Comprendre intuitivement les fonctions hyperboliques (au-delà de la trigonométrie)

Quand une calculatrice affiche pour la première fois des touches nommées sinh, cosh et tanh, elles ressemblent à des variantes du sinus, du cosinus et de la tangente. On pourrait croire que quelqu'un a pris la trigonométrie, lui a ajouté un h et créé trois formules supplémentaires à mémoriser.

C'est prendre les choses à l'envers. Les fonctions hyperboliques partent des exponentielles, pas des angles. Elles réunissent les deux mouvements exponentiels les plus simples, la croissance par $e^{x}$ et la décroissance par $e^{-x}$, puis les additionnent ou les soustraient en couples parfaitement équilibrés. Leur ressemblance avec la trigonométrie apparaît ensuite, quand ces couples se révèlent être des coordonnées sur une hyperbole plutôt que sur un cercle.

Dès que l'on voit les deux exponentielles tirer dans des directions opposées, les définitions cessent de paraître arbitraires. L'identité principale devient l'équation d'une courbe, les dérivées semblent presque inévitables, et le câble suspendu de tous les manuels d'analyse a enfin une bonne raison de faire intervenir cosh.

L'hyperbole est la cousine du cercle

La trigonométrie repose sur une image centrale : un point qui se déplace sur le cercle unité. Au paramètre t, ses coordonnées sont

$$(\cos t, \sin t)$$

Ces coordonnées vérifient

$$\cos^{2} t + \sin^{2} t = 1$$

car chaque point appartient au cercle $x^{2} + y^{2} = 1$. Le cosinus donne la coordonnée horizontale, le sinus la coordonnée verticale, et l'identité de Pythagore n'est que l'équation du cercle écrite avec leurs noms.

Les fonctions hyperboliques reprennent la même idée de coordonnées sur une autre courbe. Dans le langage des équations paramétriques, le couple

$$(\cosh t, \sinh t)$$

se trouve sur la branche droite de l'hyperbole unité

$$x^{2} - y^{2} = 1$$

et ses coordonnées vérifient donc

$$\cosh^{2} t - \sinh^{2} t = 1$$

Le changement de signe donne à la nouvelle courbe son caractère propre. Un cercle maintient $x^{2} + y^{2}$ constant. Une hyperbole maintient $x^{2} - y^{2}$ constant. Ce simple passage du plus au moins explique pourquoi tant d'identités hyperboliques ressemblent à des identités trigonométriques dont un signe aurait été inversé.

Une nuance mérite d'être bien comprise. Le graphe y = cosh x est une courbe en U. Ce n'est pas l'hyperbole unité $x^{2} - y^{2} = 1$. L'hyperbole apparaît lorsque cosh et sinh servent ensemble de coordonnées : x = cosh t et y = sinh t. Une fonction donne la coordonnée horizontale, l'autre la coordonnée verticale, tout comme le cosinus et le sinus coopèrent pour parcourir un cercle.

Le paramètre t est parfois appelé angle hyperbolique, mais il ne s'agit pas d'un angle ordinaire mesuré par une rotation autour d'un cercle. Sur l'hyperbole unité, t vaut deux fois l'aire orientée du secteur hyperbolique balayé entre (1, 0) et le point mobile. Pour la plupart des calculs, il suffit de voir t comme le paramètre commun qui déplace le point le long de l'hyperbole. Pour t = 0, le point est (1, 0). Une valeur positive de t le fait monter sur la branche droite, une valeur négative le fait descendre.

sinh et cosh équilibrent croissance et décroissance

La géométrie explique les noms. Les définitions expliquent le fonctionnement concret des fonctions :

$$\sinh x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}$$ $$\cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}$$

Toutes deux partent de la même paire d'exponentielles. L'une augmente avec x, l'autre diminue. Cosh les additionne et mesure donc leur total symétrique. Sinh les soustrait et indique ainsi laquelle des deux exponentielles l'emporte.

Pour x = 0, les deux exponentielles valent 1. Leur somme vaut 2 et leur différence 0, donc

$$\cosh 0 = 1, \quad \sinh 0 = 0$$

On obtient le point (1, 0), le sommet de la branche droite de l'hyperbole.

