Funciones compuestas: orden, valores y dominio

Supón que un servicio de transporte cobra 3 dólares por kilómetro y después añade una tarifa fija de 5 dólares. Para un trayecto de 4 kilómetros, primero multiplicas 4 por 3 y luego sumas 5. Has pasado la salida de una regla por otra regla. Eso es composición de funciones.

La notación puede parecer más difícil que la operación. Si $g(x)=3x$ calcula el precio por distancia y $f(x)=x+5$ añade la tarifa, el total es $f(g(4))=f(12)=17$ dólares. La regla interior se ejecuta primero. No puedes sumar la tarifa a la distancia antes de multiplicar, salvo que así lo establezca el precio del servicio.

Lee el orden desde dentro hacia fuera

Una función compuesta coloca una función dentro de otra:

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))$$

Léelo como «$f$ después de $g$». Primero calcula $g(x)$. Después usa ese resultado como entrada de $f$. El círculo es el símbolo de composición, no una multiplicación. La sección de OpenStax sobre composición define la operación y deja claro el orden.

Toma $f(x)=2x+1$ y $g(x)=x^2-3$. Para formar $f(g(x))$, sustituye el espacio de entrada de $f$ por toda la expresión $x^2-3$:

$$f(g(x))=2(x^2-3)+1=2x^2-5$$

Cuando $x=4$, la regla interior da $g(4)=16-3=13$ y la exterior da $f(13)=27$. La expresión combinada coincide: $2(4)^2-5=27$. Comparar el cálculo en dos pasos con la expresión compuesta ayuda a detectar un paréntesis mal colocado.

La notación funcional permite ver dónde va la entrada. Si $f(t)=2t+1$, entonces $f(x^2-3)=2(x^2-3)+1$. La letra elegida para la entrada no cambia la regla. Nuestra guía de funciones explica las entradas, salidas y el dominio antes de encadenarlas.

Invierte el orden y compara

Con las mismas dos funciones, $g(f(x))$ empieza por $f$:

$$g(f(x))=(2x+1)^2-3=4x^2+4x-2$$

Cuando $x=4$, $f(4)=9$ y $g(9)=78$. No es el 27 obtenido con $f(g(4))$. Las dos composiciones son válidas, pero responden a preguntas distintas. Puedes anticipar la diferencia sin hacer álgebra: una cadena eleva al cuadrado antes de duplicar, mientras que la otra duplica y suma uno antes de elevar al cuadrado.

Que dos composiciones coincidan por casualidad en una entrada no las hace idénticas. Para establecer que son la misma función, compara sus reglas en el dominio común y comprueba que sus dominios coinciden. En los ejercicios normales, calcula y simplifica ambas expresiones. Recuerda que $f(g(x))$ no es $g(f(x))$ ni el producto $f(x)g(x)$.

Una anotación práctica es $x\xrightarrow{g}g(x)\xrightarrow{f}f(g(x))$. Escribe la primera flecha antes de sustituir nada. Ayuda sobre todo cuando la regla interior contiene fracciones, raíces o una tabla de valores.

Evalúa a partir de una tabla o una gráfica

No necesitas fórmulas para componer funciones. Supón que una tabla muestra:

$x$	1	2	3	4
$g(x)$	3	4	1	2
$f(x)$	8	6	9	7

Para $f(g(2))$, lee $g(2)=4$ en la primera fila. Ahora usa 4 como entrada de $f$: $f(4)=7$. El resultado es 7. En el orden inverso, $f(2)=6$, pero la tabla no indica el valor de $g(6)$. No puedes obtener $g(f(2))$ con esta tabla. Podría existir si la función completa estuviera definida en otra parte; los valores mostrados no permiten saberlo.

Una gráfica funciona igual. Para la entrada 2, busca primero la altura de la gráfica de $g$, por ejemplo 4. Vuelve a empezar en la entrada 4 de la gráfica de $f$ y lee su altura, por ejemplo 7. La primera altura se convierte en la segunda coordenada horizontal. No leas las dos alturas en $x=2$ para combinarlas. Si una de las gráficas no tiene punto en la entrada necesaria, la composición no está definida allí.

Distingue entre «no aparece en esta tabla parcial» y «queda fuera del dominio». Una tabla corta puede omitir un valor que sí existe. En una gráfica, un círculo abierto o un extremo indicado puede mostrar que un valor está excluido. Explica qué información tienes en lugar de inventar la salida que falta.

Comprueba el dominio antes de simplificar

El dominio de $f(g(x))$ tiene dos condiciones. Primero, $x$ debe pertenecer al dominio de $g$. Después, el resultado $g(x)$ debe ser una entrada válida para $f$. OpenStax formula la regla precisamente como esta entrega de salida a entrada.

