Si vous demandez à la plupart des adultes ce qu'est un logarithme, ils répondront soit « j'ai oublié », soit « un truc avec des exposants ». Aucune de ces réponses n'est fausse. Aucune n'est utile non plus. Et c'est dommage, car le logarithme est l'une des idées les plus élégantes des mathématiques de base. Dès que vous voyez ce qu'il fait réellement, il cesse d'être un sujet qui vous angoisse pour devenir un outil que vous prenez volontiers en main.

Cet article n'est pas un aide-mémoire de règles. C'est une courte promenade à travers ce que sont vraiment les logarithmes, pourquoi les règles ont l'allure qu'elles ont, et où ils apparaissent en dehors d'une salle de classe. Si vous comprenez le pourquoi, les exercices se font tout seuls.

Commencez par la question à laquelle le logarithme répond

Les exposants posent une question dans le sens direct : si je multiplie 10 par lui-même 3 fois, qu'est-ce que j'obtiens ? Réponse : 1000.

Les logarithmes posent la question inverse : j'ai 1000. Combien de fois ai-je multiplié 10 par lui-même pour arriver là ? Réponse : 3.

Voilà tout le concept. Un logarithme est l'inverse d'un exposant. Là où un exposant dit « fais la multiplication », un logarithme dit « compte les multiplications ». Tout le reste du chapitre n'est que de la comptabilité autour de cette seule idée.

Écrit noir sur blanc : le logarithme en base 10 de 1000 vaut 3, parce que 10 puissance 3 égale 1000. Si vous savez traduire dans les deux sens entre ces deux affirmations, vous comprenez déjà les logarithmes. Le reste, c'est de l'entraînement.

Le logarithme comme « nombre de chiffres »

Voici une façon de ressentir ce qu'un logarithme mesure réellement. Choisissez un nombre entier et comptez ses chiffres.

7 a 1 chiffre.
42 a 2 chiffres.
1000 a 4 chiffres.
1 000 000 a 7 chiffres.

Le logarithme en base 10 d'un nombre vaut, en gros, un de moins que son nombre de chiffres. Le logarithme de 1000 est 3. Le logarithme de 1 000 000 est 6. Pour les nombres intermédiaires, le logarithme est un nombre à virgule qui vous indique « jusqu'où vous êtes allé » entre un nombre de chiffres et le suivant. Le logarithme de 500 vaut environ 2,7, parce que 500 est bien plus proche de 1000 (un nombre à quatre chiffres) que de 100 (un nombre à trois chiffres).

Ce n'est ni une coïncidence ni une approximation. Le logarithme mesure littéralement combien de facteurs dix tiennent à l'intérieur d'un nombre, et le nombre de chiffres est précisément ce que vous obtenez quand vous comptez ces facteurs.

Donc, quand quelqu'un dit « c'est une échelle logarithmique », il veut dire ceci : chaque pas vers le haut correspond à un chiffre de plus, et non à une unité de plus. L'écart entre 10 et 100 paraît identique à l'écart entre 100 et 1000, parce que tous deux sont multipliés par 10.

Pourquoi la base compte

Un logarithme a toujours une base. Le logarithme en base 10 compte combien de fois on a multiplié par 10. Le logarithme en base 2 compte combien de fois on a multiplié par 2. Le logarithme en base e (le logarithme népérien) compte combien de fois on a multiplié par e, un nombre précis voisin de 2,718 qui apparaît naturellement dans les problèmes de croissance.

La base n'a rien de mystérieux. C'est simplement la brique de base avec laquelle vous comptez.

le logarithme en base 2 de 8 vaut 3, parce que 2 fois 2 fois 2 font 8.
le logarithme en base 2 de 1024 vaut 10, parce que c'est 2 puissance 10.
le logarithme en base 10 de 100 vaut 2.
le logarithme népérien (ln) de e vaut 1, parce que vous n'avez multiplié e par lui-même qu'une seule fois.

Quand les informaticiens parlent du « logarithme de n », ils sous-entendent généralement la base 2. Quand les scientifiques parlent de logarithme népérien, ils visent la base e. Quand une calculatrice affiche « log » sans base écrite, c'est généralement la base 10. Chaque discipline choisit la base qui convient à son problème, et l'on peut toujours passer de l'une à l'autre avec une petite formule.