Remplaçons maintenant x par -x. Les deux termes exponentiels échangent leur place. Leur somme ne change pas, donc cosh(-x) = cosh x. Cosh est paire et son graphe est symétrique par rapport à l'axe des y. Leur différence change de signe, donc sinh(-x) = -sinh x. Sinh est impaire et son graphe possède une symétrie centrale par rapport à l'origine.

Un petit exemple exact permet de voir le mécanisme. Prenons x = ln 2. Alors $e^{x} = 2$ et $e^{-x} = \frac{1}{2}$, donc

$$\cosh(\ln 2) = \frac{2 + \frac{1}{2}}{2} = \frac{5}{4}$$ $$\sinh(\ln 2) = \frac{2 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{3}{4}$$

Le point est (5/4, 3/4). Vérifions l'hyperbole :

$$(5/4)^{2} - (3/4)^{2} = 25/16 - 9/16 = 1$$

L'identité n'est pas une coïncidence ajoutée après les définitions. La somme et la différence équilibrées la produisent automatiquement.

Pour les grandes valeurs positives de x, $e^{-x}$ devient minuscule. Sinh x et cosh x se rapprochent donc toutes deux de la moitié de $e^{x}$. Pour les grandes valeurs négatives, cosh reste positive tandis que sinh devient négative. Voilà pourquoi leurs graphes se ressemblent sans être identiques : cosh est le total en U de deux exponentielles positives, tandis que sinh en consigne la différence orientée.

L'identité au signe moins

La formule hyperbolique la plus importante est

$$\cosh^{2} x - \sinh^{2} x = 1$$

On peut la retenir comme l'équation de l'hyperbole, mais aussi la retrouver en une ligne d'algèbre. Posons A = $e^{x}$ et B = $e^{-x}$. Alors AB = 1 et

$$\cosh x = \frac{A + B}{2}, \quad \sinh x = \frac{A - B}{2}$$

Soustrayons les deux carrés :

$$\left(\frac{A + B}{2}\right)^{2} - \left(\frac{A - B}{2}\right)^{2} = AB = 1$$

L'identité remarquable de la différence de deux carrés fait tout le travail. Les termes $A^{2}$ et $B^{2}$ s'annulent lors de la soustraction, tandis que les termes croisés se regroupent et laissent AB = $e^{x}$ fois $e^{-x}$, soit 1.

Cette identité engendre le reste de la famille. En divisant par $\cosh^{2} x$, on obtient

$$1 - \tanh^{2} x = \operatorname{sech}^{2} x$$

où tanh x = sinh x / cosh x et sech x = 1 / cosh x. Lorsque sinh x est non nul, on peut plutôt diviser par $\sinh^{2} x$ pour obtenir l'identité correspondante avec coth et csch. Les noms paraissent peut-être chargés, mais la structure est la même qu'en trigonométrie : la tangente est un rapport, la sécante et la cosécante sont des inverses multiplicatifs, et l'équation de la courbe centrale engendre les identités.

Le moyen le plus sûr de retenir le signe n'est pas de se dire que « la trigonométrie hyperbolique a des signes étranges ». C'est de penser à la courbe. Cercle signifie plus. Hyperbole signifie moins. Si l'on visualise l'équation sur laquelle on travaille, le signe ne se choisit plus au hasard.

Ce que mesure tanh

La tangente hyperbolique est le rapport

$$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}$$

Ce rapport compare la différence entre croissance et décroissance à leur total. Pour x = 0, les deux exponentielles s'équilibrent, donc tanh 0 = 0. Lorsque x augmente, $e^{x}$ domine à la fois le numérateur et le dénominateur, si bien que leur rapport tend vers 1. Lorsque x devient très négatif, $e^{-x}$ domine et le rapport tend vers -1.

Tanh est donc une fonction en S, confinée entre -1 et 1. Près de zéro, elle se comporte presque comme x, puis s'aplatit progressivement lorsqu'une exponentielle prend le dessus sur l'autre. Contrairement à la tangente ordinaire, elle n'a ni branches périodiques ni asymptotes verticales. Leur nom commun vient du fait qu'il s'agit dans les deux cas d'un rapport entre des coordonnées analogues au sinus et au cosinus, pas de graphes identiques.

Cette forme bornée est utile chaque fois qu'une entrée non bornée doit produire une sortie lisse et limitée. Dans un cours de mathématiques pures, l'idée essentielle est toutefois plus simple : tanh est ce que l'on obtient en normalisant le déséquilibre orienté sinh par le total positif cosh.

