蒙提霍尔问题：为什么换门能让胜率翻倍

1990 年，一位读者向 Marilyn vos Savant 的杂志专栏提了一个关于电视游戏节目的简短问题。她的回答是应该换门，结果招来了大约一万封抗议信，其中近一千封由博士署名，许多人坚称一个专栏作家没有资格把基础概率搞错。她没有错，错的是他们。

这正是蒙提霍尔问题（也常被称为三门问题）值得你花时间的原因。它不是脑筋急转弯，也不靠规则里的小字。它是一个完全公平的谜题，设定三行就能讲完，却能稳定地击败聪明人的直觉，包括职业数学家，直到他们看见自己漏掉的那一处不对称。一旦看见，答案就不再显得悖论，而开始显得必然。

游戏规则

这个谜题以电视游戏节目 Let's Make a Deal 为原型，节目最初的主持人 Monty Hall（蒙提·霍尔）给了它名字。设定如下：

有三扇关闭的门。一扇后面是汽车，另外两扇后面是山羊。汽车是随机放置的，所以在一切开始之前，每扇门藏车的概率都是 1/3。

你选一扇门，比如 1 号门。它保持关闭。

主持人清楚地知道汽车在哪，他会打开你没选的两扇门中的一扇，而且他打开的永远是有山羊的门。假设他打开了 3 号门，一只山羊回望着你。

现在还剩两扇门关着：你的 1 号门和没被动过的 2 号门。主持人给你一个选择。坚持 1 号门，或者换到 2 号门。

几乎所有人的直觉都一样：两扇门，一辆车，50/50，换不换无所谓。直觉错了。坚持原门的胜率是 1/3，换门的胜率是 2/3。换门实实在在地让你的机会翻倍，而整个谜题就在于弄明白多出来的概率从哪里来。

证明不过是数数

看清答案最干净的办法，是注意到整场游戏由一个事件决定：你的第一次选择对不对。

这就是完整的证明。坚持原门，是赌你盲选的第一下选对了，一个 1/3 的事件。换门，是赌它选错了，一个 2/3 的事件。只有这两个选项，而它们相差悬殊。

如果你更愿意把每种情形摆开来看，就固定你选的是 1 号门，让汽车的位置变化。汽车在 1 号门后：主持人打开 2 号或 3 号门，坚持获胜，换门失败。汽车在 2 号门后：主持人必须打开 3 号门，坚持失败，换门获胜。汽车在 3 号门后：主持人必须打开 2 号门，坚持失败，换门获胜。三个等可能的世界，换门在其中两个获胜。这份清点就是证明。

多出来的概率从哪里来

50/50 的直觉来自一条平时很好用的经验法则：两个未知，没有理由偏向哪一个，那就平分概率。法则本身没问题。错在以为两扇关着的门是对称的。它们不是，因为它们的经历截然不同。

你的门是你在任何信息出现之前盲选的。之后发生的一切都与你的门无关：无论它后面是不是汽车，主持人都不被允许碰它。所以关于你的门，从头到尾没有产生任何信息，它的概率停在原地，还是 1/3。

另一扇关着的门经受住了某种考验。主持人看了看你没选的那两扇门，其中至少有一扇是山羊，然后有意从这一对里剔除了一只山羊。他留下不开的那扇门，要么是随机的陪衬（在你选对的那 1/3 的世界里），要么就是汽车本身（在你选错的那 2/3 的世界里）。他的选择被真相约束着，而约束会泄露信息。这一对门最初拥有的全部 2/3 概率，塌缩到了它唯一的幸存者身上。

给仍不信服者的 100 扇门版本

如果三扇门的论证仍让你觉得抓不牢，就把它放大。规则不变，100 扇门，一辆汽车，99 只山羊。你选了 1 号门。主持人知道汽车在哪，打开了其余门中的 98 扇，每一扇都是山羊，只留下另外一扇门关着。坚持还是换？

你的第一次选择 100 次里只有 1 次是对的。在其余 99 种情形里，汽车藏在你没选的门中间，而主持人的 98 次开门都被迫绕开了它：除了汽车，他把一切都打开了。他留下的那扇门不是随机的幸存者。100 次里有 99 次，那正是汽车必须待的地方。

在 100 扇门的游戏里没有人会坚持原门。但三扇门的游戏就是同一个游戏。主持人开门同样被迫绕开了汽车，只是可看的过程少了一些。如果换门在 100 扇门时显然正确，那么举证责任就落在声称三扇门有所不同的人身上，而上面的逐情形清点表明并没有不同。

让答案变得诚实的细则

接下来是通俗转述通常略过的部分，而它正是知道答案与理解答案的分界线。2/3 这个结果取决于主持人的行为方式，而不只取决于你看到了什么。

标准规则假设主持人总会开一扇门、开的总是山羊门、并且总会提供换门的机会。改变这些规则，答案就会改变。经典的变体有时被称为 Monty Fall（失足蒙提）：主持人脚下一滑，完全随机地打开了你没选的两扇门之一，碰巧露出的是山羊。同样的门，同样的山羊，你眼前是一模一样的画面。但此时换门的胜率只有 1/2。

差别出在哪里？在标准游戏里，主持人在每一个世界里都会亮出山羊，所以这次开门完全没有告诉你你的选择对不对，你的门停留在 1/3。在 Monty Fall 里，随机行事的主持人有时会不小心把汽车亮出来。于是看到山羊本身就成了证据，而且是支持你原来那个选择的证据，因为在你选对的世界里，绝不可能出现汽车被亮出来的情形。把数字算一遍，两扇关着的门确实各自到了 1/2。

亲手试一次，每个人都该试一次

蒙提霍尔问题有一样极大的仁慈：验证它非常便宜。拿三个杯子和一枚硬币，请一位朋友当主持人；或者用几行代码自己模拟；或者在纸上用一枚骰子来放置汽车。先玩三十局永远坚持，再玩三十局永远换门。

结果有一种论证给不了的奇特说服力。坚持者的胜率会收敛到大约三分之一，换门者收敛到大约三分之二，玩得足够多之后，这个规律不再像悖论，而开始像上面第 1 步的显然推论：你的第一次盲选通常是错的，而换门兑现的正是这一点。在大量试验上计算出的平均值，本来也是概率陈述获得意义的地方，这一点在直观理解统计中有展开。

历史上，这场争论也正是这样平息的。vos Savant 风波之后，全国各地的课堂做起了这个实验，模拟把 2/3 验证到了人们愿意跑的任意多位小数。许多写过愤怒来信的数学家，又写了第二封语气羞赧得多的信。

禅意

蒙提霍尔问题经久不衰，因为它是概率如何真正运作、人类直觉如何真正失灵的完美缩影。它击败的那种直觉，对两扇关着的门保持对称的无知，本是一种好直觉。它只是无法在一段不对称的历史面前存活，而谜题把这种不对称藏在明处：一扇门被你的选择保护着，另一扇门是由一个知道答案的人挑出来的。

注意是什么解开了困惑。不是公式，也不是权威。是数数。三个等可能的世界，对每个世界里发生的事做一次诚实的清点，以及愿意相信清点而不是感觉。这个动作，枚举所有可能并逐一清点，几乎就是概率的全部，而且它学得会。

下一次当两个选项看起来显然是 50/50 时，值得问一句蒙提霍尔式的问题：这两种可能是以同样的方式走到这里的吗？有时是的，那么这枚硬币是真的。而有时，其中一个是被一个知道内情的过程留下来的，赔率早已安静而决定性地倾斜。

门不会记得。过程会。