La règle du produit, ce n'est que compter des multiplications

Les manuels présentent les règles des logarithmes comme trois faits isolés :

log(a fois b) égale log(a) plus log(b)
log(a divisé par b) égale log(a) moins log(b)
log(a puissance n) égale n fois log(a)

Elles semblent arbitraires. Elles ne le sont pas. Chacune découle de la définition en une phrase par laquelle nous avons commencé.

Souvenez-vous : un logarithme compte combien de fois on a multiplié. Si vous multipliez 100 par 1000, vous combinez quelque chose que vous avez multiplié 2 fois avec quelque chose que vous avez multiplié 3 fois. Le résultat est 100 000, c'est-à-dire 10 multiplié 5 fois. 2 plus 3 égale 5. Voilà la règle du produit. Rien de plus.

La division est l'opération inverse : 1000 divisé par 100 signifie « j'ai multiplié 10 trois fois, puis j'ai retiré deux de ces multiplications ». 3 moins 2 fait 1. C'est 10 puissance 1, soit 10. Vérifié.

Et élever un nombre à une puissance revient à refaire la même multiplication encore et encore. Si 100 vaut 10 multiplié 2 fois, alors 100 au cube vaut 10 multiplié 2 fois, puis 2 fois, puis 2 fois. 2 plus 2 plus 2 font 6. Voilà la règle de la puissance.

Une fois que vous voyez les trois règles comme « compter des multiplications et combiner les comptes », vous n'avez plus jamais à les apprendre séparément par cœur.

Le logarithme népérien, en bref

L'élément qui fait souvent trébucher, c'est le logarithme népérien, noté ln. Il utilise l'étrange base e, environ 2,71828.

Pourquoi un nombre aussi bizarre ? Parce que lorsqu'on étudie la croissance continue (populations, argent à intérêts composés en permanence, désintégration radioactive, réactions chimiques), les équations se simplifient radicalement quand on utilise la base e. Le taux de variation de e puissance x est e puissance x lui-même, un raccourci qui rend le calcul différentiel bien plus propre. Vous n'avez pas besoin de comprendre cela entièrement pour l'instant. Il vous suffit de faire confiance au fait que e n'est pas arbitraire. C'est la base que la nature ne cesse de retourner aux mathématiciens.

Si vous voulez en savoir un peu plus sur l'importance des taux de variation et sur les raisons pour lesquelles les mathématiciens y reviennent sans cesse, notre article sur les dérivées expliquées de zéro parcourt la même intuition du « zoom avant » qui mène à e.

Pour la plupart des exercices, traitez ln exactement comme le logarithme en base 10. Toutes les règles sont identiques. Seule la base change.

Où les logarithmes apparaissent dans la vie réelle

Les échelles logarithmiques sont partout, car le monde a la fâcheuse habitude de produire des grandeurs qui s'étendent sur de nombreux ordres de grandeur. Quand les nombres vont de 1 à 10 000 000, un graphique linéaire ne sert à rien. Une échelle logarithmique transforme cet intervalle en une ligne maniable.

Les décibels mesurent l'intensité sonore sur une échelle logarithmique. Une conversation à 60 décibels n'est pas deux fois plus forte qu'un chuchotement à 30 décibels. Elle est mille fois plus intense. L'échelle logarithmique masque l'énorme différence multiplicative derrière de petits nombres familiers.

L'échelle de Richter pour les séismes fait la même chose. Un tremblement de terre de magnitude 7 libère environ 32 fois plus d'énergie qu'un séisme de magnitude 6. Les nombres semblent proches. Les réalités physiques, non.

Le pH en chimie est une échelle logarithmique pour la concentration en ions hydrogène. Un liquide à pH 4 contient 10 fois plus d'ions hydrogène qu'un liquide à pH 5, et 100 fois plus qu'un liquide à pH 6. Chaque unité représente un facteur dix.

L'éclat des étoiles (le système des magnitudes utilisé par les astronomes) est logarithmique, tout comme la façon dont nos oreilles et nos yeux perçoivent l'intensité sonore et la luminosité. L'évolution semble nous avoir dotés de sens logarithmiques, probablement parce que le monde dans lequel nous avons évolué regorgeait de stimuli variant de façon exponentielle.

Quand vous croisez une échelle bizarre en cours de sciences et que vous vous demandez « pourquoi l'espacement est-il si étrange ? », la réponse est presque toujours : c'est une échelle logarithmique, parce que les nombres bruts s'étaleraient sur trop d'ordres de grandeur pour tenir sur la page.

