Integración por partes: ejemplos para elegir u y comprobar respuestas

Considera $\int x e^{2x}\,dx$. La regla de la potencia no integra todo el producto, e integrar solo $e^{2x}$ deja atrás el factor $x$. La integración por partes da una dirección útil al producto: deriva la parte que se simplifica, integra la que sigue siendo manejable y resuelve después la integral más sencilla que queda.

Esta lección desarrolla ejemplos de integración por partes, desde un solo producto hasta usos repetidos e integrales con límites. Si quieres entender primero el significado de una integral, empieza por nuestra guía de integrales. La guía de derivadas también ayuda, porque derivar la respuesta será aquí la mejor comprobación.

De dónde sale la fórmula

La regla del producto dice $\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$. Integra ambos lados y pasa un término al otro lado. Así se obtiene la fórmula de integración por partes presentada en OpenStax Calculus, volumen 2:

$$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$$

Aquí $u$ es la expresión que decides derivar y $dv$ la que decides integrar. Después de hallar $du$ y $v$, la nueva integral $\int v\,du$ debería ser más fácil que la original. Si empeora, reconsidera la elección. La fórmula es una consecuencia algebraica de la regla del producto, no una receta que garantice que cualquier elección sirva.

En una integral indefinida, recuerda añadir la constante $C$ al final. La primitiva elegida para $v$ puede incorporar una constante, pero resulta más sencillo tomar una $v$ conveniente y añadir $C$ a la respuesta final.

Elige u y dv con un propósito

La pregunta útil es: «¿Qué factor se reduce al derivarlo?». Un polinomio como $x^2$ pasa a $2x$, luego a $2$ y finalmente a cero. Un logaritmo se convierte en $1/x$, que a menudo se combina bien con el resto. Las exponenciales, el seno y el coseno siguen siendo fáciles de integrar repetidamente.

La conocida regla mnemotécnica LIATE ordena los factores logarítmicos, trigonométricos inversos, algebraicos, trigonométricos y exponenciales como candidatos para $u$. OpenStax la presenta como una heurística, no como un teorema. Comprueba la integral resultante $\int v\,du$ en lugar de confiar en la primera letra que veas. Otra elección puede ser más corta y algunos productos se resuelven mejor por sustitución.

Por ejemplo, $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ contiene una función interior $x^2$ y su derivada $2x$. Toma $t=x^2$. Entonces $dt=2x\,dx$ y la integral es $\sin(x^2)+C$. Usar integración por partes convertiría una composición sencilla en trabajo innecesario. En cambio, $x e^{2x}$ no contiene esa coincidencia directa entre función interior y derivada, mientras que derivar $x$ lo elimina.

Antes de calcular, escribe una pequeña tabla de dos columnas: $u$ y $du$ a un lado; $dv$ y $v$ al otro. Después pregúntate si multiplicar $v$ por $du$ produce una integral más sencilla. Así evitas elegir como $u$ el factor fácil de integrar solo porque te resulta familiar.

Ejemplo 1: un factor lineal por una exponencial

Calcula $\int x e^{2x}\,dx$. Elige $u=x$, por lo que $du=dx$. Elige $dv=e^{2x}\,dx$ y obtén $v=\frac12e^{2x}$. El factor $\frac12$ importa: al derivar $e^{2x}$ aparece un dos adicional.

$$\begin{aligned} \int x e^{2x}\,dx &=x\left(\frac12e^{2x}\right)-\int\frac12e^{2x}\,dx\\ &=\frac{x e^{2x}}2-\frac{e^{2x}}4+C\\ &=\frac{e^{2x}}4(2x-1)+C. \end{aligned}$$

Deriva la respuesta factorizada. La regla del producto da $\frac14[2e^{2x}(2x-1)+2e^{2x}]$, que se simplifica a $x e^{2x}$. Recuperamos exactamente el integrando. Si la comprobación hubiese dado $2x e^{2x}$, el error probable sería haber omitido $\frac12$ al integrar $e^{2x}$.

La elección también tiene un final claro: derivar $x$ deja una constante, así que en la integral restante solo queda la exponencial. Eso significa «más sencilla» en este ejemplo.

Ejemplo 2: integra un logaritmo

Calcula $\int\ln x\,dx$ para $x>0$. No hay un producto escrito, pero puedes añadir un factor uno: $\ln x=1\cdot\ln x$. Elige $u=\ln x$ y $dv=dx$. Entonces $du=\frac1x\,dx$ y $v=x$.

$$\begin{aligned} \int\ln x\,dx &=x\ln x-\int x\frac1x\,dx\\ &=x\ln x-x+C. \end{aligned}$$

La comprobación es breve: $\frac{d}{dx}(x\ln x-x)=\ln x+1-1=\ln x$. El dominio $x>0$ nos permite escribir $\ln x$ y $1/x$ sin atravesar el cero. La primitiva más general $x\ln|x|-x+C$ funciona en intervalos que no incluyen cero, pero el problema planteado se queda en el lado positivo.

