自然常数 e 是什么？为什么约等于 2.718（欧拉数详解）

在计算器里输入"e 的 1 次方"，它会回答 2.718281828。这个数就是自然常数 e，也常被叫作欧拉数，它是数学各个分支迟早都会遇到的少数几个常数之一：复利、人口增长、放射性衰变、概率，以及整个微积分。

本指南先给出简短的答案，再说明这个值从哪里来、两种计算方法，以及微积分为什么把 e 当作指数的"自然"底数。如果你对指数本身还不踏实，可以先读直观理解指数，再回到这里。

简短回答：e 是什么，以及常用取值

e 的值约为 2.71828。多写几位，是 2.718281828459045...，因为 e 是无理数，小数既不终止也不循环（MathWorld）。它是自然对数的底，也是自然指数函数 $e^{x}$ 的底。你也会看到它被称为纳皮尔常数（Napier's constant），得名于约翰·纳皮尔（Wikipedia）。

大多数关于 e 的搜索，其实只是想要少数几个值。下面是精确到六位或更多有效数字的结果：

表达式	数值	原因
$e^{1}$	2.718282	任何数的一次方都是它本身
$e^{0}$	1	任何非零数的 0 次方都是 1
$e^{-1}$	0.367879	等于 $1/e$
$e^{2}$	7.389056	$e \times e$
$e^{1/2}$	1.648721	等于 $\sqrt{e}$
$\ln e$	1	自然对数是 $e^{x}$ 的逆运算

所以 e 的 1 次方就是 e 本身，约 2.71828。一次方并没有什么特别之处，特别的是这个底数本身。

e 从哪里来：复利

雅各布·伯努利在 1683 年研究连续复利时遇到了这个数，并证明它一定介于 2 和 3 之间（MacTutor）。他的问题很容易叙述。

把 1 美元存入年利率 100% 的账户。如果只在年底付一次利息，你有 2 美元。现在把同样的 100% 拆成 n 次更小的支付，每次增加余额的 $1/n$，并且让每次支付的利息也在之前的基础上继续生息。一年后你有

$$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}$$

美元。复利越频繁，得到的越多，但不是没有上限：

复利频率	n	一年后的余额
每年一次	1	2.000000
每年两次	2	2.250000
每季度	4	2.441406
每月	12	2.613035
每天	365	2.714567
每小时	8,760	2.718127
连续	n 无限增大	2.718282 = e

从按月改成按天，多出约 10 美分；从按天改成按小时，多出不到半美分。余额朝着一个永远越不过的上限慢慢爬升，这个上限就是 e。OpenStax 微积分教材正是这样定义它的：当 m 增大时，$\left(1 + 1/m\right)^{m}$ 趋近一个数，这个数就叫作 e（OpenStax Calculus Volume 1, section 1.5）。对于利率 r、期限 t 年，同样的想法给出连续增长公式 $A = Pe^{rt}$。

两种相互一致的定义，以及各自逼近的速度

通向同一个数的还有第二条路：把每个阶乘的倒数加起来。

$$e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$$

MathWorld 把这两种形式都列为 e 的定义，欧拉也在 1748 年的《无穷小分析引论》（Introductio in analysin infinitorum）中把它们并排给出，并在那里把 e 算到了小数点后 18 位（MacTutor）。它们得到同一个数，但速度差别很大。下面是直接算出的收敛竞赛，目标是 2.71828，即 e 的前五位小数：

收敛竞赛：极限 vs 级数

极限 $\left(1 + 1/n\right)^{n}$	数值	级数，所用项数	部分和
n = 1	2.000000	2 项（到 1/1!）	2.000000
n = 10	2.593742	4 项（到 1/3!）	2.666667
n = 100	2.704814	6 项（到 1/5!）	2.716667
n = 1,000	2.716924	8 项（到 1/7!）	2.718254
n = 100,000	2.718268	9 项（到 1/8!）	2.718279
n = 1,000,000	2.718280	10 项（到 1/9!）	2.718282

级数用 10 项就锁定了 2.71828。极限则要等到 n 约为 743,000 才第一次显示 2.71828，即使取到一百万步，小数点后第六位仍然不对。原因在于误差的大小。每多一个阶乘项都比上一项小得多，所以级数的误差缩小得比任何幂函数都快；而极限的误差大致按 $e/(2n)$ 缩小，步数增加十倍，只多得到大约一位正确数字。

