直观理解斜率：变化量之比、斜率公式与 y = mx + b

山路旁立着一块写着“坡度8%”的标志牌。这个数字描述的是前方的道路：每前进100英尺的水平距离，道路就会上升或下降8英尺，具体取决于你朝哪个方向行驶。把这段距离缩小到1英尺，变化量就是0.08英尺。

这个0.08就是斜率。它衡量的是一个量（高度）在另一个量（水平距离）每变化一个单位时会变化多少。在图像上，这两个量是 $y$ 和 $x$，问题也一样：当 $x$ 向右移动一步时，$y$ 会移动多少，朝哪个方向？

变化量之比、斜率公式、$y = mx + b$ 和点斜式，是写下这同一个答案的四种方式。

斜率是变化率，不是形状

斜率看起来像是一种倾斜的样子，但它其实是一个数，而且这个数是一个变化率。

最经典的定义是变化量之比。在直线上的两点之间，纵坐标之差是竖直方向的变化（即 $y$ 的变化），横坐标之差是水平方向的变化（即 $x$ 的变化）：

$$\text{斜率} = \frac{\text{纵坐标之差}}{\text{横坐标之差}}$$

除以横坐标之差，就把一个总的变化量变成了每一步的变化量：纵坐标之差为6、横坐标之差为3，与纵坐标之差为2、横坐标之差为1是同一个斜率，因为两者都表示 $y$ 随 $x$ 每增加1个单位上升2。英文代数教材把这个数记作 $m$。

因为斜率是一个量除以另一个量，所以它带有单位：手机账单的斜率是“每GB多少美元”，距离随时间变化的斜率是“每秒多少米”（也就是速度）。应用题里出现“每”字，通常就意味着斜率。

斜率的符号表示方向：从左往右看，正斜率的直线上升，负斜率的直线下降。坡度8%的道路，对上坡的司机来说斜率是0.08，对下坡的司机来说是 $-0.08$。斜率绝对值的大小表示陡峭程度：斜率5比斜率2更陡，$-5$ 也比 $-2$ 更陡，尽管 $-5$ 是更小的数。

图像可能会造成误导。把y轴拉长，每条倾斜的直线看起来都会更陡，但没有任何一个斜率改变，因为斜率是按坐标轴的单位来衡量的，而不是纸面上的角度。

用两点求斜率

怎样求斜率取决于题目给出了什么。已知两点时，把两点的纵坐标相减得到纵坐标之差，把横坐标相减得到横坐标之差，再求它们的比，这就是斜率公式：

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

把 $(2, 3)$ 和 $(6, 11)$ 分别当作点1和点2：

$$m = \frac{11 - 3}{6 - 2} = \frac{8}{4} = 2$$

再把结果当作变化率读一遍：从 $x = 2$ 到 $x = 6$ 是四步，每步上升2，$y$ 就应该上升8，从3变到11。确实如此。

点的编号可以自己定。如果改把 $(6, 11)$ 叫作点1，两处减法就都会反过来：

$$m = \frac{3 - 11}{2 - 6} = \frac{-8}{-4} = 2$$

纵坐标之差和横坐标之差都变了号，所以结果不变。只在一处调换顺序就会出错：$11 - 3$ 除以 $2 - 6$ 得到 $\frac{8}{-4} = -2$，这是一条倾斜方向相反的直线。分子先用哪个点，分母也要先用哪个点。

负斜率也来自同一个公式。对于 $(1, 7)$ 和 $(4, 1)$：

$$m = \frac{1 - 7}{4 - 1} = \frac{-6}{3} = -2$$

每向右一步，$y$ 就下降2，所以走三步就从7降到1。

一条直线上任取两点，算出的斜率都相同：$(4, 7)$ 也在第一条直线上，它和 $(2, 3)$ 算出的仍然是 $\frac{4}{2} = 2$。正是这种恒定的变化率让直线成为直线。

从图像上读出斜率

在图像上，可以数格子，不必做减法。选两个格点（直线恰好经过网格交叉点的位置），从左边的点数到右边的点：向上或向下数的格数就是纵坐标之差，横向数的格数就是横坐标之差。从左往右数，横坐标之差始终为正，所以符号完全由纵坐标之差决定。

