Comprendre les nombres imaginaires intuitivement (pourquoi i n'a rien d'imaginaire)

Demandez à quelqu'un ce qu'est un nombre imaginaire et vous obtiendrez presque toujours une variante de « la racine carrée de moins un », prononcée sur le ton de l'aveu. Demandez pourquoi la racine carrée de moins un devrait exister, et la réponse est presque invariablement « les mathématiciens l'ont définie ainsi », ce qui ressemble moins à des mathématiques qu'à une règle de jeu de société. De tous les sujets du programme scolaire, les nombres imaginaires sont celui qu'on enseigne le plus souvent comme un pur décret : il existe un symbole, il s'appelle i, son carré vaut -1, merci de ne pas demander ce que cela signifie.

Cet enseignement prend le problème exactement à l'envers, et cet article est l'image qu'on omet d'habitude. L'unité imaginaire n'est ni un truc ni une subtilité technique. C'est une direction, exactement au sens où un nombre négatif est une direction, et une fois que vous voyez laquelle, tout le sujet se réorganise de lui-même. L'équation fondatrice i² = -1 cesse d'être une règle arbitraire et devient quelque chose que vous pouvez vérifier de vos propres mains en tournant deux fois sur vous-même.

Le pire nom des mathématiques

Commençons par le nom, car le nom fait de vrais dégâts. « Imaginaire » est né comme un sarcasme. C'est René Descartes qui a forgé le mot, en français, en 1637, pour rejeter ces nombres comme des fictions qu'on était forcé d'écrire en résolvant des équations mais qui ne pouvaient rien signifier. L'insulte est restée, les nombres se sont révélés indispensables, et aujourd'hui chaque élève rencontre l'un des objets les plus utiles des mathématiques affublé d'une étiquette qui proclame qu'il est faux.

Voici le fait historique qui devrait désamorcer l'intimidation : les nombres négatifs ont subi le même traitement. Pendant des siècles, des mathématiciens sérieux ont rejeté les négatifs comme absurdes, car on ne peut pas tenir moins trois pommes dans la main. Ce qui a légitimé les négatifs n'est pas la découverte de leur existence physique. C'est une image, la droite numérique, sur laquelle un négatif est un nombre ordinaire qui pointe dans l'autre sens, une idée que nous avons reconstruite de zéro dans l'article sur les nombres négatifs. Les nombres imaginaires sont exactement la même histoire, un chapitre plus loin. Ils paraissent faux tant que l'image vous manque, et l'image, une fois acquise, est tout aussi simple : les négatifs pointent vers l'arrière, les imaginaires pointent de côté. Carl Friedrich Gauss avait vu le problème clairement et proposé de les rebaptiser nombres latéraux. Il avait raison, le nom n'a jamais pris, et « latéral » est le mot à garder en tête pour tout le reste de cet article.

La question qui a forcé la porte

Les nombres imaginaires n'ont pas été inventés pour le plaisir. Ils se sont imposés par une question honnête : quel nombre, élevé au carré, donne -1 ?

Sur la droite numérique, la question n'a pas de réponse, et il vaut la peine de préciser pourquoi. Élever au carré, c'est multiplier un nombre par lui-même, donc les deux facteurs ont toujours le même signe. Un positif fois un positif est positif. Un négatif fois un négatif, comme l'a montré l'argument du retournement, est positif lui aussi, car deux retournements s'annulent. Dans les deux cas, le résultat retombe du côté positif. L'équation x² = -1 réclame un nombre que la droite numérique tout entière ne peut pas fournir, et c'est pourquoi la formule quadratique, traitée dans l'article sur les équations du second degré, annonce poliment « pas de solution réelle » dès que le discriminant devient négatif.

Pendant longtemps, les mathématiciens en sont restés là. Ce qui les a fait changer d'avis n'est pas la philosophie, mais une arithmétique qui refusait de rester cassée. Au XVIe siècle, des mathématiciens italiens qui résolvaient des équations cubiques ont constaté que leurs formules passaient parfois tout droit par des racines carrées de nombres négatifs avant d'aboutir à des réponses manifestement correctes, des nombres entiers ordinaires vérifiables à la main. Rafael Bombelli a fait le geste décisif : il a traité ces racines impossibles comme des objets sur lesquels on peut calculer, il a suivi les règles, et il a regardé les parties imaginaires s'annuler pour laisser la bonne réponse réelle. La leçon était inconfortable mais sans appel. Ces nombres faisaient un vrai travail, que l'on sache ou non dire ce qu'ils étaient.

Multiplier par -1, c'est faire un demi-tour

Pour voir ce qu'est réellement i, partez de quelque chose que vous acceptez déjà. Multiplier par -1 fait basculer un nombre de l'autre côté de zéro : 5 devient -5, et -5 devient 5. Sur la droite numérique, cette bascule est une rotation. Multiplier par -1 fait pivoter un nombre de 180 degrés autour de zéro, un demi-tour parfait, et c'est exactement pourquoi multiplier deux fois par -1 vous ramène au point de départ. Deux demi-tours font un tour complet, donc -1 fois -1 égale 1. C'était l'image du retournement de l'article sur les nombres négatifs, et elle est sur le point de rapporter une seconde fois.

