斜率怎麼求：垂直變化除以水平變化、斜率公式與 y = mx + b

山路上有個標示寫著 8% 坡度。這個數字描述前方的路：每前進 100 英尺的水平距離，道路就上升或下降 8 英尺，要看你往哪個方向開。把距離縮小到一英尺，變化就是 0.08 英尺。

這個 0.08 就是斜率。它衡量某個量（高度）在另一個量（水平距離）每增加一個單位時，改變了多少。在圖形上，這兩個量是 $y$ 和 $x$，問題也一樣：當 $x$ 向右走一步，$y$ 移動了多遠，往哪個方向？

垂直變化除以水平變化、斜率公式、$y = mx + b$ 與點斜式，是把同一個答案寫下來的四種方式。

斜率是變化率，不是形狀

斜率看起來像是傾斜的程度，但它其實是一個數字，而且這個數字是變化率。

經典的定義是垂直變化除以水平變化（rise over run）。在一條直線上取兩點，垂直變化（rise）是 $y$ 的變化，水平變化（run）是 $x$ 的變化：

$$\text{斜率} = \frac{\text{垂直變化}}{\text{水平變化}}$$

除以水平變化，是把原始的變化量轉成每一步的變化量：垂直變化 6、水平變化 3，與 2 比 1 的斜率相同，因為兩者都表示 $x$ 每增加一個單位，$y$ 上升 2。代數課本把這個數字稱為 $m$。

因為斜率是一個量除以另一個量，所以它帶有單位：手機帳單是每 GB 多少元，距離對時間則是每秒多少公尺（也就是速率）。應用題中的「每」字，通常就暗示著斜率。

斜率的正負號代表方向：斜率為正，從左往右看是上升的；斜率為負，則是下降的。那條 8% 的道路，對上坡的駕駛來說斜率是 0.08，對下坡的駕駛則是 $-0.08$。大小則代表陡峭程度：斜率 5 比斜率 2 陡，而 $-5$ 也比 $-2$ 陡，雖然 $-5$ 是比較小的數。

圖形可能會誤導人。把 y 軸拉長，每條斜線看起來都變得更陡，但沒有任何斜率改變，因為斜率是以坐標軸的單位來測量的，而不是紙面上的角度。

由兩點求斜率

如何求斜率，取決於題目給了你什麼。若給兩點，就把 y 坐標相減得到垂直變化，把 x 坐標相減得到水平變化。這就是斜率公式：

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

以 $(2, 3)$ 和 $(6, 11)$ 分別作為點 1 和點 2：

$$m = \frac{11 - 3}{6 - 2} = \frac{8}{4} = 2$$

把答案當成變化率讀回去。從 $x = 2$ 到 $x = 6$ 是四步，每一步 2，$y$ 應該上升 8，也就是從 3 到 11。確實如此。

標號由你決定。改把 $(6, 11)$ 當成點 1，兩個減法的順序都會反過來：

$$m = \frac{3 - 11}{2 - 6} = \frac{-8}{-4} = 2$$

垂直變化與水平變化的正負號都變了，所以答案不受影響。只在其中一處調換順序就會出錯：$11 - 3$ 除以 $2 - 6$ 得到 $\frac{8}{-4} = -2$，這條直線就往錯誤的方向傾斜。分子中哪個點放前面，分母也要讓同一個點放前面。

負斜率也來自同一個公式。對於 $(1, 7)$ 和 $(4, 1)$：

$$m = \frac{1 - 7}{4 - 1} = \frac{-6}{3} = -2$$

每向右一步，$y$ 下降 2，所以走三步就從 7 降到 1。

一條直線上任意兩點之間的斜率都相同：$(4, 7)$ 也在第一條直線上，與 $(2, 3)$ 算出來的是 $\frac{4}{2} = 2$，一樣是 2。這種固定的變化率，正是讓直線保持筆直的原因。

從圖形讀出斜率

在圖形上，你是用數的，而不是用減的。挑兩個格點（直線剛好通過方格頂點的位置），從左邊的點數到右邊的點：上下幾格是垂直變化，橫向幾格是水平變化。由左往右數，可以讓水平變化保持為正，所以單由垂直變化就能決定正負號。

每一條直線都屬於以下四種情形之一：

最後兩列很容易搞混，因為兩者都和零有關。在水平線 $y = c$ 上，每個點的 y 值都相同，所以垂直變化是 0，而 0 除以不為零的水平變化等於 0。這條線有斜率，而斜率是零。

在鉛直線 $x = c$ 上，每個點的 x 值都相同，所以水平變化是 0，而除以零沒有意義。以變化率來說，這條直線在 $x$ 上從不前進一步，所以「$x$ 每走一步時 $y$ 的變化」根本沒有答案。如果你聽到鉛直線「沒有斜率」，請把它理解成斜率不存在，而不是等於零。

斜截式：y = mx + b

斜截式把一條直線的兩個關鍵數字清楚地擺在眼前：

$$y = mx + b$$

其中 $m$ 是斜率，$b$ 是 $x = 0$ 時 $y$ 的值，也就是直線穿過 y 軸的位置。這個點稱為 y 截距，在應用題中通常代表起始的數量。

假設某個手機方案每月 $15，再加上每 GB 資料流量 $2。設用了 $x$ GB，帳單為 $y$ 元：

$$y = 2x + 15$$

完全不用流量時你付 $15，這就是截距。每多一 GB 增加 $2，這就是斜率，所以 5 GB 要付 $2(5) + 15 = 25$ 元。要畫圖時，先標出 $(0, 15)$，然後向右 1、向上 2，一次又一次重複。

