Regla de la cadena: ejemplos de funciones compuestas paso a paso

Deriva $(2x+3)^5$. Si aplicas la regla habitual de la potencia como si entre paréntesis hubiera solo $x$, obtienes $5(2x+3)^4$. La forma parece correcta, pero falta un factor dos. La expresión del interior cambia el doble de rápido que $x$, y la derivada debe recoger ese cambio.

Para eso sirve la regla de la cadena. En esta lección resolveremos ejemplos originales, desde una sola función interior hasta tres capas anidadas. Si quieres repasar el significado general de una derivada, empieza por nuestra guía de derivadas. Aquí nos centraremos en reconocer las capas, derivarlas y comprobar el resultado.

Identifica las funciones interior y exterior

Una composición introduce la salida de una función en otra. En $y=(2x+3)^5$, calcula primero $2x+3$ y después eleva el resultado a la quinta potencia. Escribe $g(x)=2x+3$ para la función interior y $f(u)=u^5$ para la exterior. Entonces $y=f(g(x))$.

El orden de evaluación y el de derivación van en sentidos opuestos. Para evaluar, avanza de dentro hacia fuera. Para derivar, comienza con la operación exterior, conserva su entrada sin cambios y multiplica después por la derivada de esa entrada. OpenStax enuncia la regla así para composiciones derivables en su capítulo sobre la regla de la cadena:

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)$$

La derivada de la función exterior se evalúa en $g(x)$, no en $g'(x)$. La derivada interior es otro factor. Si alguna capa no es derivable en el punto correspondiente, la fórmula no se puede aplicar allí sin más.

Prueba a nombrar las capas antes de usar una regla. En $\sin(4x^2-1)$, la operación exterior es el seno y la expresión interior es $4x^2-1$. En $\sqrt{1+x^4}$, fuera está la raíz cuadrada y dentro $1+x^4$. En $x^2+3x$, la operación principal es una suma: deriva los términos por separado. No todos los paréntesis anuncian la regla de la cadena.

Si todavía no conoces la idea de introducir una función en otra, nuestro artículo sobre funciones compuestas explica cómo evaluarlas y cuál es su dominio antes de derivarlas. Empieza por el artículo sobre funciones si la notación de entradas y salidas aún no te resulta familiar.

Usa siempre los mismos cuatro pasos

El método no cambia aunque crezca la expresión:

1. Nombra la expresión inmediatamente interior. Para $h(x)=(3x^2-2)^4$, usa $u=3x^2-2$.
2. Deriva el exterior dejando $u$ en su sitio. Como fuera tienes $u^4$, su derivada es $4u^3$.
3. Deriva el interior. Aquí $du/dx=6x$.
4. Multiplica y recupera la expresión original. El resultado es $h'(x)=4(3x^2-2)^3(6x)=24x(3x^2-2)^3$.

No desarrolles la cuarta potencia salvo que otro cálculo lo requiera. La respuesta factorizada muestra de dónde procede cada parte: $4(3x^2-2)^3$ corresponde a la potencia exterior, mientras que $6x$ corresponde al polinomio cuadrático interior. Si desarrollas demasiado pronto, costará más detectar un factor ausente.

Con tres capas, repite la misma acción. Deriva la capa más exterior, multiplica por la derivada de la siguiente y luego por la de la más profunda. OpenStax desarrolla este uso repetido de la regla de la cadena en el mismo capítulo. No hay otra regla que memorizar.

Tres ejemplos completos resueltos

Una potencia de una expresión lineal. Vuelve a $p(x)=(2x+3)^5$. La derivada exterior es $5(2x+3)^4$ y la interior es $2$. Por tanto:

$$p'(x)=5(2x+3)^4(2)=10(2x+3)^4$$

Comprueba el resultado en $x=0$ sin fiarte solo de la respuesta simbólica. La función original cumple $p(0)=3^5=243$. Si desarrollas únicamente el término de primer orden de $(3+2x)^5$, obtienes $243+5(3^4)(2x)+\cdots=243+810x+\cdots$, así que la pendiente en cero es $810$. Nuestra derivada da $10(3)^4=810$. La versión sin el factor interior da $405$ y falla esta comprobación.

Una composición trigonométrica. Sea $q(x)=\sin(4x^2-1)$, con los ángulos en radianes. La derivada exterior del seno es el coseno evaluado en la misma entrada, y la derivada interior de $4x^2-1$ es $8x$:

$$q'(x)=\cos(4x^2-1)(8x)=8x\cos(4x^2-1)$$

En $x=0$, la derivada interior vale cero, así que $q'(0)=0$. Esto encaja con una comprobación local de simetría: $q(x)$ depende de $x^2$ y, por ello, tiene el mismo valor en $x$ y en $-x$. En $x=1$, la pendiente es $8\cos(3)$, no $\cos(8)$. El coseno recibe la expresión interior sin cambios, no su derivada.

Tres capas anidadas. Toma $r(x)=\left[\sin(2x^2+1)\right]^3$. Las capas, de fuera hacia dentro, son un cubo, el seno y $2x^2+1$. Deriva cada una en ese orden:

$$\begin{aligned} r'(x)&=3\left[\sin(2x^2+1)\right]^2 \cdot\cos(2x^2+1)\cdot 4x\\ &=12x\sin^2(2x^2+1)\cos(2x^2+1). \end{aligned}$$

Hay tres factores porque están enlazados tres cambios. El cubo aporta $3\sin^2(\cdot)$, el seno aporta el coseno y el polinomio cuadrático aporta $4x$. De nuevo, $r'(0)=0$, en consonancia con que $r(x)$ es una función par. Esto no demuestra toda la derivada, pero permite detectar pronto algunos errores algebraicos.

