Entender las funciones inversas de forma intuitiva

Un taller cobra una tarifa de reserva de 8 dólares y después 5 dólares por cada hora que usas una mesa de trabajo. Tres horas cuestan 23 dólares. Si el recibo marca 23 dólares, ¿cuántas horas reservaste?

Para calcular el precio, multiplica las horas por 5 y suma 8. Para volver atrás, resta 8 al importe del recibo y divide entre 5. Esa regla que va hacia atrás es una función inversa. Responde a otra pregunta usando la misma relación.

El álgebra suele ser sencilla. Lo que exige atención es si la regla inversa da una sola respuesta y qué números puede aceptar.

Deshaz primero el último paso

En el caso del taller, escribe el coste así:

$$f(x) = 5x + 8$$

La inversa debe quitar la tarifa de reserva antes de deshacer el cobro por hora:

$$f^{-1}(x) = \frac{x-8}{5}$$

Comprueba el recibo: $f^{-1}(23) = (23-8)/5 = 3$. Si dividieras entre 5 primero, repartirías la tarifa de reserva entre el cobro por hora y obtendrías una respuesta incorrecta.

La entrada de $f$ son horas; la entrada de $f^{-1}$ son dólares. Que se use la letra $x$ en ambas no significa que represente la misma cantidad. Es un marcador para lo que acepta cada función.

En este modelo, las horas negativas no tienen sentido. El dominio original es $x \geq 0$ y su rango es $f(x) \geq 8$. Por tanto, la inversa acepta costes de al menos 8 dólares. El álgebra te dejaría sustituir 3 dólares, pero las horas negativas resultantes quedan fuera del modelo.

Función inversa y recíproco son operaciones distintas

El superíndice de $f^{-1}$ se parece a una potencia negativa. En la notación de funciones, designa la inversa. No te indica que dividas 1 entre $f(x)$.

Para la misma regla del taller:

$$f^{-1}(x)=\frac{x-8}{5}, \qquad \frac{1}{f(x)}=\frac{1}{5x+8}$$

La primera expresión recupera las horas a partir del coste. La segunda es el recíproco del coste, una cantidad distinta con otro propósito. La sección de OpenStax sobre funciones inversas explica explícitamente esta diferencia de notación.

También puedes llamar $g$ a la inversa. Escribir $g(f(x))=x$ expresa justo lo necesario sin el superíndice: aplica la regla del coste y después recupera las horas originales.

Halla la inversa con álgebra

El procedimiento habitual consiste en escribir $y=f(x)$, intercambiar $x$ e $y$ y despejar $y$. El intercambio refleja el cambio de papeles: la antigua salida se convierte en la nueva entrada.

Veamos otro ejemplo:

$$y = \frac{2x-7}{3}$$

Intercambia las variables:

$$x = \frac{2y-7}{3}$$

Multiplica por 3, suma 7 y divide entre 2:

$$3x = 2y-7$$ $$3x+7 = 2y$$ $$y = \frac{3x+7}{2}$$

Así, la inversa es $f^{-1}(x)=(3x+7)/2$. Cada paso deshace una operación de la regla original, empezando por la división final entre 3.

Las notas de matemáticas de Paul presentan el mismo procedimiento general y ejemplos resueltos con raíces y funciones racionales. Sea cual sea la expresión, ten presentes las entradas excluidas mientras la transformas. Multiplicar por un denominador no convierte en válido un valor prohibido.

Comprueba los dos sentidos

Probar un número puede revelar un error de cálculo, pero no demuestra que dos reglas se deshagan para todos los valores. Usa la composición en los dominios indicados.

En el ejemplo anterior, introduce la regla original en la inversa:

$$f^{-1}(f(x)) = \frac{3\left(\frac{2x-7}{3}\right)+7}{2} = \frac{2x-7+7}{2}=x$$

Después introduce la inversa en la regla original:

$$f(f^{-1}(x)) = \frac{2\left(\frac{3x+7}{2}\right)-7}{3} = \frac{3x+7-7}{3}=x$$

Aquí ambos dominios son todos los números reales. Si trabajas con una raíz, un logaritmo o una fracción, escribe el dominio junto a la comprobación. Una expresión simplificada puede ocultar una restricción que existía antes de cancelar términos.

