Comprendre intuitivement les équations différentielles (un champ de pentes)

Une équation algébrique demande un nombre. Elle vous donne une égalité comme 2x + 3 = 11 et vous demande quelle valeur la rend vraie. Une équation différentielle demande une courbe. Elle vous donne une règle locale d’évolution et vous demande quels chemins complets peuvent la suivre.

C’est ce changement de perspective qui rend le sujet étrange au début. L’inconnue est une fonction, la réponse contient souvent une constante arbitraire et un point isolé de la courbe ne suffit pas. L’équation décrit la manière dont la courbe doit évoluer sur tout un intervalle.

L’image qui permet de lire les équations différentielles explicites du premier ordre est un champ de petites pentes. Pour une équation écrite y' = F(x, y), chaque point où F est définie reçoit un court segment qui indique dans quel sens la courbe doit s’incliner. Une solution est un chemin qui suit ces directions. Une fois ce champ visualisé, les familles de solutions, les conditions initiales et la croissance exponentielle cessent de ressembler à des astuces sans rapport entre elles.

Une équation différentielle est une règle d’évolution

Une dérivée indique à quelle vitesse une quantité varie. Une équation différentielle inverse la question. Elle vous donne une relation faisant intervenir la dérivée et vous demande de retrouver la quantité.

Considérons

$$y' = 2y$$

L’apostrophe désigne la dérivée de y par rapport à x. L’équation affirme que le taux de variation vaut toujours deux fois la valeur actuelle. Quand y vaut 1, la pente doit valoir 2. Quand y vaut 3, elle doit valoir 6. Quand y est négatif, la pente doit être négative. La règle ne donne pas directement la hauteur de la courbe pour une valeur particulière de x. Elle indique comment la hauteur et la pente doivent évoluer ensemble.

Voici l’inversion essentielle :

• En calcul différentiel, vous connaissez la fonction et calculez son taux de variation.
• Dans une équation différentielle, vous connaissez une règle qui gouverne ce taux et vous reconstruisez la fonction.

L’équation y' = 2y est du premier ordre, car sa dérivée d’ordre le plus élevé est la dérivée première. Une équation qui contient y'' est du second ordre. L’ordre indique combien de niveaux de variation la règle prend en compte, pas à quel point l’équation semble difficile.

C’est aussi une équation différentielle ordinaire, ou EDO, car y dépend d’une seule variable indépendante. Si une température dépend à la fois de la position et du temps, le modèle emploie des dérivées partielles et devient une équation aux dérivées partielles, ou EDP. La grande idée reste la même, mais cet article s’en tient aux EDO : une entrée, un chemin qui évolue.

La solution est une fonction, pas un nombre

Pour résoudre y' = 2y, il faut trouver une fonction dont la dérivée vaut deux fois la fonction elle-même. Les fonctions exponentielles ont exactement ce comportement. Essayons

$$y = Ce^{2x}$$

où C est une constante quelconque. Dérivons cette fonction :

$$y' = 2Ce^{2x}$$

Puisque y vaut $Ce^{2x}$, on obtient bien y' = 2y. La fonction proposée satisfait l’équation pour toute valeur de x, c’est donc une solution.

Remarquez comment se déroule la vérification. Pour une équation algébrique, vous remplacez l’inconnue par un nombre. Pour une équation différentielle, vous dérivez une fonction et remplacez la dérivée par le résultat. Une solution correcte doit respecter la règle partout sur l’intervalle étudié, pas seulement passer par un point bien choisi.

La constante C n’est pas un travail laissé inachevé. Elle fait partie de la réponse. L’équation décrit une famille de courbes :

• $C = 1$ donne $y = e^{2x}$.
• $C = 3$ donne $y = 3e^{2x}$.
• $C = -2$ donne $y = -2e^{2x}$.
• C = 0 donne la solution constante y = 0.

Toutes ces courbes suivent la même loi de croissance, mais chacune part d’une hauteur différente. Une loi d’évolution ne peut pas vous dire où l’histoire a commencé. C’est précisément cette information manquante que la constante conserve.

C’est également pourquoi l’intégration introduit une constante additive. La dérivation efface les translations verticales constantes, car leur dérivée est nulle. L’opération inverse doit donc conserver toutes les translations possibles. Les manipulations algébriques peuvent ensuite modifier la forme de ce paramètre. Dans cet exemple, l’exponentiation transforme $e^{C}$ en une constante multiplicative placée devant $e^{2x}$.

Les champs de pentes transforment la règle en paysage

Vous pouvez comprendre une équation explicite du premier ordre y' = F(x, y) avant même de la résoudre symboliquement. Prenez une grille de points où F est définie. À chacun d’eux, calculez la pente imposée, puis tracez un court segment de cette pente. Le dessin obtenu s’appelle un champ de pentes ou champ de directions.

Pour y' = 2y, la pente ne dépend que de la hauteur :

• Le long de y = 0, tous les segments sont horizontaux.
• Le long de y = 1, tous les segments ont une pente égale à 2.
• Le long de y = -1, tous les segments ont une pente égale à -2.
• Plus les lignes positives sont hautes, plus elles s’inclinent fortement vers le haut.
• Plus les lignes négatives sont basses, plus elles s’inclinent fortement vers le bas.

