Comprendre intuitivement la transformée de Fourier (Des signaux aux fréquences)

Appuyez sur trois touches de piano à la fois et une onde de pression unique, entremêlée, quitte l'instrument. Elle atteint votre tympan sous la forme d'une seule ligne ondulante, pas de trois. Pourtant votre oreille interne resépare cette ligne en ses trois notes sans le moindre effort, et un musicien exercé sait nommer l'accord. Quelque part entre l'air et votre conscience, un signal mélangé a été démêlé en ses fréquences pures.

Ce démêlage porte un nom. La transformée de Fourier est la machine mathématique qui prend n'importe quel signal, un son, une ligne d'image, un cours de bourse, la vibration d'un pont, et le réécrit sous la forme d'une liste des fréquences pures qu'il contient. C'est grâce à elle que votre téléphone compresse l'audio, que les appareils d'IRM produisent des images, et que les ingénieurs peuvent examiner un moteur qui cliquette et déclarer: "voilà la composante à 400 hertz".

La plupart des étudiants découvrent la transformée de Fourier comme une formule à mémoriser: une intégrale contenant une exponentielle complexe, sans raison apparente pour aucun de ses morceaux. Ce guide reconstruit l'image depuis les fondations. Nous avons traité récemment la transformée de Laplace, sa proche parente, et à la fin de cet article vous verrez que les deux sont la même machine avec un réglage de cadran différent.

Deux descriptions d'une même chose

Pensez à la recette d'un gâteau. Vous pouvez décrire le gâteau terminé en énumérant ce que vous observeriez en chaque point à l'intérieur, couche par couche, miette par miette. Ou vous pouvez le décrire en listant les ingrédients: 200 grammes de farine, 3 oeufs, 100 grammes de sucre. Les deux descriptions contiennent le même gâteau. L'une décrit où se trouvent les choses, l'autre décrit de quoi elles sont faites.

Un signal possède exactement les deux mêmes descriptions:

• Le domaine temporel énumère la valeur du signal à chaque instant: la pression sur votre tympan à 0,001 seconde, à 0,002 seconde, et ainsi de suite. C'est ainsi que les signaux nous parviennent dans le monde réel.
• Le domaine fréquentiel énumère les ingrédients: quelle quantité de sinusoïde à 440 hertz est présente, quelle quantité à 523 hertz, quelle quantité de chaque fréquence possible. C'est ce que produit la transformée de Fourier.

L'intuition de Fourier, publiée pour la première fois en 1822 alors qu'il étudiait la propagation de la chaleur, fut que ces listes d'ingrédients sont complètes. Tout signal raisonnable, aussi accidenté soit-il, peut être reconstruit exactement à partir d'une somme de sinusoïdes régulières. Aucun troisième ingrédient ne se cache ailleurs. Les sinusoïdes suffisent.

Pourquoi les sinusoïdes forment l'alphabet

Pourquoi des sinusoïdes plutôt que des créneaux, des triangles ou toute autre forme ? Parce que les sinusoïdes sont les seules formes qui survivent aux opérations dont la physique se soucie.

Dérivez une sinusoïde et vous obtenez un cosinus, c'est-à-dire la même onde décalée d'un quart de cycle. Dérivez encore et vous obtenez un sinus négatif: de nouveau la même forme, à un facteur près. Comme nous l'avons exploré dans l'article sur la trigonométrie, une sinusoïde est un cercle vu de profil, et faire tourner un cercle ne le change jamais en autre chose.

Envoyez une sinusoïde dans un ressort, un circuit ou une salle de concert, et ce qui en ressort est une sinusoïde de même fréquence, éventuellement plus forte ou plus faible, éventuellement retardée, mais jamais d'une autre forme. Les ingénieurs qualifient les systèmes dotés de cette propriété de linéaires et invariants dans le temps, et presque tout système physique en est un, au moins approximativement.

C'est là toute la raison d'être du domaine fréquentiel. Si vous savez ce qu'un système fait à chaque fréquence pure, et si vous savez découper n'importe quelle entrée en fréquences pures, alors vous savez ce que le système fait à n'importe quelle entrée. Le problème difficile "que fait ce pont quand un camion le percute" devient une liste de problèmes faciles: "que fait ce pont à 1 hertz, à 2 hertz, à 3 hertz".

La machine à enrouler

Passons au mécanisme. Supposons que vous ayez un signal et que vous vouliez savoir quelle quantité d'une fréquence donnée, disons 3 cycles par seconde, se cache à l'intérieur. Voici une procédure physique qui répond à la question.