Si la composición aún te resulta poco familiar, empieza por nuestra guía de funciones: la salida de la regla interior pasa a ser la entrada de la exterior. Lee los paréntesis de dentro hacia fuera.

Por qué una cuadrática necesita restringir el dominio

Supongamos que $f(x)=(x-2)^2$. Tanto $f(1)$ como $f(3)$ valen 1. Si alguien te da la salida 1, la regla por sí sola no permite saber qué entrada utilizó.

Esta función no es inyectiva en todos los números reales. La relación inversa daría dos respuestas para la mayoría de las entradas, así que no sería una función.

Elige la rama derecha restringiendo el dominio original a $x \geq 2$. Ahora el cálculo inverso no tiene ambigüedad:

$$y=(x-2)^2, \qquad x \geq 2$$

Como $x-2$ es no negativo, al tomar la raíz cuadrada principal obtienes $\sqrt{y}=x-2$. Intercambia los nombres de las variables para escribir:

$$f^{-1}(x)=2+\sqrt{x}, \qquad x \geq 0$$

La inversa acepta números no negativos y devuelve números mayores o iguales que 2. Comprueba $f^{-1}(9)=5$ y después $f(5)=9$.

Si, en cambio, restringes el dominio original a $x \leq 2$, la inversa es $2-\sqrt{x}$. Son inversas de dos funciones distintas con dominios restringidos. No añadas un signo más o menos y llames al resultado una única función inversa.

La misma diferencia importa en las ecuaciones cuadráticas: una ecuación puede tener dos soluciones, mientras que una función debe asignar una sola salida a cada entrada permitida.

Lee la inversa en una gráfica

Si $f(4)=9$, la gráfica original contiene $(4,9)$ y la de su inversa contiene $(9,4)$. Intercambiar las coordenadas refleja los puntos respecto de la diagonal $y=x$.

Esto también explica la prueba de la recta horizontal. Si una recta horizontal corta dos veces la gráfica original, una salida corresponde a dos entradas. Al intercambiar las coordenadas, esos dos puntos quedarían sobre una recta vertical y una entrada tendría dos salidas.

Pruébalo con la parábola anterior. Una recta horizontal a la altura 1 la corta en $x=1$ y $x=3$. Quita la rama izquierda y solo quedará un corte. La gráfica ya contiene suficiente información para volver atrás.

El dominio de la inversa es el rango original, así que empieza por observar las alturas que alcanza la gráfica original. Si sus salidas están solo por encima de cierta altura, su inversa no puede aceptar números inferiores a ella.

Tres ejercicios breves

Una regla lineal: halla la inversa de $f(x)=7-2x$. Resta el valor a 7 y divide entre 2: $f^{-1}(x)=(7-x)/2$. En este caso, la inversa tiene una expresión diferente de la original. Comprueba $f(2)=3$ y $f^{-1}(3)=2$.

Un cubo: halla la inversa de $g(x)=x^3+6$. Elevar al cubo permite distinguir entradas negativas y positivas, así que no hace falta restringir la rama. La inversa es $g^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-6}$ para cualquier entrada real.

Un cuadrado: halla la inversa de $h(x)=x^2+6$ en $x \geq 0$. Es $h^{-1}(x)=\sqrt{x-6}$, con dominio $x \geq 6$. Si olvidas esta última condición, la respuesta queda incompleta.

Escribe el dominio antes de comprobar cada respuesta. Después verifica un recorrido numérico de ida y vuelta y las dos composiciones algebraicas. Así puedes hacer una sesión breve y eficaz en Math Zen: usa los ejercicios de funciones para practicar juntas la regla directa, la inversa y sus restricciones.

La misma idea conecta las funciones exponenciales con los logaritmos. Una exponencial toma un exponente y produce un número; su logaritmo recupera ese exponente. Cuando sabes qué representa la entrada y qué salidas son posibles, puedes razonar cómo funciona la inversa.