Qu'est-ce qu'une équation paramétrique, en termes simples ?

Une équation paramétrique décrit une courbe en disant où se trouve un point pour chaque valeur d'une troisième variable, en général notée t. Au lieu d'une seule règle y = f(x), vous avez un couple : x = f(t) et y = g(t). Donnez le même t aux deux fonctions et vous obtenez un point du plan. Faites varier t et le point trace un trajet. La variable en plus est une horloge, ou un angle, ou un curseur : n'importe quoi que les deux coordonnées puissent écouter en même temps. Un cercle, une boucle et une balle lancée sont tous plus simples dans cette langue, parce que ce sont des trajets, pas des graphes d'une seule hauteur pour chaque x.

Quelle est la différence entre équations paramétriques et cartésiennes ?

Une équation cartésienne relie x et y directement, comme y = x² ou x² + y² = 1. C'est une photographie d'un ensemble de points. Les équations paramétriques sont un film d'un point qui parcourt cet ensemble : elles disent la position à chaque t, dans quel sens le trajet est parcouru, et à quelle vitesse. Le même cercle x² + y² = 1 peut être parcouru lentement ou deux fois plus vite, dans le sens horaire ou trigonométrique, en partant de (1, 0) ou de (0, 1). Tous ces films, une fois le paramètre éliminé, donnent la même équation cartésienne, donc la photographie ne peut pas les distinguer.

Comment éliminer le paramètre dans les équations paramétriques ?

Résolvez l'une des deux équations en t, ou combinez-les pour que t s'annule, puis substituez pour obtenir une relation entre x et y. Pour x = t et y = t², vous obtenez y = x² tout de suite. Pour x = cos t et y = sin t, vous élevez au carré et additionnez, en utilisant cos² t + sin² t = 1, et vous retrouvez le cercle x² + y² = 1. L'élimination est le bon geste quand vous n'avez besoin que de la forme. C'est le mauvais geste quand la question porte sur la vitesse, le sens, une particule à l'arrêt, ou le point occupé à un t donné, parce que ce sont des faits sur l'horloge, et l'horloge est précisément ce que vous venez de jeter.

Comment trouver dy/dx pour des équations paramétriques ?

Dérivez chaque coordonnée par rapport à t, puis divisez : dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt), pourvu que dx/dt ne soit pas nul. Les deux taux disent à quelle vitesse cette coordonnée change contre l'horloge ; leur quotient dit à quelle vitesse y change par unité de x, c'est-à-dire la pente. C'est la règle de la chaîne, pas une nouvelle dérivée, la même idée que dans [l'article sur les dérivées](/blog/understanding-derivatives-intuitively). Une tangente horizontale apparaît quand dy/dt = 0 tandis que dx/dt ne l'est pas ; une tangente verticale apparaît quand dx/dt = 0 tandis que dy/dt ne l'est pas. Si les deux s'annulent, la particule s'est arrêtée, et 0/0 n'est pas une tangente.

Pourquoi utilise-t-on les équations paramétriques ?

Parce que beaucoup de courbes sont des voyages, pas des graphes. Un cercle échoue au test de la droite verticale, un projectile visite le même x deux fois, et une animation doit savoir où se trouve un point à l'instant t, pas seulement quels points il occupe un jour. La physique écrit les trajectoires ainsi ; l'infographie écrit les courbes de Bézier ainsi ; AP Calculus BC teste la pente comme (dy/dt)/(dx/dt) et la longueur d'arc comme l'intégrale de la vitesse. Les coordonnées polaires, dans [l'article sur les coordonnées polaires](/blog/understanding-polar-coordinates-intuitively), sont un autre système d'adresses pour le même plan. Les équations paramétriques sont une autre description du mouvement à travers ce plan.

Comprendre les équations paramétriques intuitivement (une courbe avec une horloge)

Les graphes cartésiens répondent à une seule question : étant donné x, quel est y ? L'essentiel des mathématiques scolaires est cette question, au point qu'on finit par croire qu'une courbe est un graphe de y en fonction de x. Puis un cours plus tardif écrit x = cos t, y = sin t, appelle le couple paramétrique, et demande de croquer le trajet. Des élèves à l'aise avec y = f(x) ne savent soudain plus dire où se trouve la particule à t = π/2, et la formule de pente $\frac{dy}{dx}$ = ( $\frac{dy}{dt}$ )/( $\frac{dx}{dt}$ ) arrive comme une chose de plus à mémoriser.

