¿Cómo elijo u en la integración por sustitución?

Busca una función interior cuya derivada también aparezca en el integrando, al menos salvo un factor constante. En 2x(x² + 1)^5 la función interior es x² + 1 y su derivada 2x está fuera, así que u = x² + 1 es la elección natural.

¿Y si la derivada aparece solo salvo una constante?

Un factor constante no es problema. Si u = x², entonces du = 2x dx, de modo que x dx = du/2 y el 1/2 pasa delante de la integral. Solo las constantes se pueden mover así; un factor x que falta no se arregla dividiendo.

¿Tengo que cambiar los límites en una integral definida?

O conviertes los límites a valores de u y no vuelves nunca a x, o hallas primero la primitiva en x y usas los límites originales. Mezclar ambas cosas, integrando nuevo con límites viejos, es el error más común.

¿Cómo compruebo un resultado obtenido por sustitución?

Deriva tu resultado con la regla de la cadena. Debes recuperar exactamente el integrando original. En una integral definida, una estimación numérica rápida también detecta un signo equivocado o un factor olvidado.

Integración por sustitución: ejemplos para elegir u y comprobar

Considera $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ . Ninguna regla básica integra directamente un producto así y, sin embargo, la respuesta es corta: $\sin(x^2)+C$ . Deriva $\sin(x^2)$ con la regla de la cadena y obtienes $\cos(x^2)\cdot2x$ , es decir, el integrando. La integración por sustitución es el método que encuentra este tipo de respuestas a propósito. Aplica la regla de la cadena al revés: localiza una función interior, llámala $u$ y deja que su derivada absorba el factor sobrante.

Esta guía resuelve seis ejemplos de sustitución, desde el caso sencillo hasta factores constantes, logaritmos, integrales definidas con nuevos límites y una sustitución que obliga a despejar $x$ . Si la regla de la cadena todavía te resulta insegura, calienta primero con nuestros ejemplos de la regla de la cadena; todas las comprobaciones de abajo dependen de ella.

La regla en una línea

OpenStax Calculus, volumen 1, §5.5 enuncia la sustitución para integrales indefinidas: si $u=g(x)$ y $F$ es una primitiva de $f$ , entonces

\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=F(g(x))+C.

En la práctica escribes $u=g(x)$ y $du=g'(x)\,dx$ , reescribes toda la integral en $u$ , integras y deshaces el cambio. La prueba de una buena elección es simple: tras reescribir, no puede quedar ninguna $x$ . Si queda alguna, despéjala en función de $u$ o elige otra $u$ .

Cómo elegir u

Busca una función metida dentro de otra: dentro de una potencia, bajo una raíz, en un exponente o dentro de una función trigonométrica o logarítmica. Después pregúntate si su derivada, quizá multiplicada por una constante, multiplica al resto.

Integrando	Función interior	Su derivada	¿Aparece?
$2x(x^2+1)^5$	$x^2+1$	$2x$	Sí
$xe^{x^2}$	$x^2$	$2x$	Salvo el factor 2
$\frac{\ln x}{x}$	$\ln x$	$\frac{1}{x}$	Sí
$e^{x^2}$	$x^2$	$2x$	No, la sustitución falla

La última fila importa. $\int e^{x^2}\,dx$ se parece a la segunda fila, pero sin el factor $x$ no hay nada que $du$ pueda absorber, y esa integral ni siquiera tiene primitiva elemental. La sustitución no es un truco que funcione siempre; funciona cuando la derivada está ahí.

Ejemplo 1: la derivada ya está presente

Calcula $\int 2x(x^2+1)^5\,dx$ . Sea $u=x^2+1$ , así que $du=2x\,dx$ . El factor $2x\,dx$ es exactamente $du$ :

\int 2x(x^2+1)^5\,dx=\int u^5\,du=\frac{u^6}{6}+C=\frac{(x^2+1)^6}{6}+C.

Comprobación: la derivada de $\frac{(x^2+1)^6}{6}$ es $(x^2+1)^5\cdot2x$ . También funcionaría desarrollar $(x^2+1)^5$ e integrar término a término, pero lleva mucho más tiempo y se presta a errores de cálculo.

Ejemplo 2: falta un factor constante

Calcula $\int xe^{x^2}\,dx$ . Con $u=x^2$ obtenemos $du=2x\,dx$ , pero el integrando solo tiene $x\,dx$ . Divide entre dos: $x\,dx=\frac{1}{2}\,du$ .

\int xe^{x^2}\,dx=\frac{1}{2}\int e^{u}\,du=\frac{1}{2}e^{x^2}+C.

Sacar $\frac{1}{2}$ fuera de la integral está permitido porque es una constante. No puedes hacer lo mismo con un factor variable que falta: $\int e^{x^2}\,dx$ no se rescata escribiendo $dx=\frac{du}{2x}$ , porque entonces queda $x$ dentro de la integral en $u$ .

