Comprendre les fonctions réciproques de façon intuitive

Un atelier facture 8 dollars de frais de réservation, puis 5 dollars par heure d'utilisation d'un établi. Trois heures coûtent 23 dollars. Si votre reçu indique 23 dollars, combien d'heures avez-vous réservées ?

Dans le sens direct, multipliez le nombre d'heures par 5, puis ajoutez 8. Pour revenir en arrière, soustrayez 8 du montant du reçu, puis divisez par 5. Cette règle de retour est une fonction réciproque. Elle pose une autre question à partir de la même relation.

Le calcul algébrique est généralement simple. Le point délicat est de savoir si le retour donne une seule réponse et quels nombres la règle peut accepter.

Défaire d'abord la dernière opération

Pour l'atelier, exprimez le coût ainsi :

$$f(x) = 5x + 8$$

La réciproque doit d'abord retirer les frais de réservation avant d'annuler le tarif horaire :

$$f^{-1}(x) = \frac{x-8}{5}$$

Vérifiez le reçu : $f^{-1}(23) = (23-8)/5 = 3$. Si vous divisiez d'abord par 5, vous répartiriez à tort les frais de réservation sur le tarif horaire et obtiendriez une mauvaise réponse.

L'entrée de $f$ est un nombre d'heures ; celle de $f^{-1}$ est une somme en dollars. Réutiliser la lettre $x$ ne signifie pas qu'elle désigne la même grandeur. Elle représente simplement ce que chaque fonction accepte en entrée.

Dans ce modèle, une durée négative n'a pas de sens. Le domaine initial est $x \geq 0$ et l'image est $f(x) \geq 8$. La réciproque n'accepte donc que des coûts d'au moins 8 dollars. L'algèbre vous permettrait de saisir 3 dollars, mais la durée négative obtenue sort du modèle.

Réciproque et inverse multiplicatif sont deux opérations différentes

L'exposant dans $f^{-1}$ ressemble à une puissance négative. Dans la notation des fonctions, il désigne la fonction réciproque. Il ne demande pas de diviser 1 par $f(x)$.

Pour la même règle de tarification :

$$f^{-1}(x)=\frac{x-8}{5}, \qquad \frac{1}{f(x)}=\frac{1}{5x+8}$$

Le premier calcul retrouve les heures à partir du coût. Le second donne l'inverse multiplicatif du coût, une autre grandeur qui sert à autre chose. La section d'OpenStax sur les fonctions réciproques précise cette différence de notation.

Vous pouvez aussi appeler la réciproque $g$. L'écriture $g(f(x))=x$ exprime exactement ce qu'il faut sans exposant : appliquez la règle de coût, puis retrouvez le nombre d'heures initial.

Trouver la réciproque par l'algèbre

La méthode habituelle consiste à écrire $y=f(x)$, à échanger $x$ et $y$, puis à isoler $y$. Cet échange traduit le changement de rôle : l'ancienne sortie devient la nouvelle entrée.

Prenons un autre exemple :

$$y = \frac{2x-7}{3}$$

Échangez les variables :

$$x = \frac{2y-7}{3}$$

Multipliez par 3, ajoutez 7, puis divisez par 2 :

$$3x = 2y-7$$ $$3x+7 = 2y$$ $$y = \frac{3x+7}{2}$$

La réciproque est donc $f^{-1}(x)=(3x+7)/2$. Chaque étape défait une opération de la règle initiale, en commençant par la dernière division par 3.

Les notes de Paul sur les mathématiques présentent la même méthode générale, avec des exemples détaillés comportant des racines et des fonctions rationnelles. Quelle que soit l'expression, gardez la trace des entrées exclues pendant les transformations. Multiplier par un dénominateur ne rend pas une valeur interdite admissible.

Vérifier dans les deux sens

Essayer une seule valeur peut révéler une erreur de calcul, mais ne prouve pas que deux règles se défont pour toutes les valeurs. Utilisez la composition sur leurs domaines respectifs.

Dans l'exemple précédent, appliquez la réciproque à la règle initiale :

$$f^{-1}(f(x)) = \frac{3\left(\frac{2x-7}{3}\right)+7}{2} = \frac{2x-7+7}{2}=x$$

Puis appliquez la règle initiale à la réciproque :

$$f(f^{-1}(x)) = \frac{2\left(\frac{3x+7}{2}\right)-7}{3} = \frac{3x+7-7}{3}=x$$

Ici, les deux domaines sont l'ensemble des nombres réels. Avec une racine, un logarithme ou une fraction, notez le domaine à côté de la vérification. Une expression simplifiée peut masquer une restriction qui existait avant la simplification.

