Matemáticas del Gaokao

1. Hay nueve aumentos entre el primer término y el décimo.

   $$a_{10}=3+9\cdot2=21$$

2. Empareja el primer término con el último. Su media es la media de los diez términos.

   $$\frac{a_1+a_{10}}{2}=\frac{3+21}{2}=12$$

3. Multiplica esa media por el número de términos.

   $$S_{10}=10\cdot12=120$$

Error común: No cuentes diez aumentos para hallar el décimo término. El primer término ya está incluido.

1. El producto escalar de dos vectores no nulos perpendiculares es cero.

   $$\mathbf a\cdot\mathbf b=0$$

2. Multiplica las coordenadas correspondientes y suma los productos.

   $$2x+3(-2)=0$$

3. Resuelve la ecuación lineal resultante.

   $$2x=6\quad\Rightarrow\quad x=3$$

Error común: El producto escalar es un solo número. No multipliques las coordenadas en diagonal.

1. Usa la regla del producto con la probabilidad condicional dada.

   $$P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$$

2. Sustituye las dos fracciones.

   $$P(A\cap B)=\frac34\cdot\frac23$$

3. Simplifica el resultado. No es necesario suponer que los sucesos son independientes.

   $$P(A\cap B)=\frac{6}{12}=\frac12$$

Error común: No sustituyas P(B dado A) por P(B). Estas probabilidades no tienen por qué ser iguales.

1. Compara la ecuación con la forma estándar para identificar el parámetro p.

   $$y^2=2px\quad\Rightarrow\quad p=4$$

2. La coordenada x del foco es p/2 y la directriz es la recta vertical x = -p/2.

   $$F=(2,0),\qquad x=-2$$

3. Resta las dos coordenadas horizontales para obtener la distancia.

   $$d=\lvert 2-(-2)\rvert=4$$

Error común: La distancia del vértice al foco es 2. Se pide la distancia completa del foco a la directriz.

1. Deriva y factoriza el resultado.

   $$\begin{aligned}f'(x)&=3x^2-3\\&=3(x-1)(x+1)\end{aligned}$$

2. La derivada es positiva cuando sus dos factores tienen el mismo signo.

   $$x<-1\quad\lor\quad x>1$$

3. Escribe los dos intervalos por separado. La derivada es negativa entre los puntos críticos.

   $$(-\infty,-1),\quad(1,\infty)$$

Error común: Una derivada positiva indica que la función crece, no que el valor de la función sea positivo.

1. Deriva con la regla del producto.

   $$f'(x)=e^{-x}(1-x)$$

2. El factor exponencial siempre es positivo. La derivada cambia de positiva a negativa en x = 1.

   $$f'(x)\begin{cases}>0&x<1\\=0&x=1\\<0&x>1\end{cases}$$

3. La función crece antes de 1 y decrece después. Sustituye 1 para obtener su valor máximo.

   $$\max_{x\in\mathbb R} f(x)=f(1)=\frac1e$$

Error común: El valor de x donde se alcanza el máximo es 1, pero el valor máximo de la función es 1/e.