Fracciones parciales: cuatro ejemplos resueltos y comprobados

Una función racional puede parecer más difícil de integrar de lo que resulta después de separarla. Por ejemplo, $(3x+1)/(x^2-x-2)$ puede transformarse en dos fracciones cuyas primitivas son logaritmos. La parte delicada consiste en elegir la forma correcta de la suma antes de calcular constantes. Si falta un término, resolver las ecuaciones posteriores no arreglará el planteamiento.

Trabajaremos cuatro casos originales: factores lineales distintos, un factor lineal repetido, un factor cuadrático irreducible y una fracción que primero requiere división. Cada caso termina reuniendo las fracciones para comprobar el resultado. OpenStax Calculus, volumen 2, §3.4 explica la condición de grados y los patrones de factores. Si necesitas antes la idea de integral, consulta nuestra guía de integrales. Aquí nos centraremos en el álgebra.

Compara los grados y factoriza el denominador

Escribe la función como $P(x)/Q(x)$. La descomposición empieza con una fracción propia: $\deg P<\deg Q$. Si no se cumple, divide $P$ entre $Q$, conserva el cociente polinómico y descompón la fracción propia del resto. No intentes ocultar el cociente dentro de las constantes.

Después factoriza $Q$ sobre los números reales. La factorización determina la plantilla antes de cualquier cálculo:

Factor del denominador	Términos necesarios
Lineal distinto $(x-a)$	$A/(x-a)$
Lineal repetido $(x-a)^m$	$A_1/(x-a)+A_2/(x-a)^2+\cdots+A_m/(x-a)^m$
Cuadrático irreducible $q(x)$	$(Bx+C)/q(x)$

La plantilla representa una identidad para todo $x$ permitido, no una igualdad en un punto cómodo. Tras eliminar denominadores, puedes hallar las constantes de dos maneras complementarias: sustituir raíces de factores lineales para anular términos, como en los ejemplos 1 y 2, o expandir ambos lados y comparar el coeficiente de cada potencia de $x$, como en el ejemplo 3. Sustituir una raíz suele dar una constante al instante, pero cuando queda un factor cuadrático rara vez sustituye toda la comparación. Revisa los coeficientes restantes aunque las sustituciones parezcan haber dado todos los valores. Así se detecta el término omitido en el ejemplo 2: la plantilla abreviada no puede cumplir simultáneamente todos los coeficientes. Es un defecto estructural, no una mala elección de sustitución. Si usas varios valores ordinarios, solo resuelves un sistema finito; todavía debes comprobar la identidad para todo $x$. La recombinación completa lo hace de una vez.

Un cuadrático irreducible no tiene factores lineales reales. Su numerador debe empezar siendo lineal aunque luego resulte $B=0$. Mantén también las exclusiones del dominio original: la igualdad entre fórmulas en su dominio común no define la función en un polo cancelado. Revisar los factores antes de calcular previene errores estructurales.

Ejemplo 1: dos factores lineales distintos

Descompón $F(x)=(3x+1)/[(x-2)(x+1)]$. Los grados son uno y dos, así que no hay que dividir. Escribe

$$\frac{3x+1}{(x-2)(x+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}.$$

Al multiplicar por el denominador común obtenemos la identidad polinómica $3x+1=A(x+1)+B(x-2)$. Los puntos $x=2,-1$ no pertenecen al dominio de la fracción original, pero sí pueden sustituirse en esta identidad polinómica. Con $x=2$ resulta $7=3A$ y $A=7/3$. Con $x=-1$ resulta $-2=-3B$ y $B=2/3$.

Reúne los términos en vez de detenerte en constantes plausibles:

$$\frac{7}{3(x-2)}+\frac{2}{3(x+1)} =\frac{7(x+1)+2(x-2)}{3(x-2)(x+1)} =\frac{9x+3}{3(x-2)(x+1)}=F(x).$$

La igualdad vale para $x\ne2,-1$. Probar un solo número sería menos sólido: dos expresiones incorrectas pueden coincidir allí. La coincidencia de todo el polinomio numerador sí comprueba el resultado.

Ejemplo 2: un factor repetido exige dos términos

Considera $G(x)=(2x+5)/[x(x+1)^2]$. El factor $(x+1)^2$ exige ambas potencias del denominador:

$$G(x)=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^2}.$$

Multiplicar por $x(x+1)^2$ da $2x+5=A(x+1)^2+Bx(x+1)+Cx$. Con $x=0$ sale $A=5$. Con $x=-1$, $3=-C$, luego $C=-3$. Comparando los coeficientes de $x^2$, $A+B=0$ y $B=-5$. El coeficiente lineal es una segunda comprobación: $2A+B+C=10-5-3=2$.