Le champ ressemble à des bandes horizontales d’inclinaison constante. Une courbe solution peut partir de n’importe quel point, mais elle doit ensuite suivre les segments locaux. Les solutions positives se courbent vers le haut et croissent. Les solutions négatives s’éloignent de zéro vers le bas. La solution nulle reste horizontale, car chaque flèche sur cette ligne l’est aussi.

Cette image sépare l’équation de chacune de ses solutions. L’équation différentielle produit le champ entier. Chaque solution n’est qu’un fil qui le traverse.

Elle permet aussi de prévoir le comportement sans trouver de formule. Si les segments pointent vers le haut dans une région, les solutions y sont croissantes. S’ils sont horizontaux le long de y = c pour toutes les valeurs pertinentes de x, alors y = c est une solution d’équilibre constante. Si les segments voisins pointent vers cette ligne, les solutions proches y sont ramenées. S’ils pointent dans le sens opposé, de petites perturbations s’amplifient. Une grande partie des équations différentielles appliquées repose sur ce type de lecture qualitative : comprendre ce que les chemins peuvent faire avant d’établir leurs formules exactes.

Pour y' = 2y, le membre de droite varie régulièrement avec y. Les conditions usuelles d’existence et d’unicité garantissent donc une seule solution passant par chaque point. Le champ de pentes illustre ce résultat, mais ne le démontre pas. Le fait d’avoir un point et une pente en commun ne suffit pas pour toutes les équations : des règles moins régulières peuvent permettre à des solutions de se rejoindre, puis de se séparer.

Les conditions initiales choisissent un chemin

Ajoutons maintenant la condition y(0) = 3 à la même équation. Il s’agit d’une condition initiale : pour x = 0, la courbe passe par la hauteur 3. Partons de la famille de solutions

$$y = Ce^{2x}$$

et remplaçons x et y par les coordonnées du point connu :

$$3 = Ce^{0} = C$$

La solution particulière est donc

$$y = 3e^{2x}$$

L’équation différentielle a fourni la forme de la famille. La condition initiale en a sélectionné un membre. Dans l’image du champ de pentes, elle a posé votre doigt sur le point (0, 3), ne laissant que le chemin qui passe par ce point.

Pour les problèmes de Cauchy réguliers, le nombre de conditions habituellement nécessaires suit l’ordre de l’équation. Une loi de vitesse du premier ordre y' = v(x, y), où la vitesse est déjà spécifiée, exige généralement une position initiale. Une loi d’accélération du second ordre demande en général une position initiale et une vitesse initiale.

Prenons par exemple l’équation normalisée d’un ressort non amorti :

$$y'' + y = 0$$

Elle affirme que l’accélération est dirigée vers la position d’équilibre. Sa forme physique est m y'' + k y = 0. Le choix d’unités telles que k/m = 1 donne l’équation normalisée ci-dessus. Ses solutions combinent sinus et cosinus. Connaître uniquement la position de départ ne permet pas de savoir si le ressort a été lâché au repos ou s’il était déjà en mouvement. Ajoutez la vitesse initiale, et le mouvement est déterminé.

Séparer les variables, c’est défaire le lien

L’équation y' = 2y peut être résolue systématiquement, pas seulement devinée. Écrivons la dérivée sous la forme $\frac{dy}{dx}$ :

$$\frac{dy}{dx} = 2y$$

Plaçons le facteur en y à côté de dy et celui en x à côté de dx :

$$\frac{dy}{y} = 2 dx$$

Intégrons maintenant les deux membres :

$$\ln|y| = 2x + C$$

En exponentiant, on obtient

$$y = Ae^{2x}$$

À ce stade, A est non nul, car la division par y a exclu y = 0. Testons cette fonction écartée dans l’équation initiale : y = 0 fonctionne. La famille complète peut donc s’écrire y = $Ae^{2x}$ pour toute constante réelle A, zéro compris.

La méthode porte le nom de séparation des variables, car elle regroupe tout ce qui contient y d’un côté et tout ce qui contient x de l’autre avant d’intégrer. Elle s’applique aux équations que l’on peut réécrire sous la forme

$$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$$

mais la manipulation algébrique comporte un piège. Diviser par g(y) peut faire disparaître les solutions pour lesquelles g(y) = 0. Dans notre exemple, la division par y a temporairement exclu l’équilibre y = 0.

Pour les équations régulières généralement présentées avec cette méthode, rétablir les équilibres exclus permet de compléter la famille. Des équations moins régulières peuvent aussi posséder des solutions par morceaux qui restent un certain temps sur un équilibre avant de le quitter. La séparation des variables ne constitue donc pas une preuve universelle d’exhaustivité. Après toute division ou transformation, testez la famille obtenue et chaque valeur exclue dans l’équation initiale.

Croissance, décroissance et oscillation suivent des règles différentes

De petites modifications d’une équation différentielle produisent des mouvements très différents.