No es necesario que toda la imagen de $g$ pertenezca al dominio de $f$ para que la composición exista en algunas entradas. Conserva solo las entradas donde funcionan las dos etapas. Por ejemplo, elevar al cuadrado admite todos los reales, mientras que una raíz cuadrada posterior solo admite resultados no negativos. Como los cuadrados no son negativos, esa combinación funciona para todos los reales. Si cambias la regla interior por una resta, el conjunto permitido puede reducirse. Comprueba la salida que realmente se entrega, no solo las fórmulas por separado.

Sean $g(x)=x-1$ y $f(t)=\sqrt{t}$, con salidas reales. La regla interior acepta cualquier número real, pero la raíz cuadrada exterior solo acepta entradas no negativas. Por tanto:

$$f(g(x))=\sqrt{x-1},\qquad x\geq1$$

Invierte el orden. Ahora $f(x)=\sqrt{x}$ se ejecuta primero y después $g$ resta uno:

$$g(f(x))=\sqrt{x}-1,\qquad x\geq0$$

Las expresiones y sus dominios son diferentes. En $x=0$, la segunda composición da $-1$, mientras que la primera no está definida en los reales. Es una comparación más concluyente que encontrar una sola entrada en la que cambian los valores.

Un denominador añade otra condición. Supón $g(x)=1/(x-2)$ y $f(t)=t+3$. Entonces $f(g(x))=1/(x-2)+3$, pero $x=2$ continúa prohibido porque allí la regla interior no está definida.

Cancelar factores nunca recupera una entrada que estaba prohibida. Sea $g(x)=(x^2-1)/(x-1)$, definida solo si $x\ne1$, y sea $f(t)=t^2$. Puedes simplificar $g(x)$ a $x+1$ en las entradas permitidas. La expresión compuesta parece $(x+1)^2$, pero su dominio sigue siendo $x\ne1$. En $x=1$, la función interior original exige dividir entre cero. Un polinomio que coincida en los demás puntos no puede rellenar ese hueco sin definir una función nueva.

Descompón una regla más larga en etapas

La composición también se puede leer hacia atrás para describir cómo se construyó una fórmula. Toma $h(x)=\sqrt{3x+2}$. Una elección es $g(x)=3x+2$ y después $f(t)=\sqrt{t}$. Así, $h=f\circ g$. Esta descomposición revela enseguida el dominio: exige $3x+2\geq0$, es decir, $x\geq-2/3$.

Puede haber más de una descomposición válida. Puedes dividir la regla lineal interior en «multiplicar por 3» y «sumar 2», y luego aplicar la raíz cuadrada como tercer paso. Lo importante es que el orden declarado reproduzca la regla original en cada entrada permitida.

Para una transformación gráfica, compara $f(x)=x^2$ con $f(x-2)=(x-2)^2$. El cambio está dentro de la entrada, así que la parábola se desplaza 2 unidades a la derecha. Con $f(x)+2=x^2+2$, la suma se efectúa después de $f$, por lo que la gráfica sube 2 unidades. Es composición en acción: «restar 2 antes de elevar al cuadrado» es distinto de «elevar al cuadrado y después sumar 2». Nuestra guía de álgebra ayuda si la sustitución todavía resulta difícil.

Practica tres comprobaciones diferentes

1. Dos órdenes. Sean $f(x)=x+4$ y $g(x)=2x$. Calcula ambas composiciones. Los resultados son $f(g(x))=2x+4$ y $g(f(x))=2x+8$. En $x=3$ dan 10 y 14. El orden cambia en qué momento se suma el 4.

2. Una condición del dominio. Sean $f(t)=1/t$ y $g(x)=x^2-9$. Entonces $f(g(x))=1/(x^2-9)$. Excluye $x=3$ y $x=-3$ porque ambas hacen cero el denominador exterior. El polinomio interior, por sí solo, acepta todos los reales.

3. Una consulta a la tabla. Con la tabla anterior, calcula $g(f(3))$. Primero, $f(3)=9$. La tabla no contiene $g(9)$, por lo que los datos proporcionados son insuficientes. Es una respuesta completa, no un cálculo fallido.

Después de cada ejercicio, di qué regla se ejecutó primero, qué valor produjo y si la siguiente regla acepta ese valor. Comprueba luego una entrada numérica frente al resultado algebraico. En la práctica de funciones de Math Zen, la composición aparece junto al dominio y el recorrido, para que puedas practicar la entrega entre reglas por separado.

Una función inversa es un caso especial en el que una regla deshace la otra en dominios adecuados. No necesitas inversas para evaluar composiciones corrientes. En esta guía basta con una secuencia fiable: salida interior, entrada exterior y después comprobación del dominio.