Posez maintenant la question centrale en langage de rotation. Le nombre mystérieux i doit vérifier i² = -1, autrement dit : appliquer i deux fois produit le même effet qu'un demi-tour. i est donc une opération qui, effectuée deux fois de suite, vous fait pivoter de 180 degrés.

Dites-le à voix haute et la réponse se nomme d'elle-même. Que fait-on deux fois pour se retrouver dos à son point de départ ? Un quart de tour, deux fois. i est une rotation de 90 degrés.

i est un quart de tour, et il lui faut un plan

Un quart de tour a une conséquence immédiate : il vous fait quitter la droite. Faites pivoter le nombre 1 de 90 degrés autour de zéro et vous atterrissez en un point situé une unité juste au-dessus de zéro, un endroit que la droite numérique n'inclut tout simplement pas. Voilà la vraie découverte cachée dans les nombres imaginaires, et c'est l'étape que la plupart des explications sautent. Le problème n'a jamais été que √-1 soit impossible. Le problème est que la droite numérique est trop petite. Les nombres ne sont pas obligés de vivre sur une droite à une dimension. Ils peuvent remplir un plan à deux dimensions.

Ce plan s'appelle le plan complexe, et il n'a rien de plus exotique qu'une carte. La droite numérique familière court à l'horizontale : les positifs à droite, les négatifs à gauche. Un nouvel axe court à la verticale, et i habite au point situé une unité plus haut. Les multiples de i remplissent le reste de l'axe vertical, avec 2i au-dessus de i et -i en dessous de zéro. L'axe horizontal est dit réel et l'axe vertical imaginaire, mais après tout ce qui précède, lisez ces étiquettes comme est-ouest et nord-sud. Rien ne rend la direction verticale moins légitime que l'horizontale. Elle est simplement plus récente.

Pourquoi i² doit valoir -1

Une fois le plan en place, l'équation fondatrice se démontre toute seule. Prenez le nombre 1, posé une unité à l'est de zéro. Multipliez par i : un quart de tour dans le sens antihoraire, et 1 monte au sommet du cercle, atterrissant sur i. Voilà pourquoi 1 × i = i, comme il se doit. Multipliez encore par i : un nouveau quart de tour vous emmène du nord à l'ouest, une unité à gauche de zéro, sur -1.

Deux multiplications par i ont transformé 1 en -1. En symboles, i² = -1. Il n'y a pas le moindre décret dans ce paragraphe. L'équation que tout le monde doit mémoriser est un énoncé de géométrie : un quart de tour, pris deux fois, est un demi-tour. Vous pouvez continuer, et le motif mérite d'être regardé une fois. Un troisième quart de tour descend -1 vers -i, donc i³ = -i. Un quatrième referme le cercle en revenant à 1, donc i⁴ = 1, et les puissances de i se répètent à l'infini par cycles de quatre, parce que quatre quarts de tour font un tour complet. Ce qui ressemble dans un manuel à une curiosité algébrique excentrique est une roue qui tourne.

Les nombres complexes ne sont que des coordonnées

Dès que les nombres vivent sur un plan, un nombre général a besoin de deux coordonnées, et un nombre complexe n'est rien d'autre. L'expression 3 + 4i n'est pas une addition inachevée, pas plus que les coordonnées d'une ville ne sont un calcul inachevé. C'est une adresse : allez 3 vers l'est, puis 4 vers le nord. La partie réelle et la partie imaginaire sont la longitude et la latitude.

L'arithmétique conserve les saveurs qu'elle a eues tout au long de cette série. Additionner des nombres complexes, c'est marcher : pour additionner 3 + 4i et 1 - 2i, combinez les parts vers l'est, combinez les parts vers le nord, et vous arrivez en 4 + 2i. C'est la promenade sur la droite numérique de l'article sur les nombres négatifs, promue au rang de carte. La multiplication est l'endroit où le plan gagne sa place : multiplier par un nombre complexe fait tourner et changer d'échelle en même temps, de l'angle du nombre et de sa distance à zéro. Multiplier par i est le cas particulier du quart de tour pur de cette règle générale, et multiplier par -1 le cas du demi-tour pur. Les règles des signes que vous connaissiez déjà étaient depuis toujours des règles de rotation, restreintes à une droite où les seules rotations possibles étaient l'immobilité et le demi-tour.

Là où les nombres imaginaires travaillent pour de vrai

Une question raisonnable demeure : admettons que l'image soit élégante, qui a besoin de nombres qui tournent ? Réponse : tous ceux dont les problèmes tournent, oscillent ou ondulent, ce qui représente une large fraction des sciences et de l'ingénierie.