Le modèle

$$y' = ky$$

décrit une croissance exponentielle pour les quantités positives lorsque k est positif, et une décroissance exponentielle vers zéro lorsque k est négatif. Plus généralement, la valeur absolue de toute solution non nulle augmente si k est positif et diminue si k est négatif. Ce modèle apparaît chaque fois que le taux est proportionnel à la quantité actuelle : croissance idéalisée d’une population, capitalisation continue et décroissance radioactive en sont des exemples familiers. La même formule ne signifie pas que toute population ou tout investissement réel reste exponentiel pour toujours. Elle dit que le comportement exponentiel découle de l’hypothèse d’un taux proportionnel constant tant que celle-ci reste valable.

L’équation du ressort y'' + y = 0 produit au contraire une oscillation. Ses solutions sont construites avec des sinus et des cosinus, car deux dérivations inversent leur signe. Comparons-la à

$$y'' - y = 0$$

dont les solutions sont formées d’exponentielles ou, de façon équivalente, de fonctions hyperboliques. Le signe détermine si le système est ramené vers un mouvement répété ou poussé vers la croissance et la décroissance.

Les modèles réels ajoutent des termes pour représenter des forces extérieures, des frottements, des ressources limitées ou des interactions entre plusieurs quantités. Un modèle logistique de population ralentit la croissance à l’approche d’une capacité limite. Un ressort amorti perd de l’amplitude avec le temps. Un système d’équations différentielles peut suivre plusieurs quantités qui évoluent ensemble. Chaque terme ajouté modifie la règle locale et, par conséquent, les chemins que le système peut suivre.

D’où viennent les erreurs

La première erreur consiste à chercher un nombre. Dans une équation différentielle, l’inconnue est généralement une fonction. Si votre réponse est une seule valeur de y alors qu’aucun point d’évaluation n’est demandé, vous vous êtes probablement arrêté trop tôt.

La deuxième erreur consiste à vérifier uniquement la condition initiale. Passer par (0, 3) ne suffit pas pour être une solution de y' = 2y. Une infinité de courbes passent par ce point. La courbe doit également satisfaire la règle de dérivation sur tout l’intervalle.

La troisième erreur est d’oublier la constante arbitraire. Sans assez de conditions, une équation différentielle décrit normalement une famille. Présenter un seul membre comme s’il constituait toute la réponse écarte des trajectoires valides.

La quatrième erreur est de perdre un équilibre en divisant. Si vous divisez par y, par y - 1 ou par toute expression qui fait intervenir la fonction inconnue, arrêtez-vous et testez dans l’équation initiale les valeurs qui annulent cette expression.

La cinquième erreur consiste à confondre un modèle avec la réalité modélisée. L’équation y' = ky produit une croissance ou une décroissance exponentielle parce qu’elle suppose un taux proportionnel constant. Un système réel ne suit cette courbe que tant que l’hypothèse constitue une approximation utile. Résoudre correctement l’équation ne prouve pas qu’elle était le bon modèle.

Comment Math Zen vous aide

Les équations différentielles combinent plusieurs compétences souvent enseignées dans des chapitres distincts. Il faut interpréter une dérivée comme un taux de variation, transformer une expression algébrique sans perdre de cas, reconnaître quand une exponentielle est proportionnelle à sa propre dérivée, intégrer les deux membres et employer une condition initiale pour déterminer la constante restante. Une faiblesse dans une seule de ces compétences peut rendre toute la méthode mystérieuse.

Math Zen propose des exercices sur les équations à variables séparables, les équations linéaires du premier ordre, les équations du second ordre, les équations homogènes, exactes ou de Bernoulli, ainsi que sur les systèmes d’équations différentielles ordinaires. Avant de calculer, posez-vous les trois questions de cet article : quelle évolution l’équation impose-t-elle, quelle famille de chemins pourrait la respecter et quelles conditions sélectionnent le chemin recherché ?

La boucle d’entraînement utile est simple : classez une équation, prévoyez la direction de ses solutions, résolvez-la ou vérifiez-la, puis contrôlez la condition initiale et les éventuels équilibres exclus. Revenez ensuite à ce mélange après une pause, selon la même méthode de répétition espacée que dans le reste de Math Zen. Le but n’est pas de mémoriser une collection de recettes, mais de reconnaître la règle d’évolution qui se trouve devant vous.

À retenir

Une équation différentielle décrit une relation entre une quantité et la façon dont elle évolue. Sa solution est une fonction, pas une valeur isolée, et elle appartient souvent à une famille. La constante arbitraire conserve l’endroit où le chemin aurait pu commencer, et une condition initiale choisit le chemin qui correspond au véritable point de départ.

Pour les équations explicites du premier ordre, l’image du champ de pentes donne sa cohérence à tout le sujet. La règle locale remplit son domaine de directions permises, et une solution les suit. La séparation des variables, les problèmes de Cauchy, la croissance, la décroissance et l’oscillation sont différentes manières de lire ou de parcourir ce paysage. Une équation différentielle transforme une règle locale d’évolution en une courbe globale.