Fonctions composées : ordre, valeurs et domaine

Imaginez un service de livraison qui facture 3 dollars par kilomètre, puis ajoute 5 dollars de frais fixes. Pour un trajet de 4 kilomètres, vous multipliez d'abord 4 par 3, puis ajoutez 5. La sortie d'une première règle passe dans une seconde règle. C'est la composition de fonctions.

La notation peut sembler plus difficile que l'opération. Si $g(x)=3x$ calcule le coût lié à la distance et $f(x)=x+5$ ajoute les frais, le total est de $f(g(4))=f(12)=17$ dollars. La règle intérieure s'applique d'abord. Vous ne pouvez pas ajouter les frais à la distance avant de multiplier, sauf si le tarif le prévoit réellement.

Lire l'ordre de l'intérieur vers l'extérieur

Une fonction composée place une fonction dans une autre :

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))$$

Lisez « $f$ après $g$ ». Calculez d'abord $g(x)$. Utilisez ensuite ce résultat comme entrée de $f$. Le rond est le symbole de composition, pas une multiplication. La section d'OpenStax sur la composition définit l'opération et précise cet ordre.

Prenez $f(x)=2x+1$ et $g(x)=x^2-3$. Pour former $f(g(x))$, remplacez la place de l'entrée dans $f$ par l'expression entière $x^2-3$ :

$$f(g(x))=2(x^2-3)+1=2x^2-5$$

Pour $x=4$, la règle intérieure donne $g(4)=16-3=13$, puis la règle extérieure donne $f(13)=27$. L'expression composée confirme le résultat : $2(4)^2-5=27$. Comparer le calcul en deux étapes à l'expression finale permet de repérer une parenthèse mal placée.

La notation des fonctions rend visible la place de l'entrée. Si $f(t)=2t+1$, alors $f(x^2-3)=2(x^2-3)+1$. La lettre choisie pour cette place ne change pas la règle. Notre guide des fonctions présente entrées, sorties et domaine avant de les enchaîner.

Inverser l'ordre et comparer

Pour les mêmes fonctions, $g(f(x))$ commence au contraire par $f$ :

$$g(f(x))=(2x+1)^2-3=4x^2+4x-2$$

Pour $x=4$, on obtient $f(4)=9$, puis $g(9)=78$. Ce n'est pas le 27 donné par $f(g(4))$. Les deux compositions sont valides, mais posent des questions différentes. La différence se voit avant même le calcul algébrique : une chaîne met au carré avant de doubler, l'autre double et ajoute un avant de mettre au carré.

Une coïncidence pour une entrée ne rend pas deux fonctions composées identiques. Pour établir leur égalité comme fonctions, comparez leurs règles sur le domaine commun et vérifiez que leurs domaines sont égaux. Dans les exercices habituels, calculez puis simplifiez les deux expressions. Rappelez-vous que $f(g(x))$ n'est ni $g(f(x))$ ni le produit $f(x)g(x)$.

Une annotation pratique est $x\xrightarrow{g}g(x)\xrightarrow{f}f(g(x))$. Tracez la première flèche avant toute substitution. C'est particulièrement utile lorsque la règle intérieure comporte des fractions, des racines ou un tableau de valeurs.

Évaluer avec un tableau ou un graphique

Aucune formule n'est nécessaire pour composer des fonctions. Supposons que l'on dispose de ce tableau :

$x$	1	2	3	4
$g(x)$	3	4	1	2
$f(x)$	8	6	9	7

Pour $f(g(2))$, lisez d'abord $g(2)=4$ sur la première ligne. Utilisez ensuite 4 comme entrée de $f$ : $f(4)=7$. Le résultat est 7. Dans l'autre ordre, $f(2)=6$, mais le tableau ne donne pas $g(6)$. Vous ne pouvez pas y lire $g(f(2))$. La valeur pourrait exister si la fonction complète est définie ailleurs ; les seules valeurs indiquées ne permettent pas de le savoir.

Un graphique fonctionne de la même façon. À l'entrée 2, lisez d'abord la hauteur de la courbe de $g$, disons 4. Reprenez ensuite à l'entrée 4 sur la courbe de $f$ et lisez sa hauteur, disons 7. La première hauteur devient la seconde coordonnée horizontale. Ne lisez pas les deux hauteurs à $x=2$ pour les combiner. Si l'une des courbes n'a pas de point à l'entrée requise, la composition n'y est pas définie.

Distinguez « absent de ce tableau partiel » de « hors du domaine ». Un tableau abrégé peut omettre une valeur qui existe. Sur un graphique, un point ouvert ou une borne explicite peut au contraire montrer qu'une valeur est exclue. Indiquez l'information dont vous disposez au lieu d'inventer la sortie manquante.

Vérifier le domaine avant de simplifier

Le domaine de $f(g(x))$ comporte deux conditions. D'abord, $x$ doit appartenir au domaine de $g$. Ensuite, le résultat $g(x)$ doit être une entrée admise par $f$. OpenStax présente la règle exactement comme ce passage de la sortie à l'entrée.