Les autres fonctions suivent la même logique :

• $\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}$
• $\operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x}$
• $\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x}$

Cosh ne s'annule jamais pour x réel, donc sech est définie partout. Sinh vaut zéro pour x = 0, donc csch et coth n'y sont pas définies. Ces faits ne sont pas à mémoriser séparément si on les lit directement dans les définitions.

Pourquoi l'analyse aime les fonctions hyperboliques

Grâce aux définitions exponentielles, les dérivées sont remarquablement simples. Dérivons sinh :

$$\frac{d}{dx} \sinh x = \frac{d}{dx} \left[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}\right] = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} = \cosh x$$

Le second terme passe du moins au plus, car dériver $e^{-x}$ introduit un autre signe moins. En dérivant cosh, les signes évoluent dans l'autre sens :

$$\frac{d}{dx} \cosh x = \sinh x$$

Le cosinus ordinaire acquiert un signe moins lorsqu'on le dérive. Ce n'est pas le cas du cosinus hyperbolique. Cette différence crée un contraste utile :

• sin x et cos x vérifient y'' = -y, ce qui produit une oscillation
• sinh x et cosh x vérifient y'' = y, ce qui produit une croissance et une décroissance exponentielles

C'est pourquoi les fonctions hyperboliques apparaissent naturellement dans les équations différentielles, qui décrivent des relations entre des dérivées. La solution générale de y'' = y peut s'écrire A $e^{x}$ + B $e^{-x}$, mais aussi C cosh x + D sinh x. Les deux formes contiennent la même information. Cosh et sinh regroupent simplement les combinaisons symétrique et antisymétrique d'une manière souvent mieux adaptée aux conditions initiales.

Par exemple, la solution qui vérifie y(0) = 1 et y'(0) = 0 est cosh x. Elle commence à la hauteur 1 avec une tangente horizontale. La solution qui vérifie y(0) = 0 et y'(0) = 1 est sinh x. Elle part de l'origine avec une pente égale à 1. Ces conditions initiales se lisent immédiatement sur les graphes.

La dérivée de tanh est tout aussi élégante :

$$\frac{d}{dx} \tanh x = \operatorname{sech}^{2} x$$

Puisque $\operatorname{sech}^{2} x$ est positive, tanh est toujours croissante. Comme sech tend vers zéro loin de l'origine, la pente de tanh tend elle aussi vers zéro, ce qui explique les extrémités aplaties de son graphe.

Les fonctions hyperboliques apparaissent également dans l'intégration et les changements de variable. Leurs fonctions réciproques permettent d'exprimer des primitives comportant des racines carrées comme sqrt($x^{2}$ + 1) ou sqrt($x^{2}$ - 1). Il n'est pas nécessaire de connaître ces formules pour comprendre les fonctions, mais ce lien explique pourquoi un cours d'analyse les introduit peu après les exponentielles et les substitutions trigonométriques.

Pourquoi les câbles suspendus font intervenir cosh

L'application la plus visible est le câble suspendu. Un câble uniforme et souple, accroché en deux points et ne supportant que son propre poids, prend la forme d'une chaînette. Lorsque son point le plus bas est centré sur l'axe des y, son équation est de la forme

$$y = a \cosh(x / a) + C$$

La constante C fixe la position verticale. Si l'origine du repère est choisie de sorte que C soit nulle, on retrouve la formule familière y = a cosh(x / a). La constante a détermine la profondeur de la courbe. Une grande valeur de a donne un câble plus plat, une petite valeur produit une flèche plus prononcée. Près de son point le plus bas, la forme ressemble à une parabole. C'est pourquoi on suppose souvent que les chaînes suspendues sont paraboliques, alors que leur courbe d'équilibre exacte sous leur propre poids est une courbe en cosh.

La formule n'est pas une coïncidence décorative. La composante horizontale de la tension du câble reste constante, tandis que sa composante verticale variable équilibre le poids accumulé. Cet équilibre des forces mène à une équation différentielle dont cosh est une solution. La fonction issue de l'équilibre entre $e^{x}$ et $e^{-x}$ réapparaît lorsque des forces physiques s'équilibrent le long d'une courbe.