Les deux descriptions ne sont pas des rivales. Un graphe de y en fonction de x est une photographie d'une courbe. Les équations paramétriques sont un film d'un point qui parcourt cette courbe, et la variable en plus, t, est l'horloge. Une fois cette image en place, éliminer le paramètre, c'est oublier l'horloge, et les formules d'analyse sont la règle de la chaîne qui lit deux taux contre la même horloge.

Un trajet n'est pas un graphe de y en fonction de x

Le test de la droite verticale est une règle sur les graphes de fonctions, pas sur les courbes. Un cercle y échoue parce qu'un même x peut rencontrer le cercle à deux hauteurs. Cela ne rend pas le cercle illégal. Cela en fait quelque chose qu'une seule fonction y = f(x) ne peut pas être.

Les équations paramétriques sont la façon de parler de ces objets : des boucles, des huit, un segment parcouru aller-retour, un projectile qui monte et redescend par le même x deux fois. Une fonction est une machine à une entrée et une sortie. Les équations paramétriques utilisent deux machines qui partagent une entrée. Donnez-leur le même t et vous obtenez un point (x(t), y(t)). Faites varier t et le point trace un trajet.

Ce trajet a un sens, parce que t augmente. Le graphe de y = $x^{2}$ ne sait pas si vous l'avez parcouru de gauche à droite ou de droite à gauche. La paramétrisation x = t, y = $t^{2}$ le parcourt de gauche à droite quand t croît. La paramétrisation x = −t, y = $t^{2}$ parcourt la même parabole dans l'autre sens. Même photographie, deux films.

t est une horloge

L'exemple quotidien le plus honnête, c'est le mouvement. Une mouche sur une vitre ne se décrit pas par une hauteur pour chaque position horizontale, parce qu'elle peut faire du sur-place, boucler, et visiter le même endroit deux fois. Elle se décrit par où elle est à chaque instant. C'est x(t) et y(t).

Vous n'êtes pas obligé d'interpréter t comme un temps d'horloge. Ce peut être un angle, une longueur d'arc, ou un curseur dans une animation. Le rôle de t, c'est d'être l'unique entrée que les deux coordonnées écoutent. L'appeler une horloge, c'est une image, pas une loi.

Un petit contrôle numérique garde l'image honnête. Prenez x = cos t, y = sin t :

$t = 0$ atterrit en (1, 0), le point est du cercle unité
$t = \pi/2$ atterrit en (0, 1), plein nord
$t = \pi$ atterrit en (−1, 0), ouest
$t = 2\pi$ revient en (1, 0)

C'est le cercle unité de la trigonométrie, écrit maintenant comme un tour du bord. Le même ensemble de points que $x^{2} + y^{2} = 1$ , plus un point de départ et un cap dans le sens trigonométrique. Les coordonnées polaires écrivent ce cercle plus court encore, r = 1, ce qui est un énoncé sur la distance à l'origine. Les équations paramétriques l'écrivent comme une marche. Questions différentes, même courbe.

La vitesse est dans l'horloge, elle aussi. x = cos 2t, y = sin 2t parcourt le même cercle deux fois plus vite : quand t va de 0 à 2π, vous faites deux tours. Éliminez t et les deux films se réduisent à une seule photographie. Gardez t et la différence saute aux yeux.

Éliminer le paramètre, c'est oublier l'horloge

Si vous résolvez l'une des équations en t et substituez dans l'autre, t disparaît et vous obtenez une relation entre x et y. Pour x = t, y = $t^{2}$ , vous obtenez y = $x^{2}$ tout de suite. Pour x = cos t, y = sin t, vous élevez au carré et additionnez, en utilisant l'identité $\cos^{2}$ t + $\sin^{2}$ t = 1, et vous retrouvez $x^{2} + y^{2} = 1$ .

Cette relation est l'ensemble des points. Ce n'est pas le film. L'équation du cercle ne dit pas que vous êtes parti de (1, 0), ne dit pas que vous avez tourné dans le sens trigonométrique, et ne dit pas que vous avez fait un tour plutôt que deux. Ce sont des faits sur t, et t est ce que l'élimination efface.