Si eligieras $u=1$ y $dv=\ln x\,dx$, necesitarías conocer la integral original para hallar $v$. Esta elección circular explica por qué aquí el logaritmo debe ser $u$.

Ejemplo 3: repite el método hasta que desaparezca el polinomio

Calcula $I=\int x^2\sin x\,dx$. Derivar $x^2$ reduce su grado e integrar el seno sigue siendo sencillo. Primero elige $u=x^2$ y $dv=\sin x\,dx$; así, $du=2x\,dx$ y $v=-\cos x$:

$$I=-x^2\cos x+2\int x\cos x\,dx.$$

La integral restante aún contiene un producto. Llama $J=\int x\cos x\,dx$ y vuelve a aplicar el método: $u=x$, $du=dx$, $dv=\cos x\,dx$ y $v=\sin x$. Entonces

$$J=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x.$$

Sustituye ese resultado en $I$:

$$\int x^2\sin x\,dx=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C.$$

Ahora deriva término a término. La derivada de $-x^2\cos x$ es $-2x\cos x+x^2\sin x$. La de $2x\sin x$ es $2\sin x+2x\cos x$; la de $2\cos x$ es $-2\sin x$. Todos los términos adicionales se cancelan y queda $x^2\sin x$. Esta cancelación comprueba tanto el signo al integrar el seno como el factor dos al derivar $x^2$.

Repetir la integración por partes es útil si cada aplicación reduce un factor. Si la nueva integral se parece a la original, quizá puedas resolverla reuniendo la integral original en un lado, pero no sigas aplicando la fórmula sin un final claro.

Ejemplo 4: conserva los límites de una integral definida

Evalúa $\int_0^1 x\ln(1+x)\,dx$. El factor $x$ es fácil de integrar, mientras que derivar $\ln(1+x)$ produce $1/(1+x)$. Elige $u=\ln(1+x)$ y $dv=x\,dx$. Entonces $du=\frac{1}{1+x}\,dx$ y $v=x^2/2$. La versión definida de la fórmula es $\int_a^b u\,dv=[uv]_a^b-\int_a^b v\,du$.

$$\begin{aligned} \int_0^1 x\ln(1+x)\,dx &=\left[\frac{x^2}{2}\ln(1+x)\right]_0^1 -\frac12\int_0^1\frac{x^2}{1+x}\,dx\\ &=\frac12\ln2-\frac12\int_0^1\left(x-1+\frac1{x+1}\right)dx. \end{aligned}$$

La división de polinomios da $x^2/(x+1)=x-1+1/(x+1)$. Su integral de cero a uno es $1/2-1+\ln2=\ln2-1/2$. Por tanto,

$$\int_0^1 x\ln(1+x)\,dx =\frac12\ln2-\frac12\left(\ln2-\frac12\right)=\frac14.$$

El resultado positivo es razonable porque $x\ln(1+x)$ no es negativo en $[0,1]$. Como comprobación algebraica independiente, una primitiva es $\frac{x^2-1}{2}\ln(1+x)-\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}$; evaluarla en uno y cero también da $1/4$. En las integrales definidas, mantén los mismos extremos en la nueva integral. El número final no lleva $+C$.

Tres problemas de práctica con soluciones

1. Un polinomio y una exponencial. Calcula $\int 3x e^x\,dx$.

Toma $u=3x$ y $dv=e^x\,dx$. Entonces $du=3\,dx$ y $v=e^x$, así que

$$\int 3x e^x\,dx=3x e^x-3\int e^x\,dx=3e^x(x-1)+C.$$

Deriva $3e^x(x-1)$: obtienes $3e^x(x-1)+3e^x=3xe^x$. El resultado coincide con el integrando original.

2. Un logaritmo con coeficiente. Calcula $\int x\ln x\,dx$ para $x>0$.

Elige $u=\ln x$ y $dv=x\,dx$. Entonces $du=dx/x$ y $v=x^2/2$:

$$\int x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac12\int x\,dx =\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C.$$

Al derivar obtienes $x\ln x+x/2-x/2=x\ln x$. Dejar visibles los dos términos $x/2$ facilita seguir la comprobación.

3. Una integral definida. Evalúa $\int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx$.

Toma $u=x$ y $dv=\cos x\,dx$, de modo que $du=dx$ y $v=\sin x$. Aplica los límites después del paso de integración por partes:

$$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx &=[x\sin x]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx\\ &=\frac\pi2-[-\cos x]_0^{\pi/2}\\ &=\frac\pi2-1. \end{aligned}$$

Tanto $x$ como $\cos x$ son no negativos en este intervalo, y $\pi/2-1$ es positivo. Derivar $x\sin x+\cos x$ da $x\cos x$, lo que comprueba la primitiva utilizada para evaluar los extremos.

Para practicar la elección de primitivas, entra en el tema de integrales de Math Zen. Como aplicación posterior de métodos de integración repetidos, consulta la guía de transformadas de Laplace.