^2+1)]^3$, une variation de $x$ modifie l'expression quadratique, qui modifie le sinus, qui modifie le cube. Les trois facteurs dérivés décrivent ces trois variations liées.