每一条直线都属于以下四种情况之一：

图像上的直线	示例	纵坐标之差 ÷ 横坐标之差	斜率
从左到右上升	$y = 2x + 1$	正数 ÷ 正数	正
从左到右下降	$y = -3x + 4$	负数 ÷ 正数	负
水平直线	$y = 5$	0 ÷ 任意横坐标之差	0
垂直于x轴	$x = 5$	任意纵坐标之差 ÷ 0	不存在

最后两行很容易混淆，因为都涉及0。在水平直线 $y = c$ 上，每个点的纵坐标都相同，所以纵坐标之差是0，而0除以任何非零的横坐标之差都是0。这条直线有斜率，斜率就是0。

在垂直于x轴的直线 $x = c$ 上，每个点的横坐标都相同，所以横坐标之差是0，而除以0没有意义。用变化率的语言来说，这条直线在 $x$ 方向上一步也不走，所以“$y$ 随 $x$ 每走一步变化多少”这个问题没有答案。如果听到有人说这种直线“没有斜率”，要理解为斜率不存在，而不是斜率为0。

斜截式：y = mx + b

斜截式把一条直线的两个关键数值直接摆在眼前：

$$y = mx + b$$

这里 $m$ 是斜率，$b$ 是 $y$ 在 $x = 0$ 时的值，也就是直线与y轴交点的纵坐标。这个值叫作直线在y轴上的截距，在应用题里通常表示初始量。（国内教材通常写作 y = kx + b，k 叫作斜率，b 叫作截距。）

假设某个手机套餐每月15美元，每用1GB数据再加收2美元。用了 $x$ GB数据、账单为 $y$ 美元时：

$$y = 2x + 15$$

一点数据都不用时要付15美元，这就是截距。每用1GB多付2美元，这就是斜率，所以用5GB要花 $2(5) + 15 = 25$ 美元。画图时，先描出点 $(0, 15)$，然后反复向右1格、向上2格。

方程常常以 $Ax + By = C$ 这样的一般式出现，这时斜率藏了起来。把方程解出 $y$，斜率就显现出来：

$$y = -\frac{A}{B}x + \frac{C}{B}$$

所以斜率是 $-\frac{A}{B}$，前提是 $B \neq 0$。对于 $3x + 4y = 12$，两边同时减去 $3x$ 再除以4，得到 $y = -\frac{3}{4}x + 3$。斜率是 $-\frac{3}{4}$，在y轴上的截距是3。

两个截距也能验证这一点：直线经过 $(0, 3)$ 和 $(4, 0)$，而 $\frac{0 - 3}{4 - 0} = -\frac{3}{4}$。当 $B = 0$ 时，方程变成 $Ax = C$，是一条垂直于x轴的直线，而这正是 $-\frac{A}{B}$ 会出现除以0的情形。

点斜式：从已知的一点出发

很多时候你知道斜率和一个点，却不知道截距。点斜式用的正是这些信息：

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

用文字来说：从已知点 $(x_1, y_1)$ 出发，$y$ 每次变化 $m$，对应 $x$ 每走一步。它其实就是斜率公式的变形：对直线上任意另一点 $(x, y)$，都有 $\frac{y - y_1}{x - x_1} = m$，两边同乘 $x - x_1$ 就得到点斜式。

求经过 $(2, 5)$、斜率为3的直线：

$$y - 5 = 3(x - 2)$$

这已经是正确答案。要化成斜截式，先去括号，再在两边同时加5：

$$y - 5 = 3x - 6$$ $$y = 3x - 1$$

用已知点检验：$3(2) - 1 = 5$。

经过两点的直线要多走一步。对于 $(2, 3)$ 和 $(6, 11)$，前面已经算出斜率是2，所以 $y - 3 = 2(x - 2)$，化简得 $y = 2x - 1$。用另一个点检验：$2(6) - 1 = 11$。

根据已知条件选择合适的形式。斜截式适合画图，也适合像手机套餐这样有初始值的问题。已知一点和斜率，或已知两点时，点斜式最快。一般式能让系数保持为整数，便于快速求出两个截距，也便于把方程对齐后用消元法求解。