Le courant alternatif est le cas classique. La tension et le courant d'une prise murale oscillent comme des roues qui tournent, déphasages compris, et les ingénieurs électriciens les décrivent avec des nombres complexes parce que multiplier par un nombre complexe est exactement une rotation avec changement d'échelle, c'est-à-dire exactement ce que les circuits font aux signaux. Le traitement du signal va plus loin encore : la transformée de Fourier, le moteur mathématique de la compression musicale, de l'imagerie médicale et des communications sans fil, décompose les signaux en composantes tournantes écrites comme des nombres complexes. La mécanique quantique va au bout de la logique, avec un i logé de façon inamovible dans l'équation de Schrödinger. Et le pont entre croissance et rotation, la formule qui a rendu toute cette comptabilité sans effort, est le sujet de notre article sur l'identité d'Euler, où la fonction exponentielle reçoit un argument imaginaire et, au lieu de croître, voyage en cercle. Rien de cette machinerie ne fonctionne sans la direction latérale. Les nombres « imaginaires » sont des murs porteurs.

D'où viennent vraiment les erreurs

Les erreurs que l'on commet avec i se concentrent en trois endroits, et toutes les trois se dissolvent sous l'image de la rotation.

La première consiste à traiter i comme une variable, un x inconnu qui pourrait valoir n'importe quoi. i n'est pas une inconnue. C'est un point précis du plan et une rotation précise, aussi concret que -1. Quand vous simplifiez une expression comme i fois i fois i, vous ne manipulez pas un mystère. Vous comptez des quarts de tour : trois d'entre eux vous orientent vers le sud, sur -i.

La deuxième est le mauvais usage de la règle des racines. Les élèves apprennent que la racine d'un produit est le produit des racines, puis écrivent √-1 × √-1 = √1 = 1, ce qui contredit i² = -1 et semble casser les mathématiques. La résolution est que cette règle a été démontrée pour des nombres positifs ou nuls et ne survit tout simplement pas au voyage vers le plan. Le geste fiable est de convertir d'abord en i, puis de compter les rotations. La règle n'a pas échoué mystérieusement ; elle a été utilisée hors garantie.

La troisième erreur est la plus ancienne : croire le nom. Les élèves tiennent les nombres imaginaires à distance, mémorisant au lieu de comprendre, parce que l'étiquette insiste sur le fait que ces nombres seraient une fiction. Latéraux, pas imaginaires. De côté, pas faux. Le vocabulaire est la partie la plus difficile du sujet, et ce n'est pas des mathématiques.

La place de Math Zen

Les nombres imaginaires siègent au sommet d'une tour, et chaque tremblement de la tour se répercute ici. Travailler avec a + bi s'appuie sur l'arithmétique des nombres signés de l'étage des négatifs, sur la réduction des termes semblables en algèbre, et sur le discriminant de la formule quadratique, là où la plupart des élèves voient pour la première fois une racine carrée passer en négatif. La progression par paniers de Math Zen est conçue pour garder ces étages inférieurs solides : les premiers paniers font travailler les nombres signés et le décompte des retournements jusqu'au réflexe, les paniers intermédiaires mettent la manipulation algébrique et les équations du second degré sous pression de temps, et les paniers avancés mélangent les types de problèmes pour qu'un signe enfoui trois étapes plus bas dans un calcul ressorte encore juste.

C'est cette aisance qui rend le saut vers i petit au lieu de terrifiant, car le saut est réellement petit : une image nouvelle, puis une arithmétique que vous possédez déjà. De courtes séances quotidiennes, dans l'esprit de la pratique par répétition espacée, sont ce qui maintient les étages inférieurs en état pendant que le nouvel étage se construit au-dessus.

L'essentiel

Un nombre imaginaire est un nombre réel qui pointe dans une nouvelle direction, à angle droit de la droite numérique, et i est le quart de tour qui l'y oriente. L'équation i² = -1 n'est pas une définition imposée d'en haut. C'est l'observation que deux quarts de tour font un demi-tour, et qu'un demi-tour est la multiplication par -1. Les nombres complexes sont des coordonnées sur le plan que cela déverrouille, l'addition marche, la multiplication tourne et change d'échelle, et tout l'appareillage fait fonctionner l'électricité, le traitement du signal et la machinerie quantique du monde moderne.

La seule chose réellement regrettable dans les nombres imaginaires est leur nom, un dédain du XVIIe siècle qui a survécu quatre siècles au scepticisme de son auteur. Quand le sujet revient, traduisez en silence : nombres latéraux, nombres de côté, les nombres qui sont sortis de la droite. Alors la question « comment la racine carrée de moins un peut-elle exister » se répond d'elle-même, comme elle s'est répondue pour Gauss. Elle existe une unité au nord de zéro, un quart de tour de l'endroit où vous vous teniez déjà.