Al recombinar los tres numeradores,

$$5(x+1)^2-5x(x+1)-3x =5x^2+10x+5-5x^2-5x-3x=2x+5.$$

Por tanto, $G(x)=5/x-5/(x+1)-3/(x+1)^2$ para $x\ne0,-1$. Una plantilla deliberadamente equivocada sería $A/x+B/(x+1)^2$: omite la primera potencia del factor repetido. Su numerador combinado sería $A(x+1)^2+Bx$. El coeficiente de $x^2$ exige $A=0$, pero el término constante exige $A=5$. La contradicción señala el término ausente, no un sistema difícil. La plantilla completa lo resuelve.

Ejemplo 3: numerador lineal para un cuadrático irreducible

Sea $H(x)=(2x^2+3x+5)/[(x-1)(x^2+1)]$. Como $x^2+1$ no tiene raíces reales, lo mantenemos cuadrático:

$$H(x)=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}.$$

Eliminando denominadores: $2x^2+3x+5=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)$. Para $x=1$, $10=2A$ y $A=5$. Comparar coeficientes da $A+B=2$, así que $B=-3$, y $-B+C=3$, así que $C=0$. El término constante confirma $A-C=5$. Que $C$ resulte cero no justifica haber supuesto desde el inicio un numerador constante.

La recombinación es $5(x^2+1)-3x(x-1)=2x^2+3x+5$. Así, $H(x)=5/(x-1)-3x/(x^2+1)$ con $x\ne1$. Para integrar resulta cómodo: la derivada de $x^2+1$ es $2x$, y el segundo término se resuelve mediante una sustitución ajustando el coeficiente. Si el factor cuadrático fuese repetido, cada potencia requeriría su propio numerador lineal.

Ejemplo 4: divide primero una fracción impropia

En $J(x)=(x^2+4x+5)/(x^2-1)$ ambos polinomios tienen grado dos. La división, o restar una vez el denominador, produce

$$J(x)=1+\frac{4x+6}{x^2-1}=1+\frac{4x+6}{(x-1)(x+1)}.$$

Solo se descompone el resto. Plantea $4x+6=A(x+1)+B(x-1)$. En $x=1$, $10=2A$ y $A=5$. En $x=-1$, $2=-2B$ y $B=-1$. Por ello

$J(x)=1+\frac5{x-1}-\frac1{x+1},\qquad x\ne\pm1.$

Recombina toda la respuesta, incluido el uno. Las fracciones propias suman $[5(x+1)-(x-1)]/(x^2-1)=(4x+6)/(x^2-1)$. Al añadir uno, el numerador vuelve a ser $x^2-1+4x+6=x^2+4x+5$. Si olvidas el uno, la comprobación del resto saldrá bien, pero la fracción original no reaparecerá.

Integra un resultado y compruébalo derivando

Volvamos al ejemplo 3. En cualquiera de los intervalos separados por $x=1$, integra término a término:

$$\int H(x)\,dx =5\ln|x-1|-\frac32\ln(x^2+1)+C.$$

Su derivada es $5/(x-1)-(3/2)(2x)/(x^2+1)=5/(x-1)-3x/(x^2+1)=H(x)$. Las barras de valor absoluto son necesarias para $x-1$; $x^2+1$ siempre es positivo para $x$ real. La constante $C$ puede diferir entre intervalos desconectados. Derivar al final detecta errores de integración, como perder un factor dos, aunque la descomposición fuese correcta.

Si el integral también pide otra técnica, los ejemplos de integración por partes muestran cómo comprobar una primitiva de varios pasos. Las transformadas de Laplace ofrecen otro motivo para dominar el álgebra: la inversión suele comenzar separando una función racional. En Math Zen puedes practicar por separado la factorización y las derivadas antes de combinarlas en un integral largo.

Lista breve de comprobación

Ante otra función racional, compara grados, divide si hace falta, factoriza el denominador, incluye un término por cada potencia exigida, resuelve la identidad y reúne toda la expresión. Los cuatro casos usan plantillas distintas; la recombinación es el control común. Si falla, revisa primero la plantilla y después la aritmética. Un sistema resuelto no puede compensar un término omitido.

También ayuda observar un valor excluido. En el ejemplo 1, el término con denominador $x-2$ domina cerca de $x=2$; sin él no reproducirías el polo original. Un factor repetido puede producir una divergencia más fuerte que su primera potencia. Aun así, la recombinación algebraica es la prueba final: mirar cerca de un solo polo no detecta cualquier coeficiente equivocado.