隐函数求导例题：逐步计算并检查切线

方程 $x^2+y^2=25$ 表示一个圆。它没有用一个关于 $x$ 的公式给出 $y$：对于大多数 $x$ 值，圆的上半部分和下半部分各有一个不同的 $y$ 值。但我们仍然可以求出圆上指定点的切线斜率。隐函数求导直接对这个关系式求导，同时把指定点附近的 $y$ 看成 $x$ 的函数。下面会完整展示运算，先用原方程检查每个点，再说明通常的斜率公式在哪些点不能使用。

如果你想先理解“斜率”表示什么，可以阅读导数的直观解释。链式法则例题解释了为什么对含有 $y$ 的表达式求导时会出现额外的因子。这里我们把这些规则用于同时含有两个变量的方程。

没有解出 y 时，求导有什么不同？

对于显式函数 $y=x^2+1$，直接求导得到 $dy/dx=2x$。但在 $x^2+y^2=25$ 这样的关系式中，点沿着曲线移动时，两个坐标都在变化。在可以局部写成 $y(x)$ 的位置，$y^2$ 实际上是 $(y(x))^2$。根据链式法则，

$$\frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}.$$

因子 $dy/dx$ 很容易漏掉。它并不是可以随意加上的符号：平方值随输入 $y$ 改变，而 $y$ 又随 $x$ 改变。同理，$d(y^3)/dx=3y^2(dy/dx)$，$d(\sin y)/dx=\cos y(dy/dx)$。遇到混合项 $xy$，还要使用乘积法则：$d(xy)/dx=y+x(dy/dx)$。Math Insight 上 Paul Garrett 的讲解展示了链式法则和乘积法则如何共同使用。

每道题都可以按以下顺序处理：

1. 先将指定点代入原方程。点如果不在曲线上，讨论该曲线在此点的切线就没有意义。
2. 对每一项关于 $x$ 求导。只要被求导的部分含有随 $x$ 变化的 $y$，就补上 $dy/dx$。
3. 收集含 $dy/dx$ 的项并提取公因子。只有剩余因子不为零时，才能进行除法。
4. 代入点的坐标，再利用局部曲线形状、显式分支或切线方程检验斜率。

不要在求导之前就代入点的坐标。那会把正在变化的坐标变成常数，抹掉你真正要计算的变化。还要保留除法之前的导数方程：当最后的分式出现零分母时，它可能帮助你识别竖直切线。

例题一：圆上的普通切线

求 $x^2+y^2=25$ 在 $(3,4)$ 处的斜率。先检查点：$3^2+4^2=9+16=25$，所以它确实在圆上。把 $y$ 视为 $y(x)$，对方程两边求导：

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0.$$

把 $2x$ 移到右边，并在 $y\ne0$ 的前提下除以 $2y$：

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y},\qquad y\ne0.$$

在 $(3,4)$ 处，斜率是 $-3/4$。过该点的切线为 $y-4=-(3/4)(x-3)$。沿上半圆向右稍微移动时，高度下降，负号符合图形。我们还可以用另一种方法独立检验：上半圆可写成 $y=\sqrt{25-x^2}$，其定义区间内部为 $-5<x<5$，导数是 $-x/\sqrt{25-x^2}$。取 $x=3$，同样得到 $-3/4$。下半圆在相同 $x$ 下有另一个 $y$ 值，所以斜率也不同。

检查分支很重要，因为整个圆并不是一个全局的 $y(x)$ 函数。隐函数求导给出的是经过指定点的局部分支的斜率。当同一个 $x$ 对应多个曲线上的点时，不能丢掉 $y$ 坐标。

同一条曲线上的两种切线

现在仍看同一个圆，但换到 $(5,0)$。点仍在曲线上，因为 $5^2+0^2=25$。将其代入 $-x/y$ 就会除以零。不能因此给出一个数值斜率，也不能说曲线没有切线。返回还没有做除法的式子：

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0.$$

如果在 $(5,0)$ 存在有限的 $dy/dx$，上式就必须变成 $10+0(dy/dx)=0$。任何有限数都无法满足它。几何上，圆走到最右端后向左折回；此处切线是竖直直线 $x=5$，而 $dy/dx$ 未定义。圆作为曲线仍然光滑，只是不能在这一点附近表示成关于 $x$ 的可导函数。