实际的结论是：极限解释了 e 为什么存在（它是复利增长的上限），而级数才是你实际计算 e 的方法。

为什么微积分偏爱 e

底数 $b > 0$ 的任何指数函数 $b^{x}$，都是一条越走越陡地上升（或下降）的曲线。它在任意一点的斜率都与该点的高度成正比。对大多数底数，这个比例常数是个不太方便的数：$2^{x}$ 的斜率约为高度的 0.693 倍，$3^{x}$ 约为 1.099 倍。

恰好有一个底数让这个常数等于 1，于是每一点的斜率都等于高度。这个底数就是 e。OpenStax 在导数一章里就是这样定义 e 的：它是唯一使指数函数在 $x = 0$ 处斜率为 1 的底数，由此得到

$$\frac{d}{dx}\, e^{x} = e^{x}$$

（OpenStax Calculus Volume 1, section 3.9）。一个函数的导数就是它自己，处理增长问题的微积分就几乎不费力：对 $e^{x}$ 求导，什么都不变；对它积分，也什么都不变。如果把导数看作斜率这个想法对你还很新，可以读从零理解导数。

自然对数记作 ln，是 $e^{x}$ 的反函数：$\ln(e^{x}) = x$，并且当 $x > 0$ 时 $e^{\ln x} = x$。它的导数同样简洁，$\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$。这就是科学家把以 e 为底称作"自然"的原因：这个底数让公式最短。我们的直观理解对数一文把 ln 与以 10、以 2 为底的对数放在一起讲。

上一节的级数也不是巧合。$e^{x}$ 的麦克劳林级数是 $\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}/n!$（OpenStax Calculus Volume 2, section 6.3）；令 $x = 1$，就得到 e 的阶乘和。

欧拉数、欧拉常数与欧拉恒等式的区别

欧拉的名字挂在太多结果上，所以搜索时有三样不同的东西常被混在一起：

名称	符号与数值	它是什么
欧拉数	e ≈ 2.71828	自然对数的底；即上文的极限与级数
欧拉常数（欧拉-马歇罗尼常数）	γ ≈ 0.57722	n 增大时 $1 + \tfrac{1}{2} + \cdots + \tfrac{1}{n} - \ln n$ 的极限
欧拉恒等式	$e^{i\pi} + 1 = 0$	联系 e、i、π、1 和 0 的等式

人们对它们的了解程度也不同。e 已被证明是无理数，并且夏尔·埃尔米特在 1873 年证明了它是超越数（MathWorld）。而对于 γ，至今连它是否为无理数都不知道（MathWorld, Euler-Mascheroni constant）。至于欧拉恒等式，它根本不是一个数，而是关于 e 的虚数次幂的一个陈述；我们对欧拉恒等式的讲解说明了为什么 $e^{i\pi}$ 会落在 -1 上。

关于 e 的常见错误

把 e 当成变量。 在 $e^{x}$ 中，变化的是 x，e 不变。解 $e^{x} = 5$ 就要对两边取 ln：$x = \ln 5 \approx 1.609$。

过早四舍五入。 在 $e^{3}$ 中用 2.7 代替 e，得到 19.683，而不是 20.0855。直到最后一步之前，都请使用计算器里的 e。

把 $e^{-1}$ 和 $-e$ 混为一谈。 负指数表示倒数：$e^{-1} = 1/e \approx 0.3679$，是正数。$-e \approx -2.718$ 是另一个数。

搞混 ln 和 log。 在大多数计算器上，"log"表示以 10 为底，"ln"表示以 e 为底。$\ln e = 1$，但 $\log e \approx 0.4343$。

用 e 练一练

先自己做，再核对答案：

1. 不用计算器，$e^{0}$、$e^{1}$ 和 $\ln 1$ 分别是多少？
2. 化简 $e^{2} \cdot e^{3}$ 和 $\ln\left(e^{7}\right)$。
3. 解 $e^{x} = 1$。

答案：1、e 和 0；$e^{5}$ 和 7；$x = 0$。

Math Zen 的对数练习会反复训练 ln 与换底，函数练习则包含指数函数，让你一道题一道题地把这些规则变成习惯。

常见问题

e 是有理数吗？

不是。e 是无理数，小数既不终止也不循环。埃尔米特在 1873 年证明它还是超越数：它不是任何非零有理系数多项式的根。

为什么叫 e？

莱昂哈德·欧拉在 1731 年写给哥德巴赫的信中用了这个字母，并在 1736 年的出版物中使用。没有人确切知道他为什么选 e；他取自己姓名首字母的说法，并没有得到历史学家的证实。

e^2 是多少？

约 7.389。它是 e 乘以它自己，即 $2.71828 \times 2.71828$。

e 的 0 次方是多少？

恰好是 1，和任何非零数的 0 次方一样。