Si la composition vous paraît encore abstraite, commencez par notre guide des fonctions : la sortie de la règle intérieure devient l'entrée de la règle extérieure. Lisez les parenthèses de l'intérieur vers l'extérieur.

Pourquoi une fonction quadratique exige un domaine restreint

Supposons que $f(x)=(x-2)^2$. $f(1)$ et $f(3)$ valent tous deux 1. Si on vous donne seulement la sortie 1, la règle ne permet pas de savoir quelle entrée a été utilisée.

Cette fonction n'est pas injective sur l'ensemble des réels. En remontant la relation, on obtiendrait deux réponses pour la plupart des entrées : ce ne serait donc pas une fonction.

Choisissez la branche droite en limitant le domaine initial à $x \geq 2$. Le calcul inverse devient alors sans ambiguïté :

$$y=(x-2)^2, \qquad x \geq 2$$

Comme $x-2$ est positif ou nul, la racine carrée principale donne $\sqrt{y}=x-2$. Échangez les noms des variables pour écrire :

$$f^{-1}(x)=2+\sqrt{x}, \qquad x \geq 0$$

La réciproque accepte les nombres positifs ou nuls et renvoie des nombres supérieurs ou égaux à 2. Vérifiez $f^{-1}(9)=5$, puis $f(5)=9$.

Si vous limitez plutôt le domaine initial à $x \leq 2$, la réciproque est $2-\sqrt{x}$. Il s'agit des réciproques de deux fonctions restreintes différentes. N'ajoutez pas un signe plus ou moins en appelant le résultat une seule fonction réciproque.

La même distinction compte pour les équations quadratiques : une équation peut avoir deux solutions, tandis qu'une fonction doit attribuer une seule sortie à chaque entrée admise.

Lire la réciproque sur un graphique

Si $f(4)=9$, le graphique initial contient $(4,9)$ et celui de sa réciproque contient $(9,4)$. Échanger les coordonnées revient à réfléchir les points par rapport à la diagonale $y=x$.

Cela explique aussi le test de la droite horizontale. Si une droite horizontale coupe deux fois le graphique initial, une sortie correspond à deux entrées. Après l'échange des coordonnées, ces deux points se trouveraient sur une droite verticale : une entrée aurait alors deux sorties.

Essayez avec la parabole précédente. La droite horizontale de hauteur 1 la coupe en $x=1$ et $x=3$. Supprimez la branche gauche : il ne reste qu'une intersection. Le graphique fournit maintenant assez d'information pour revenir en arrière.

Le domaine de la réciproque est l'image de la fonction initiale : commencez donc par regarder les hauteurs atteintes sur le graphique initial. Si ses sorties se situent toutes au-dessus d'une certaine hauteur, sa réciproque ne peut pas accepter des nombres inférieurs à cette hauteur.

Trois exercices rapides

Une règle linéaire : trouvez la réciproque de $f(x)=7-2x$. Soustrayez la valeur de 7, puis divisez par 2 : $f^{-1}(x)=(7-x)/2$. Ici, la réciproque a une expression différente de la fonction initiale. Vérifiez $f(2)=3$ et $f^{-1}(3)=2$.

Un cube : trouvez la réciproque de $g(x)=x^3+6$. Le cube permet de distinguer les entrées négatives des entrées positives ; aucune restriction de branche n'est nécessaire. Pour toute entrée réelle, la réciproque est $g^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-6}$.

Un carré : trouvez la réciproque de $h(x)=x^2+6$ sur $x \geq 0$. Elle est $h^{-1}(x)=\sqrt{x-6}$, de domaine $x \geq 6$. Oublier cette dernière condition rend la réponse incomplète.

Notez le domaine avant de vérifier chaque réponse. Testez ensuite un aller-retour numérique et les deux compositions algébriques. Vous obtenez ainsi une courte séance d'entraînement efficace dans Math Zen : avec les exercices sur les fonctions, travaillez ensemble la règle directe, la règle inverse et leurs restrictions.

La même idée relie les fonctions exponentielles aux logarithmes. Une exponentielle prend un exposant et produit un nombre ; son logarithme retrouve cet exposant. Dès que vous savez ce que représente l'entrée et quelles sorties sont possibles, vous pouvez raisonner sur la réciproque.