Parfois, l'effacement est le bon geste. Une question qui ne s'intéresse qu'à la forme veut la relation cartésienne. Parfois, c'est le mauvais geste. Une question sur la vitesse, sur une particule à l'arrêt, sur le quadrant occupé à t = 3, ou sur la distance parcourue le long du trajet, est une question sur l'horloge.

On ne peut pas toujours éliminer proprement non plus. x = t − sin t, y = 1 − cos t est une cycloïde, le trajet d'un point du bord d'un cercle qui roule. Il n'y a pas de y = f(x) commode. La forme paramétrique est la langue native, pas un costume enfilé par-dessus une équation cartésienne.

Si un exercice demande « éliminer le paramètre », il veut la photographie. S'il demande où se trouve la particule, de quel côté elle est tournée, à quelle vitesse elle va, ou quelle distance elle a parcourue, gardez l'horloge.

Cercles, droites et objets lancés

Trois familles reviennent sans cesse, et chacune est un trajet.

Une droite passant par (x₀, y₀) dans la direction d'un vecteur (a, b) a pour représentation paramétrique x = x₀ + a t, y = y₀ + b t. Partez du point, puis marchez le vecteur t fois. C'est l'image du trajet avec une horloge attachée, et c'est pourquoi les droites paramétriques apparaissent dès que la géométrie doit décrire un mouvement le long d'une droite, y compris les questions de géométrie dans l'espace au Bac, qui écrivent les droites en trois dimensions de la même façon.

Un cercle de rayon r centré à l'origine s'écrit x = r cos t, y = r sin t. Centre (h, k) : ajoutez ces constantes à chaque coordonnée. Le paramètre t est le cap, et c'est pourquoi cette forme et les coordonnées polaires continuent de partager sinus et cosinus. Le polaire est une adresse : à quelle distance, dans quelle direction. Le paramétrique est un horaire : à cet instant t, soyez ici.

Un projectile, dans les unités pieds et secondes que beaucoup de manuels utilisent encore, s'écrit x = (v cos θ) t, y = (v sin θ) t − 16 $t^{2}$ . Le mouvement horizontal est régulier ; le mouvement vertical subit la gravité. Éliminez t et le trajet est une parabole. Les questions intéressantes (quand atterrit-il, quelle est la vitesse au sommet) sont des questions sur t, et c'est pourquoi c'est la forme paramétrique avec laquelle vous calculez vraiment.

Pourquoi les concepteurs de sujets adorent les équations paramétriques

AP Calculus BC traite les courbes paramétriques comme un thème de barème standard, à côté du polaire et des séries, ce qui explique pourquoi le guide AP Calculus les range dans la couche réservée au BC. Les questions sont presque toujours les mêmes quelques gestes, et chacun est plus court si l'image de l'horloge est en place.

Pente : $\frac{dy}{dx}$ = ( $\frac{dy}{dt}$ ) / ( $\frac{dx}{dt}$ ), pourvu que $\frac{dx}{dt}$ ne soit pas nul. Ce n'est pas une nouvelle dérivée. Les deux coordonnées changent avec t, donc $\frac{dy}{dt}$ et $\frac{dx}{dt}$ sont des taux ordinaires contre l'horloge. La pente du trajet, c'est la vitesse à laquelle y change par unité de x, c'est-à-dire leur quotient. C'est la règle de la chaîne avec l'horloge qui se simplifie.

Tangente horizontale : $\frac{dy}{dt}$ = 0 tandis que $\frac{dx}{dt}$ ≠ 0. La hauteur a cessé de changer et la particule continue de se déplacer latéralement. Tangente verticale : $\frac{dx}{dt}$ = 0 tandis que $\frac{dy}{dt}$ ≠ 0. Les deux nuls à la fois, ce n'est pas une tangente. C'est une particule qui s'est arrêtée, et il faut regarder les t voisins pour voir si le trajet a un point de rebroussement ou seulement une pause.

La dérivée seconde suit le même schéma : $d^{2}$ y/ $dx^{2}$ = ( $\frac{d}{dt}$ de $\frac{dy}{dx}$ ) / ( $\frac{dx}{dt}$ ). Les élèves qui traitent cela comme une troisième formule à mémoriser se trompent de dénominateur. C'est l'idée du quotient appliquée à la fonction pente, qui est elle-même une fonction de t.