两条直线的平行与垂直

斜率相同的两条直线以相同的速率上升，所以它们在竖直方向上的距离始终不变。如果截距不同，它们就互相平行，永不相交：$y = 2x + 1$ 和 $y = 2x - 4$ 的 $m$ 相同，$b$ 不同。

两条直线互相垂直时，遵循一条不那么直观的规则。如果两条直线都不垂直于x轴，它们的斜率互为负倒数：把分数上下颠倒，再改变符号。换句话说，两个斜率的乘积等于 $-1$。斜率2对应 $-\frac{1}{2}$，$-\frac{3}{4}$ 对应 $\frac{4}{3}$。

这条规则来自把一步旋转一下。沿斜率为2的直线走一步，就是横坐标增加1、纵坐标增加2。把这一步逆时针旋转90度，两个数交换位置，其中一个变号：横坐标的变化为 $-2$，纵坐标的变化为1。新的斜率是 $\frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$。

因此，与 $y = 2x - 1$ 垂直且经过 $(4, 1)$ 的直线，斜率是 $-\frac{1}{2}$：$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 4)$，也就是 $y = -\frac{1}{2}x + 3$。垂直于x轴的直线确实是个例外：水平直线和垂直于x轴的直线也互相垂直，但后者没有可以相乘的斜率。OpenStax的一次函数章节还有更多两条直线平行与垂直的例题，以及求直线方程的练习。

斜率通向何处

直线处处斜率相同，曲线则不然。在曲线上两点之间，纵坐标之差与横坐标之差的比照样可以计算，它给出的是平均变化率，也就是经过这两点的割线的斜率。以 $f(x) = x^2$ 为例，在 $x = 1$ 到 $x = 3$ 之间：

$$\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = 4$$

让第二个点向 $x = 1$ 滑动，平均变化率随之改变：从1到2是3，从1到1.5是2.5，从1到1.1是2.1。这些值越来越接近2，也就是 $x = 1$ 处切线的斜率。这个极限斜率就是导数，我们的导数指南正是从这幅图出发建立微积分的。

更贴近代数来说，斜率恒定正是一次函数之所以是一次函数的原因，我们的函数指南在介绍其他常见函数图像时也展示了这一点。而且，每个二元一次方程都对应一条直线，所以斜率能预示方程组的解的情况：斜率不同的两条直线恰好相交一次，斜率相同而截距不同的永不相交，表示同一条直线的两个方程则共享所有的点。

斜率的常见错误

• 横纵颠倒。 用横坐标之差除以纵坐标之差会得到倒数：对最初那两个点，结果是 $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$，而不是2。既然 $y$ 变化了8，$x$ 只变化了4，斜率就应该大于1。
• 点的顺序不一致。 分子和分母的减法从不同的点开始，符号就会反过来。先给两个点编好号。
• 代入负坐标时丢了符号。 对于 $(-3, -4)$ 和 $(1, 4)$，纵坐标之差不是0，而是 $4 - (-4) = 8$，横坐标之差是 $1 - (-3) = 4$，所以斜率是2。代入的每个负坐标都要加括号。
• 把垂直于x轴的直线说成斜率为0。 平坦的地面斜率是0，墙壁的斜率不存在。
• 把截距当成陡峭程度。 直线 $y = 0.5x + 100$ 起点高，但上升得慢；$y = 3x + 1$ 起点低，上升速度却是前者的六倍。截距只会让直线上下平移，只有 $m$ 才会改变陡峭程度。

在不同形式之间切换练习

选一条直线，用每一种形式来认识它：两点、图像、$y = mx + b$、点斜式和一般式。反复相互转换，直到每一种转换都驾轻就熟；再把水平直线和垂直于x轴的直线混进来，让分子上的0和分母上的0不再显得一样。

Math Zen 没有专门只练斜率的题组，所以最接近的练习分散在两个主题里：图形分析主题练习截距和读图，代数主题练习解方程和线性方程组，而在线性方程组里，斜率决定了两条直线是否相交。一次方程和斜率也会出现在SAT、ACT和GED中，我们的SAT 数学指南说明了它们在这门考试中的位置。

这里的每一个公式，回答的都是那块路牌提出的问题：$y$ 随 $x$ 每走一步会变化多少？想不起某个公式时，就拿这个问题去问眼前的数字，再把公式重新推出来。