D'où viennent les erreurs

Les erreurs sur les fonctions hyperboliques sont généralement des erreurs d'analogie. Ces fonctions ressemblent assez à la trigonométrie pour inciter à deviner, mais pas assez pour que toutes les propriétés trigonométriques restent valables.

La première erreur consiste à lire sinh x comme sin(hx), comme si h était une variable qui multipliait l'angle. Le nom se prononce « sinus hyperbolique » et désigne une fonction unique. Le h est une étiquette, pas une entrée.

La deuxième consiste à recopier l'identité du cercle avec un signe plus. La formule correcte est $\cosh^{2} x$ - $\sinh^{2} x$ = 1. Visualisez $x^{2} - y^{2} = 1$ et le signe se remet en place.

La troisième consiste à attribuer à cosh la dérivée -sinh parce que le cosinus ordinaire se dérive en -sinus. Revenez aux exponentielles : cosh est leur somme et sa dérivée est leur différence, donc $\frac{d}{dx} \cosh x = \sinh x$.

La quatrième consiste à confondre fonctions réciproques et inverses multiplicatifs. Selon les manuels, la fonction réciproque de sinh peut s'écrire asinh, arcsinh ou sinh⁻¹. Son inverse multiplicatif est csch, pas sinh⁻¹. De même, la fonction réciproque de cosh est acosh ou arcosh, tandis que son inverse multiplicatif est sech.

Les domaines des fonctions réciproques comptent eux aussi. Sinh prend toutes les valeurs réelles, donc asinh accepte toute entrée réelle. Cosh atteint un minimum égal à 1 et prend les mêmes valeurs de part et d'autre de zéro. Sa fonction réciproque réelle utilise donc la branche restreinte x supérieur ou égal à 0 et accepte des entrées supérieures ou égales à 1. Tanh ne produit que des valeurs strictement comprises entre -1 et 1, donc atanh n'accepte que les entrées de cet intervalle.

Enfin, ne dites pas que y = cosh x « est une hyperbole ». Son graphe est une courbe en U en forme de chaînette. C'est le couple (cosh t, sinh t) qui parcourt une hyperbole. Distinguer le graphe de la courbe paramétrée évite un nœud conceptuel étonnamment fréquent.

Là où Math Zen intervient

Les fonctions hyperboliques se trouvent au croisement des exponentielles, des identités et des dérivées. Si les définitions exponentielles sont bien acquises, on peut reconstruire l'essentiel du sujet plutôt que le mémoriser. Sinon, sinh, cosh, tanh, sech, csch et coth deviennent six touches de plus, accompagnées de six fiches de règles sans rapport entre elles.

Les exercices de Math Zen sur les fonctions hyperboliques suivent cette dépendance. Calculer sinh et cosh permet d'assimiler les définitions. Les problèmes d'identités renforcent le signe moins de l'hyperbole. Les exercices de dérivation mettent en évidence le passage direct de sinh à cosh, puis les problèmes suivants développent l'aisance avec les fonctions hyperboliques réciproques. Le but n'est pas de réciter une fois un tableau, mais de reconnaître l'image qui rend ce tableau inévitable.

Une séquence d'entraînement efficace est courte et variée : calculer une valeur exacte, vérifier une identité, dériver une fonction, puis reconnaître la bonne fonction réciproque ou le bon inverse multiplicatif. Revenez à cet ensemble après une pause, selon le principe de la répétition espacée en mathématiques. C'est le contraste répété avec la trigonométrie ordinaire qui fixe les signes et les noms.

L'essentiel

Les fonctions hyperboliques sont des exponentielles équilibrées. Cosh additionne croissance et décroissance, sinh les soustrait, et tanh compare leur différence à leur total. Employés ensemble comme coordonnées, cosh et sinh parcourent $x^{2} - y^{2} = 1$. Voilà pourquoi tant d'identités analogues ressemblent aux identités trigonométriques dont le signe plus du cercle serait remplacé par le signe moins de l'hyperbole.

L'image de l'hyperbole et les définitions exponentielles expliquent ensemble l'identité centrale, les graphes et les dérivées. Elles expliquent aussi pourquoi ces fonctions apparaissent là où croissance et décroissance se combinent, de l'équation différentielle y'' = y à la chaînette d'un câble suspendu. Le h ne crée pas un nouveau mur de formules. Il désigne une autre courbe et un autre type de mouvement sous-jacent.