Ejemplo 3: un logaritmo como función interior

Calcula $\int\frac{\ln x}{x}\,dx$ para $x>0$ . Sea $u=\ln x$ , así que $du=\frac{1}{x}\,dx$ :

\int\frac{\ln x}{x}\,dx=\int u\,du=\frac{u^2}{2}+C=\frac{(\ln x)^2}{2}+C.

Un resultado estándar relacionado sale de $\int\tan x\,dx=\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx$ . Sea $u=\cos x$ , así que $du=-\sin x\,dx$ y la integral queda $-\int\frac{du}{u}=-\ln\lvert\cos x\rvert+C$ . Ojo con el signo menos: viene de la derivada del coseno, y perderlo es el error habitual en este ejemplo.

Ejemplo 4: una integral definida con nuevos límites

Evalúa $\int_0^1 x(1+x^2)^3\,dx$ . Sea $u=1+x^2$ , así que $du=2x\,dx$ y $x\,dx=\frac{1}{2}\,du$ . Ahora convierte los límites: cuando $x=0$ , $u=1$ ; cuando $x=1$ , $u=2$ .

\int_0^1 x(1+x^2)^3\,dx=\frac{1}{2}\int_1^2 u^3\,du=\frac{1}{2}\left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2=\frac{1}{2}\cdot\frac{16-1}{4}=\frac{15}{8}.

Una vez que los límites están en $u$ , no hace falta deshacer el cambio. OpenStax da exactamente esta forma de la regla para integrales definidas: los límites pasan a ser $g(a)$ y $g(b)$ . El error clásico es usar el integrando nuevo con los límites viejos 0 y 1, que aquí daría $\frac{1}{8}$ , una respuesta que se equivoca en un factor de 15.

Comprobación de sentido común: el integrando sube de 0 en $x=0$ a 8 en $x=1$ , así que el área debería estar entre 0 y 8, y probablemente cerca del extremo bajo, porque la curva solo se vuelve empinada cerca del borde derecho. $\frac{15}{8}=1.875$ encaja.

Ejemplo 5: despejar la x que sobra

Calcula $\int x\sqrt{x+1}\,dx$ . Toma $u=x+1$ , así que $du=dx$ . Queda una $x$ fuera de la raíz. Despéjala de la sustitución: $x=u-1$ .

\int x\sqrt{x+1}\,dx=\int(u-1)u^{1/2}\,du=\int\left(u^{3/2}-u^{1/2}\right)du=\frac{2}{5}(x+1)^{5/2}-\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}+C.

Este despeje es legítimo porque $u=x+1$ se invierte con facilidad. Cuando una $x$ sobrante no se puede expresar limpiamente en $u$ , probablemente la sustitución no es la adecuada.

Ejemplo 6: cuando la sustitución no es la herramienta

Prueba con $\int xe^{x}\,dx$ . La candidata obvia $u=x$ no cambia nada, y $u=e^x$ deja $x=\ln u$ dentro, convirtiendo el problema en $\int\ln u\,du$ , que de todos modos necesita otro método. Este producto no tiene ninguna función interior acompañada de su derivada. Es un caso para la integración por partes, donde un factor se simplifica al derivarlo.

Un hábito útil: dedica como mucho un minuto a probar una o dos elecciones de $u$ . Si ninguna hace desaparecer la $x$ , cambia de herramienta en lugar de forzarla.

Errores que conviene evitar

Olvidar du. Escribir $u=x^2$ y sustituir solo la función interior deja $dx$ en una integral en $u$ . Cada $dx$ tiene que convertirse en un múltiplo de $du$ .
Dividir entre una variable. Solo los factores constantes pueden salir de la integral.
Límites viejos en una integral nueva. Convierte ambos límites o vuelve a $x$ antes de evaluar.
Dejar la respuesta en u. En una integral indefinida, deshaz el cambio para que la respuesta sea función de $x$ , y conserva el $+C$ .
Saltarse la comprobación. Derivar la respuesta lleva segundos y detecta casi todos los despistes con signos y constantes.

Ejercicios con solución

$\int 3x^2(x^3-4)^4\,dx$ . Sea $u=x^3-4$ . Solución: $\frac{(x^3-4)^5}{5}+C$ .
$\int\sin^2x\cos x\,dx$ . Sea $u=\sin x$ . Solución: $\frac{\sin^3x}{3}+C$ .
$\int e^{3x}\,dx$ . Sea $u=3x$ , así que $dx=\frac{1}{3}\,du$ . Solución: $\frac{e^{3x}}{3}+C$ .
$\int_1^{e}\frac{\ln x}{x}\,dx$ . Sea $u=\ln x$ , con límites 0 y 1. Solución: $\frac{1}{2}$ .

La sustitución es la primera técnica que conviene probar en casi cualquier integral; por eso nuestra guía de integrales la llama el caballo de batalla del tema. Nombra la función interior, comprueba que su derivada está presente, conviértelo todo, límites incluidos, y deriva el resultado antes de seguir.