La longueur d'arc de t = a à t = b est l'intégrale de sqrt(( $\frac{dx}{dt}$ )² + ( $\frac{dy}{dt}$ )²) dt. Ce radical, c'est Pythagore sur le petit pas (dx, dy). La vitesse est l'intégrande ; la longueur d'arc est la vitesse accumulée, c'est pourquoi c'est une intégrale. Vous n'avez pas besoin d'une nouvelle idée géométrique. Vous avez besoin de la formule de distance appliquée à un point en mouvement.

Rien de tout cela ne remplace la fluidité avec les dérivées ordinaires. L'analyse paramétrique ne pardonne pas une règle de la chaîne fragile. Elle l'expose, parce que chaque pente, chaque point d'arrêt et chaque intégrande de longueur d'arc passe par $\frac{dx}{dt}$ et $\frac{dy}{dt}$ .

D'où viennent les erreurs

Les erreurs paramétriques se regroupent en trois endroits, et chacune est une erreur d'image.

La première consiste à traiter t comme s'il s'agissait de x. Croquer x = $t^{2}$ , y = t sur des axes étiquetés t et y, ou substituer t = 2 dans une seule coordonnée. Le couple est un point du plan. Tracez les deux, dans l'ordre (x(t), y(t)), et marquez quelques valeurs de t pour que le sens de parcours soit visible. Sans ces flèches, la photographie et le film se ressemblent, et la question suivante portera sur le film.

La deuxième est d'écrire $\frac{dy}{dx}$ = ( $\frac{dy}{dt}$ )/( $\frac{dx}{dt}$ ) à un t où numérateur et dénominateur s'annulent tous les deux, puis d'annoncer une tangente horizontale ou verticale d'après le 0 qui reste. À cet instant, la vitesse est le vecteur nul. La tangente, si elle existe, doit se lire sur le trajet, pas sur un 0/0. L'exemple standard est x = $t^{2}$ , y = $t^{3}$ en t = 0 : les deux dérivées sont nulles, la relation cartésienne est $y^{2} = x$ ³, et le trajet a un point de rebroussement.

La troisième est d'oublier l'intervalle de t. x = cos t, y = sin t avec t de 0 à π est un demi-cercle, pas un cercle. x = cos t, y = sin t avec t de 0 à 4π est le cercle parcouru deux fois. L'équation cartésienne est identique dans les trois cas. La question d'examen, en général, ne l'est pas.

La place de Math Zen

Les courbes paramétriques reposent sur les fonctions, la trigonométrie et la règle de la chaîne, et elles partagent un étage avec les vecteurs et les coordonnées polaires. Si t est encore « une autre lettre » plutôt qu'une horloge, pente et vitesse sembleront des formules sans lien. Les paniers paramétriques de Math Zen supposent que ces étages portent déjà la charge : le travail précoce fait lire (x(t), y(t)) et le sens de parcours, puis $\frac{dy}{dx}$ via les deux taux, puis la longueur d'arc, exactement le couple que AP Calculus BC demande vraiment.

De courtes séances mélangées battent un bachotage unique sur « le chapitre paramétrique ». L'image de l'horloge, les points d'arrêt 0/0 et l'intégrande de longueur d'arc ne deviennent automatiques que lorsqu'ils apparaissent à côté de dérivées y = f(x) ordinaires, dans l'esprit de la répétition espacée pour les maths. Le jour de l'examen BC, la récompense n'est pas une matière nouvelle. C'est de reconnaître que les questions de particule sont la dérivée que vous connaissez déjà, demandée à deux fonctions à la fois.

L'essentiel

Les équations paramétriques sont des équations cartésiennes munies d'une horloge. Un graphe de y en fonction de x est une photographie d'un ensemble de points. Le couple x(t), y(t) est un film d'un point qui parcourt cet ensemble : il connaît le point de départ, le cap, et la vitesse. Éliminer le paramètre, c'est jeter l'horloge et garder la photographie, utile pour la forme et inutile pour le mouvement. La pente est le quotient de deux taux ordinaires contre t. La longueur d'arc, c'est Pythagore accumulé le long du trajet.

Les graphes avec lesquels vous avez grandi sont toujours là. Les équations paramétriques ne les remplacent pas. Elles vous donnent un moyen de parler de courbes qu'une seule fonction y = f(x) ne peut pas être, et vous y recourez quand la question naturelle est où se trouve le point à l'instant t, pas seulement quels points il occupe un jour.