Prenez le graphe de votre signal, une ligne tracée le long d'un axe temporel. Enroulez maintenant cette ligne autour d'un cercle, à une cadence d'enroulement de 3 tours par seconde de temps du signal. Là où le signal est grand, la ligne enroulée se tient loin du centre; là où le signal est petit, elle se serre contre le centre. Vous obtenez un gribouillis dessiné autour de l'origine.

Cherchez maintenant le centre de masse de ce gribouillis.

Si le signal ne contient rien à 3 hertz, les hauts et les bas du signal atterrissent à des angles quelconques autour du cercle. Ils se compensent, et le centre de masse reste près de l'origine. En revanche, si le signal contient bel et bien une composante à 3 hertz, ses sommets atterrissent tous du même côté du cercle, tour après tour. Ils s'accumulent, et le centre de masse s'écarte de l'origine.

Répétez l'opération pour chaque cadence d'enroulement possible, tracez la distance du centre de masse en fonction de la cadence d'enroulement, et vous avez dessiné la transformée de Fourier. Les pics du tracé sont les fréquences présentes dans le signal. Voilà l'idée tout entière. Tout le reste n'est que notation.

La formule, morceau par morceau

La machine à enrouler, écrite en symboles, donne:

$$\hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\, e^{-i\omega t}\, dt$$

Chaque morceau correspond à une étape de la procédure.

L'enroulement. Le facteur $e^{-i\omega t}$ est la rotation. D'après la formule d'Euler, $e^{-i\omega t} = \cos(\omega t) - i\sin(\omega t)$, un point qui parcourt le cercle unité dans le sens des aiguilles d'une montre à la pulsation ω. À mesure que t avance, ce point tourne. Cette rotation est l'enroulement, et ω en est la cadence.

L'enveloppement. Le produit $f(t)\, e^{-i\omega t}$ est le gribouillis. Multiplier le point tournant de longueur unité par la valeur du signal f(t) l'étire vers l'extérieur ou le ramène vers l'intérieur. Les grandes valeurs du signal poussent le point loin du centre; les petites valeurs le rapprochent. Le produit trace exactement le gribouillis de la section précédente.

Le centre de masse est l'intégrale. Additionner la position du gribouillis à chaque instant, du début à la fin des temps, et traiter le résultat comme un unique nombre complexe, donne un point dont la distance à l'origine mesure la force avec laquelle le signal résonne à la pulsation ω. Rigoureusement, il s'agit du total plutôt que de la moyenne, si bien que cela varie avec la durée du signal, mais la forme du spectre reste la même.

Le résultat $\hat{f}(\omega)$ est un nombre complexe pour chaque ω, et ses deux parties comptent. Son module est l'amplitude de cette fréquence: la quantité d'ingrédient présente dans la recette. Son argument est la phase: le moment du cycle où cet ingrédient démarre. Deux signaux peuvent partager les mêmes amplitudes à toutes les fréquences et sonner de façon totalement différente parce que leurs phases diffèrent.

Pourquoi l'exponentielle plutôt qu'un sinus

Les étudiants demandent souvent pourquoi le noyau est une exponentielle complexe plutôt qu'une simple sinusoïde. Après tout, vous pourriez multiplier votre signal par $\sin(\omega t)$ et intégrer.

Le problème, c'est la phase. Si votre signal contient un cosinus à la pulsation ω et que vous le testez contre un sinus de même pulsation, le produit s'annule en moyenne, car sinus et cosinus sont séparés d'un quart de cycle. Vous concluriez à l'absence de cette fréquence alors qu'elle est pleinement présente. Pour attraper toutes les phases, il vous faudrait deux tests, un contre le sinus et un contre le cosinus, puis combiner les résultats.

L'exponentielle complexe réalise les deux tests d'un coup. Sa partie réelle est le test du cosinus et sa partie imaginaire le test du sinus, réunis dans un unique objet tournant. Quelle que soit la phase avec laquelle la fréquence se présente, une partie de la rotation s'aligne dessus. Le module du nombre complexe obtenu est ce que donnerait la méthode à deux tests une fois combinée, et l'argument vous livre la phase gratuitement. Dans l'article sur les nombres imaginaires, nous avons décrit i comme une rotation; ici, cette rotation accomplit un vrai travail d'ingénierie.

Les fréquences négatives ne sont pas une erreur

L'intégrale court sur tous les ω, valeurs négatives comprises, et la transformée d'un signal réel présente toujours une image en miroir du côté négatif. Cela déconcerte. Que peut bien signifier physiquement une fréquence négative ?