L'image entière de $g$ n'a pas besoin d'être contenue dans le domaine de $f$ pour que la composition existe sur certaines entrées. Gardez uniquement les entrées qui permettent les deux étapes. Par exemple, le carré accepte tout réel, tandis qu'une racine carrée appliquée ensuite n'accepte que des sorties positives ou nulles. Comme un carré est toujours non négatif, cette association fonctionne pour chaque entrée réelle. Remplacez la règle intérieure par une soustraction, et l'ensemble autorisé peut se réduire. Vérifiez le résultat transmis, pas seulement les deux formules isolément.

Soient $g(x)=x-1$ et $f(t)=\sqrt{t}$, avec des sorties réelles. La règle intérieure accepte tout réel, mais la racine carrée extérieure n'accepte que des entrées non négatives. Donc :

$$f(g(x))=\sqrt{x-1},\qquad x\geq1$$

Inversons l'ordre. Cette fois, $f(x)=\sqrt{x}$ intervient d'abord, puis $g$ soustrait un :

$$g(f(x))=\sqrt{x}-1,\qquad x\geq0$$

Les expressions diffèrent, ainsi que leurs domaines. En $x=0$, la seconde composition vaut $-1$, alors que la première est indéfinie sur les réels. Cette comparaison est plus décisive que de trouver seulement une entrée où les valeurs diffèrent.

Un dénominateur impose une autre condition. Supposons $g(x)=1/(x-2)$ et $f(t)=t+3$. Alors $f(g(x))=1/(x-2)+3$, mais $x=2$ reste exclu, car la règle intérieure n'y est pas définie.

Une simplification ne répare jamais une entrée initialement interdite. Soit $g(x)=(x^2-1)/(x-1)$, définie seulement si $x\ne1$, et soit $f(t)=t^2$. Pour les entrées autorisées, on peut simplifier $g(x)$ en $x+1$. L'expression composée ressemble à $(x+1)^2$, mais son domaine reste $x\ne1$. En $x=1$, la fonction intérieure initiale demanderait une division par zéro. Un polynôme qui coïncide partout ailleurs ne peut combler ce trou sans définir une nouvelle fonction.

Décomposer une règle plus longue en étapes

La composition peut aussi se lire à rebours pour comprendre comment une formule a été construite. Prenez $h(x)=\sqrt{3x+2}$. Un choix consiste à appliquer $g(x)=3x+2$, puis $f(t)=\sqrt{t}$. Ainsi, $h=f\circ g$. Cette décomposition dévoile rapidement le domaine : il faut $3x+2\geq0$, donc $x\geq-2/3$.

Il peut exister plusieurs décompositions valides. Vous pourriez partager la règle linéaire intérieure entre « multiplier par 3 » et « ajouter 2 », puis appliquer la racine carrée en troisième étape. L'essentiel est que l'ordre annoncé reproduise la règle initiale pour toute entrée admise.

Pour une transformation graphique, comparez $f(x)=x^2$ et $f(x-2)=(x-2)^2$. La modification se situe dans l'entrée, donc la parabole se déplace de 2 vers la droite. Avec $f(x)+2=x^2+2$, l'addition intervient après $f$, et la courbe se déplace de 2 vers le haut. C'est la composition en pratique : « retrancher 2 avant de mettre au carré » diffère de « mettre au carré avant d'ajouter 2 ». Notre guide d'algèbre aide si la substitution n'est pas encore familière.

Trois vérifications distinctes à pratiquer

1. Deux ordres. Soient $f(x)=x+4$ et $g(x)=2x$. Calculez les deux compositions. Les réponses sont $f(g(x))=2x+4$ et $g(f(x))=2x+8$. En $x=3$, elles donnent 10 et 14. L'ordre détermine à quel moment les 4 unités sont ajoutées.

2. Une condition de domaine. Soient $f(t)=1/t$ et $g(x)=x^2-9$. Alors $f(g(x))=1/(x^2-9)$. Excluez $x=3$ et $x=-3$, qui rendent tous deux nul le dénominateur extérieur. Le polynôme intérieur, lui, accepte tout réel.

3. Une lecture de tableau. Avec le tableau ci-dessus, calculez $g(f(3))$. D'abord, $f(3)=9$. Le tableau ne comporte aucune valeur pour $g(9)$ ; les données sont donc insuffisantes. C'est une réponse complète, pas un calcul raté.

Après chaque exercice, dites quelle règle est intervenue en premier, quelle valeur elle a produite et si la suivante accepte cette valeur. Vérifiez ensuite une entrée numérique dans votre expression algébrique. Dans les exercices de fonctions de Math Zen, la composition figure aux côtés des questions de domaine et d'image, ce qui permet de travailler séparément le passage d'une règle à l'autre.

Une fonction réciproque est un cas particulier où une règle défait l'autre sur des domaines adaptés. Il n'est pas nécessaire de connaître les fonctions réciproques pour évaluer une composition ordinaire. Ici, une méthode fiable suffit : sortie intérieure, entrée extérieure, puis vérification du domaine.