Pourquoi les cours de maths enseignent mal ce sujet

Beaucoup d'élèves rencontrent les logarithmes dans un chapitre sur la résolution des équations exponentielles, deux mois après avoir cessé de s'intéresser aux exposants. Les règles arrivent avant le sens, le sens apparaît en une seule phrase enfouie dans le troisième paragraphe, et les exercices se résument surtout à de la manipulation algébrique.

Si c'est ainsi que vous les avez appris, et que vous avez aujourd'hui l'impression que les logarithmes « ne sont jamais rentrés », ce n'est pas parce que vous êtes mauvais en maths. C'est parce que l'ordre était inversé. La définition contient toute l'histoire. Les règles en sont des conséquences. Si vous vous ancrez dans « un logarithme compte des multiplications », chaque problème devient un exercice de traduction entre deux façons équivalentes d'écrire la même idée.

C'est le même recadrage qui fonctionne pour tant de sujets en mathématiques. Les règles paraissent mystérieuses jusqu'à ce que vous puissiez raconter l'histoire en français courant, et alors elles paraissent inévitables. C'est aussi pourquoi l'explication active comme technique d'étude est si efficace en maths : vous ne pouvez pas vous guider à voix haute à travers un problème de logarithme si vous ne savez pas ce qu'est un logarithme, et le fait d'essayer de l'expliquer met au jour exactement l'endroit où votre compréhension flanche.

S'entraîner jusqu'à ce que cela devienne naturel

Lire ceci une fois vous donnera le concept. Le rendre automatique est une autre affaire, et cela demande un entraînement court et délibéré. Quelques suggestions :

Entraînez la traduction. Consacrez cinq minutes par jour à passer de la forme exponentielle à la forme logarithmique. 2 puissance 5 vaut 32. Donc le logarithme en base 2 de 32 vaut 5. Faites-en vingt. Cela paraît anodin. C'est exactement l'aisance dont vous avez besoin.

Tracez des échelles logarithmiques à la main. Dessinez une droite numérique de 1 à 10 000 sur une échelle logarithmique. Où se place 100 ? Où se place 500 ? C'est l'une des façons les plus sous-estimées d'intérioriser ce qu'un logarithme mesure réellement.

Pratiquez en mélangeant. Ne faites pas des exercices de logarithmes pendant une heure d'affilée. Mêlez-les aux autres sujets que vous étudiez. L'entrelacement est ce qui construit véritablement la mémorisation à long terme, et il vous garde dans l'habitude de vous demander « quel outil s'applique ici ? » plutôt que « qu'avons-nous vu au chapitre 8 ? ».

La place de Math Zen

La progression par paliers de Math Zen convient bien aux logarithmes, car ce sujet récompense les séances de pratique courtes et mélangées plutôt que le bachotage. Les premiers paliers se concentrent sur la traduction entre la forme exponentielle et la forme logarithmique, les paliers intermédiaires font travailler les règles du produit, du quotient et de la puissance avec de petits nombres, et les paliers ultérieurs portent sur le changement de base et la résolution des équations exponentielles. Comme l'application mêle les problèmes de logarithmes à des problèmes d'algèbre et d'exposants apparentés, vous développez la reconnaissance de motifs qui vous permet de repérer quand le logarithme est le bon outil, ce qui constitue l'essentiel de la compétence réelle.

Si vous vous surprenez à chercher les règles avant même de penser au sens, ralentissez et retraduisez le problème dans le cadre « combien de fois avons-nous multiplié ? ». C'est presque toujours le raccourci.

L'essentiel à retenir

Un logarithme n'est pas une chose distincte d'un exposant. C'est la même relation lue à l'envers. Quand vous voyez le logarithme en base b de x égale y, tout le contenu tient en ceci : b multiplié par lui-même y fois égale x. Tout le reste, les règles, le logarithme népérien, les échelles en sciences, les graphiques d'allure étrange, n'est que la conséquence de ce seul renversement.

Si vous bloquez sur un problème de logarithme, ne foncez pas directement vers les règles. Revenez à la définition. Demandez-vous « combien de fois avons-nous multiplié ? » et laissez la réponse vous dire à quoi le logarithme est égal. Faites cela pendant une semaine de courtes séances de pratique, et le sujet cesse d'être un mur pour devenir une lentille.

Comprendre les logarithmes intuitivement (sans apprendre les règles par cœur)