Regardez de nouveau la formule d'Euler. Un cosinus réel est la moyenne de deux rotations:

$$\cos(\omega t) = \frac{e^{i\omega t} + e^{-i\omega t}}{2}$$

Le premier terme tourne dans le sens trigonométrique à la cadence ω; le second tourne dans le sens des aiguilles d'une montre à la même cadence. La rotation horaire à la cadence ω est ce que la transformée enregistre comme la fréquence moins ω. Un signal à valeurs réelles ne sait pas distinguer les deux sens, il contient donc toujours les deux en parts égales, et le spectre est symétrique.

Pour les signaux réels, la moitié négative n'apporte aucune information nouvelle, et en pratique les ingénieurs ne tracent souvent que le côté positif. Mais conserver les deux moitiés rend les formules symétriques et permet à la même transformée de traiter des signaux à valeurs complexes, comme ceux de la radio et de l'IRM, où les deux sens de rotation diffèrent véritablement.

Le voyage de retour

Retransformer une recette en gâteau, c'est la transformée de Fourier inverse:

$$f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega)\, e^{i\omega t}\, d\omega$$

Lisez-la comme une consigne: pour chaque fréquence ω, prenez la quantité $\hat{f}(\omega)$ de cet ingrédient, faites-la tourner dans le sens trigonométrique à cette cadence, et additionnez le tout. Le signe de l'exposant est passé de moins à plus parce que vous déroulez désormais au lieu d'enrouler. Le facteur 2π est une affaire de comptabilité, qui corrige le fait qu'un tour complet vaut 2π radians; certains manuels le répartissent symétriquement en $1/\sqrt{2\pi}$ sur les deux transformées, et d'autres le dissimulent entièrement en mesurant la fréquence en hertz plutôt qu'en radians par seconde. La physique ne change pas, seulement la constante.

Le couple de formules est presque parfaitement symétrique. Cette symétrie est un indice profond: temps et fréquence sont deux vues d'un même objet, et aucune des deux n'est plus fondamentale que l'autre.

Les dérivées redeviennent des multiplications

La transformée de Laplace justifiait son existence en changeant les dérivées en multiplications par s. La transformée de Fourier réalise le même tour avec iω.

Dérivez la formule de la transformée inverse par rapport à t. Le seul endroit où t apparaît est à l'intérieur de $e^{i\omega t}$, et sa dérivée fait descendre un facteur iω:

$$\frac{d}{dt} f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \bigl(i\omega\, \hat{f}(\omega)\bigr)\, e^{i\omega t}\, d\omega$$

La transformée de Fourier de $f'(t)$ vaut donc simplement $i\omega\, \hat{f}(\omega)$. Dériver dans le temps multiplie chaque composante fréquentielle par iω: les hautes fréquences sont amplifiées, les basses fréquences sont atténuées, et chaque composante subit une rotation d'un quart de tour. C'est précisément pour cette raison que la dérivation rend les signaux bruités encore plus bruités. Le bruit vit dans les hautes fréquences, et la dérivée les multiplie par de grands nombres.

La même logique change une équation différentielle à coefficients constants en une équation algébrique en ω, ce qui est la façon dont les physiciens résolvent les équations des ondes et de la chaleur. Fourier a inventé l'outil exactement dans ce but.

Fourier et Laplace: une machine, deux réglages de cadran

Mettez les deux transformées côte à côte:

$$F(s) = \int_0^{\infty} f(t)\, e^{-st}\, dt, \qquad \hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\, e^{-i\omega t}\, dt$$

Dans l'article sur Laplace, nous avons décrit s comme un cadran doté de deux curseurs, $s = \sigma + i\omega$: σ pour l'amortissement exponentiel, ω pour l'oscillation. Mettez le curseur d'amortissement à zéro, de sorte que σ = 0 et s = iω, et le noyau de Laplace $e^{-st}$ devient le noyau de Fourier $e^{-i\omega t}$. La transformée de Fourier est la transformée de Laplace évaluée le long de l'axe imaginaire du domaine de Laplace.

L'autre différence tient à la borne inférieure. Laplace démarre à t = 0 parce qu'elle est bâtie pour des systèmes de cause à effet, dotés d'un instant d'activation et de conditions initiales. Fourier court sur tout le temps parce qu'elle est bâtie pour des signaux permanents qui ont toujours existé et existeront toujours: une note tenue, une onde porteuse, un ronronnement stationnaire.

Le choix découle de la question posée. Transitoires, interrupteurs et conditions initiales: Laplace. Spectres, filtres et oscillation permanente: Fourier. C'est le curseur d'amortissement qui permet à Laplace de traiter des signaux croissant sans limite, ce que l'intégrale de Fourier ne peut absorber; c'est l'intégrale bilatérale qui permet à Fourier de décrire des signaux sans commencement.

Le compromis auquel vous n'échapperez pas

Une dernière propriété explique une quantité surprenante de physique. Un signal étroit en temps est large en fréquence, et un signal étroit en fréquence est large en temps. Vous ne pouvez pas avoir les deux.