也可以调换变量的角色，局部把 $x$ 当成 $y$ 的函数：$2x(dx/dy)+2y=0$，因此在 $x\ne0$ 时有 $dx/dy=-y/x$。在 $(5,0)$，$dx/dy=0$。当 $y$ 微小变化时，$x$ 只在更高阶才变化，这正是竖直切线的表现。在 $(0,5)$ 情况反过来：$dy/dx=0$，切线水平。这些都是关于几何形状的判断，并不允许在任何公式中除以零。

例题二：乘积项和三个项

求 $x^2+xy+y^2=7$ 在 $(1,2)$ 处的 $dy/dx$。先检验点：$1+2+4=7$。现在逐项求导。$x^2$ 变成 $2x$；乘积 $xy$ 变成 $y+x(dy/dx)$；$y^2$ 变成 $2y(dy/dx)$：

$$2x+y+x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=0.$$

收集导数项并提取公因子：

$$(x+2y)\frac{dy}{dx}=-(2x+y),\qquad \frac{dy}{dx}=-\frac{2x+y}{x+2y}\quad\text{当 }x+2y\ne0.$$

在 $(1,2)$，分子是 $4$，分母是 $5$，因此斜率为 $-4/5$。切线方程是 $y-2=-(4/5)(x-1)$。把答案直接代回尚未除法的导数方程：$2(1)+2+1(-4/5)+2(2)(-4/5)=4-4=0$。这个代入同时检验乘积法则产生的项和最终的分式。如果把 $xy$ 错误地只求成 $x(dy/dx)$，独立的 $y$ 项会消失，斜率就错了。

条件 $x+2y\ne0$ 是答案的一部分，即使在题目指定的点它已得到满足。如果在曲线的另一点分母为零，就必须像圆的例子一样另行检查除法前的方程。单凭一个符号分式，无法回答曲线上所有关于切线的问题。

例题三：三次关系式

考虑 $y^3+xy=2$ 在 $(1,1)$ 处的斜率。代入检查：$1^3+1\cdot1=2$。对 $y^3$ 用链式法则，对 $xy$ 用乘积法则：

$$3y^2\frac{dy}{dx}+y+x\frac{dy}{dx}=0.$$

提取公因子之后，

$$(3y^2+x)\frac{dy}{dx}=-y,\qquad \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{3y^2+x}\quad\text{若 }3y^2+x\ne0.$$

在 $(1,1)$，结果为 $-1/4$，因此切线是 $y-1=-(1/4)(x-1)$。再代回导数方程：$3(-1/4)+1+(-1/4)=0$。这一步很快就能查出漏掉系数三或符号错误。仅靠它不足以证明整段推导，但它是有用的最终检查。

找出漏掉链式法则因子的错误

假设有人把 $x^2+y^2=25$ 求导为 $2x+2y=0$。这不是求切线斜率的方程。它等于把 $y$ 当成 $dy/dx=1$，可实际上圆的关系式才决定 $y$ 怎样随 $x$ 变化。代入 $(3,4)$ 会得到 $6+8=0$，立即矛盾。正确结果 $2x+2y(dy/dx)=0$ 则给出 $6+8(-3/4)=0$。

另一个陷阱是先除法，随后忘记限制条件。公式 $-x/y$ 只在 $y\ne0$ 处适用；它并不会让 $(\pm5,0)$ 从圆上消失。把原关系式、点的检验以及除法前的导数方程一并保留，就能分析分式未定义的位置发生了什么。

如果变量随时间而不是 $x$ 改变，同样的链式法则会出现在相关变化率问题中：需要用适当的时间导数，还要检查单位。你可以在 Math Zen 的导数练习主题练习基础规则。自测时，不妨为例题二换一个合法的点重新计算，但务必先检验它是否在曲线上。

常见问题

为什么对 $y$ 求导总要有 $dy/dx$？ 因为在局部分支上，$y$ 随 $x$ 改变。链式法则要求把对 $y$ 的导数乘上 $dy/dx$。例如 $d(y^3)/dx=3y^2(dy/dx)$。

能否先解出 $y$？ 可以，只要这样做方便，而且选对分支和定义域。圆的上半支在 $(3,4)$ 得到相同斜率。不过显式求解可能很困难，也可能出现多个分支，所以直接对关系式求导更有用。

$dy/dx$ 未定义就一定有竖直切线吗？ 不一定。遇到未定义的分式，应返回原曲线和除法前的导数方程。在这个圆的 $(5,0)$，几何图形和 $dx/dy=0$ 一起确认了竖直切线。其他曲线的奇异点可能有不同表现。

求出结果后最快的检查是什么？ 首先确认点在原曲线上，再把斜率代入除法前的导数方程，最后检查为解出 $dy/dx$ 而除过的每个分母。这三项检查能发现不同类型的错误。