Decide cuándo necesitas otra regla

Busca primero la operación principal. En $a(x)=x(2x+3)^5$ se multiplican dos expresiones variables. Empieza con la regla del producto y después aplica la regla de la cadena al factor elevado a una potencia:

$$\begin{aligned} a'(x)&=1\cdot(2x+3)^5+x\cdot 5(2x+3)^4\cdot2\\ &=(2x+3)^5+10x(2x+3)^4\\ &=(2x+3)^4(12x+3). \end{aligned}$$

En cambio, $b(x)=(2x+3)^5$ no tiene ningún producto en el nivel principal, por lo que basta la regla de la cadena para obtener $10(2x+3)^4$. Las dos expresiones difieren en un factor $x$ situado fuera de la potencia, y ese factor cambia la regla que debes aplicar primero.

Un cociente puede ocultar la misma decisión. Para $c(x)=1/(2x+3)^2$, reescríbelo como $(2x+3)^{-2}$. La operación principal pasa a ser una potencia, así que:

$$c'(x)=-2(2x+3)^{-3}(2)=-\frac{4}{(2x+3)^3},\qquad x\ne-\frac32.$$

La regla del cociente también serviría, pero esta transformación deja clara la composición. Si tanto el numerador como el denominador dependen de $x$, usa la regla del cociente en el nivel principal y comprueba si cada parte requiere la regla de la cadena. OpenStax trata estas combinaciones en la misma sección.

Corrige tres respuestas erróneas frecuentes

Falta el factor interior. Para $(5x-1)^4$, la respuesta $4(5x-1)^3$ omite la derivada $5$. Escribe las dos piezas antes de multiplicar: $4(5x-1)^3\times5=20(5x-1)^3$.

Cambiar la entrada de la función exterior. Para $\cos(x^2+2)$, la respuesta $-\sin(2x)\cdot2x$ introduce la derivada interior en el seno. La derivada correcta es $-\sin(x^2+2)\cdot2x$. Deriva el exterior en el interior sin modificar y después añade la derivada interior como factor.

Perder los paréntesis. Para $(x^2+3)^3$, $3x^2+3^2(2x)$ no es la regla de la cadena. Toda la expresión interior permanece dentro de la potencia al cuadrado: $3(x^2+3)^2(2x)=6x(x^2+3)^2$. Mantén paréntesis grandes alrededor del interior hasta la última línea.

Una comprobación útil consiste en evaluar la función original y tu derivada en un punto sencillo. Un valor numérico no demuestra la derivada para todo $x$, pero una discrepancia puede descartar rápidamente una respuesta incorrecta que parecía convincente.

Tres ejercicios con soluciones completas

Intenta resolver cada uno antes de leer su solución. Marca las capas y escribe después un factor por capa.

1. Deriva $s(x)=(7-3x)^4$. La derivada exterior es $4(7-3x)^3$. La interior es $-3$, así que:

$$s'(x)=4(7-3x)^3(-3)=-12(7-3x)^3.$$

El signo negativo es una comprobación rápida: cerca de un punto donde $7-3x$ sea positivo, aumentar $x$ reduce esa cantidad interior y, por tanto, su cuarta potencia.

2. Deriva $t(x)=\cos(3x^2+x)$. El coseno exterior se convierte en seno negativo; el polinomio interior se convierte en $6x+1$:

$$t'(x)=-\sin(3x^2+x)(6x+1).$$

En $x=0$, el resultado es cero porque $\sin(0)=0$. No deduzcas que la derivada interior también vale cero allí: vale uno. Al mantener separados los dos factores puedes ver por qué se anula el producto.

3. Deriva $v(x)=(1+\sin x)^3$. La potencia exterior aporta $3(1+\sin x)^2$; la derivada interior es $\cos x$:

$$v'(x)=3(1+\sin x)^2\cos x.$$

El interior contiene un seno, pero la operación principal sigue siendo el cubo. Trabaja de fuera hacia dentro. En $x=0$, la derivada es $3(1)^2(1)=3$.

Cuando domines estos ejercicios, la práctica de derivadas de Math Zen incluye la regla de la cadena entre sus ejercicios de cálculo. Vuelve a un ejemplo que hayas fallado y explica qué factor faltaba antes de intentar el siguiente. Conserva este hábito: nombra la operación exterior, mantén su entrada y multiplica por la derivada de esa entrada.

Preguntas frecuentes

¿Es la regla de la cadena lo mismo que la regla de la potencia?

No. La regla de la potencia deriva $x^n$. La regla de la cadena permite aplicarla a una potencia de una expresión interior: la derivada de $[g(x)]^n$ es $n[g(x)]^{n-1}g'(x)$. Si $g(x)=x$, su derivada es uno y reaparece la regla habitual de la potencia.

¿Puedo usar la regla de la cadena con una raíz cuadrada?

Sí. Reescribe $\sqrt{1+x^4}$ como $(1+x^4)^{1/2}$. La derivada exterior es $\tfrac12(1+x^4)^{-1/2}$ y la interior es $4x^3$, lo que da $2x^3/\sqrt{1+x^4}$.

¿Por qué las funciones anidadas producen varios factores?

Cada capa responde al cambio de la que lleva dentro. En $[\sin(2x^2+1)]^3$, un cambio en $x$ modifica el polinomio cuadrático, este modifica el seno y el seno modifica el cubo. Los tres factores de la derivada describen esos tres cambios enlazados.