Une sinusoïde pure possède une fréquence unique, son spectre est donc un pic unique. Mais une sinusoïde pure dure éternellement. Tronquez-la à une seconde et le spectre s'élargit autour de la fréquence d'origine; tronquez-la à une milliseconde et le spectre s'élargit bien davantage. À la limite, un clic instantané contient toutes les fréquences à parts égales, et c'est pourquoi un claquement de mains ressemble à du bruit blanc alors qu'un diapason produit une note.

L'image de l'enroulement rend cela évident. Une brève salve de signal ne s'enroule que quelques fois autour du cercle, quelle que soit la cadence, si bien que le centre de masse n'a jamais l'occasion de se compenser proprement. De nombreuses cadences voisines donnent toutes un résultat similaire et modéré. Un signal long s'enroule des milliers de fois, et seule la cadence exactement accordée survit à la compensation.

En mécanique quantique, position et quantité de mouvement forment une paire de Fourier, et ce même compromis est le principe d'incertitude de Heisenberg. Ce n'est pas une limite de la mesure. C'est une propriété des ondes.

D'où viennent les erreurs

Les étudiants qui manipulent des transformées de Fourier trébuchent sur trois points prévisibles.

Le premier est l'oubli de la phase. Comme c'est le spectre d'amplitude que l'on trace, les étudiants finissent par se représenter la transformée comme une simple liste d'amplitudes. Puis une transformée inverse tombe à côté parce que les arguments de $\hat{f}(\omega)$ ont été jetés. La transformée est une liste de nombres complexes, et la moitié de chaque nombre réside dans son argument.

Le deuxième est la confusion des signes et des constantes. Les manuels placent le 2π à des endroits différents et choisissent des signes différents dans l'exposant, et tous ont raison tant que la transformée directe et l'inverse s'accordent. Choisissez une convention, écrivez les deux formules en haut de la page, et vérifiez que transformer puis inverser une fonction simple la restitue inchangée.

Le troisième est d'attendre d'un signal de durée finie qu'il ait un spectre net. Les mesures réelles sont finies, leurs spectres montrent donc toujours l'élargissement de la section précédente, plus des ondulations dues à la coupure brutale aux extrémités. Ce n'est pas une erreur de calcul. C'est le compromis qui s'impose, et les fenêtres d'apodisation existent pour le maîtriser.

La place de Math Zen

La transformée de Fourier repose sur trois compétences qui doivent être automatiques avant que l'intuition puisse vous porter: les identités trigonométriques, les exponentielles complexes et les intégrales de produits.

Si passer de $\cos(\omega t)$ aux exponentielles complexes demande un effort conscient, ou si intégrer $e^{-at} e^{-i\omega t}$ à la main vous laisse dans le doute, la transformée gardera toujours l'allure d'une boîte noire. Math Zen travaille ces morceaux par courtes séances quotidiennes:

• Trigonométrie: Aisance avec les formules d'addition et de duplication et avec l'image du cercle qui les sous-tend, dans le module d'exercices de trigonométrie.
• Nombres complexes: Forme polaire, formule d'Euler et rotation par multiplication, dans le module d'exercices sur les nombres complexes.
• Transformées: La même mécanique d'intégrale à noyau, transformées de dérivées comprises, dans le module d'exercices sur les transformées de Laplace.

Une fois ces gestes devenus des réflexes, la transformée de Fourier cesse d'être une formule et devient ce qu'elle est: une machine à enrouler qui lit la recette d'un signal.

Le bilan

La transformée de Fourier réécrit un signal, en passant de "quelle est la valeur à chaque instant" à "quelle quantité de chaque fréquence est présente". Elle fonctionne parce que les sinusoïdes sont les formes que les systèmes physiques laissent inchangées: connaître le contenu fréquentiel d'un signal vous dit donc comment n'importe quel système linéaire y répondra.

La formule est une machine à enrouler: $e^{-i\omega t}$ enroule le signal autour d'un cercle à la cadence ω, l'intégrale trouve le centre de masse, et un centre de masse loin de l'origine signale la présence de cette fréquence. L'exponentielle complexe attrape toutes les phases d'un coup, les fréquences négatives sont l'image en miroir que porte tout signal réel, et la transformée inverse déroule en tournant dans l'autre sens.

Mettez à zéro le curseur d'amortissement de la transformée de Laplace et vous obtenez la transformée de Fourier. Employez Laplace pour les interrupteurs et les transitoires, Fourier pour les spectres et les signaux permanents, et retenez que, quelle que soit celle que vous utilisez, un signal court en temps est toujours large en fréquence.