方程式常常以標準式 $Ax + By = C$ 給出，斜率隱藏在其中。解出 $y$，斜率就出現了：

$$y = -\frac{A}{B}x + \frac{C}{B}$$

所以只要 $B \neq 0$，斜率就是 $-\frac{A}{B}$。以 $3x + 4y = 12$ 為例，兩邊減去 $3x$ 再除以 4：$y = -\frac{3}{4}x + 3$。斜率是 $-\frac{3}{4}$，y 截距是 3。

截距可以驗證這一點：直線通過 $(0, 3)$ 和 $(4, 0)$，而 $\frac{0 - 3}{4 - 0} = -\frac{3}{4}$。當 $B = 0$ 時，方程式是 $Ax = C$，是一條鉛直線，這正是 $-\frac{A}{B}$ 會除以零的情況。

點斜式：從你知道的點出發

你常常知道斜率和一個點，卻不知道截距。點斜式用的正是這些資訊：

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

用白話說：從已知的點 $(x_1, y_1)$ 出發，$x$ 每走一步，$y$ 就改變 $m$。它就是斜率公式的重新整理：對直線上任何其他的點 $(x, y)$，$\frac{y - y_1}{x - x_1} = m$，兩邊同乘以 $x - x_1$，就得到點斜式。

求斜率為 3 且通過 $(2, 5)$ 的直線：

$$y - 5 = 3(x - 2)$$

這已經是正確的答案。要轉換成斜截式，先展開，再兩邊加 5：

$$y - 5 = 3x - 6$$ $$y = 3x - 1$$

用已知的點驗算：$3(2) - 1 = 5$。

通過兩點的直線要多做一步。對於 $(2, 3)$ 和 $(6, 11)$，斜率如前面算過的是 2，所以 $y - 3 = 2(x - 2)$，化簡後得到 $y = 2x - 1$。用另一個點驗算：$2(6) - 1 = 11$。

選擇符合你已知條件的形式。斜截式適合畫圖，以及任何有起始值的問題，像是前面的手機方案。點斜式在給定一個點與斜率，或給定兩點時最快。標準式保持整數係數，可以快速求出兩個截距，也方便為了消去法而把方程式對齊。

平行線與垂直線

斜率相同的兩條直線，以相同的速率上升，所以兩者之間的垂直距離永遠不變。如果它們的截距不同，就互相平行、永不相交：$y = 2x + 1$ 和 $y = 2x - 4$ 有相同的 $m$ 和不同的 $b$。

垂直線遵循一個不那麼明顯的規則。當兩條都不是鉛直線時，它們的斜率互為負倒數：把分數倒過來，再改變正負號。等價地說，兩個斜率的乘積為 $-1$。斜率 2 與 $-\frac{1}{2}$ 配對，$-\frac{3}{4}$ 與 $\frac{4}{3}$ 配對。

這個規則來自轉動一個步伐。沿著斜率為 2 的直線走一步，是水平 1、垂直 2。把這一步逆時針轉四分之一圈，兩個數字互換位置，其中一個變號：水平 $-2$、垂直 1。新的斜率是 $\frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$。

所以，垂直於 $y = 2x - 1$ 並通過 $(4, 1)$ 的直線，斜率為 $-\frac{1}{2}$：$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 4)$，也就是 $y = -\frac{1}{2}x + 3$。鉛直線這個例外是真實存在的：水平線與鉛直線互相垂直，但鉛直線沒有可以相乘的斜率。OpenStax 的線性函數單元有更多平行與垂直的例子，以及更多寫出直線方程式的練習。

斜率接下來的去處

直線在每個地方的斜率都相同，曲線則不然。在曲線上取兩點的垂直變化除以水平變化仍然有效，它給出的是平均變化率：通過這兩點的割線斜率。對於 $f(x) = x^2$，在 $x = 1$ 與 $x = 3$ 之間：

$$\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = 4$$

把第二個點往 $x = 1$ 靠近，平均值就會改變：從 1 到 2 的區間是 3，從 1 到 1.5 是 2.5，從 1 到 1.1 是 2.1。這些值逐漸逼近 2，也就是 $x = 1$ 處切線的斜率。這個極限斜率就是導數，我們的導數指南就是從這幅圖像出發來建立微積分。

更接近代數的是，固定的斜率就是線性函數之所以為線性的原因，我們的函數指南會把它與其他常見的形狀一起說明。而且因為每個二元一次方程式都畫出一條直線，斜率可以預測聯立方程組的行為：斜率不同的直線恰好相交一次，斜率相同但截距不同的直線永不相交，而兩個方程式代表同一條直線時，它們共有每一個點。

常見的斜率錯誤

• 水平變化除以垂直變化。 把水平變化除以垂直變化，得到的是倒數，對於第一組兩點會得到 $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$，而不是 2。既然 $y$ 改變了 8，而 $x$ 只改變了 4，斜率就必然大於 1。
• 兩點的順序搞混。 分子與分母的減法以不同的點開頭，會使正負號顛倒。先替兩個點標號。
• 坐標為負數時漏掉負號。 對於 $(-3, -4)$ 和 $(1, 4)$，垂直變化是 $4 - (-4) = 8$，不是 0，水平變化是 $1 - (-3) = 4$，所以斜率是 2。代入每一個負的坐標時，都要加上括號。
• 把鉛直線說成斜率為零。 平坦的地板斜率為零，牆壁的斜率則不存在。
• 把截距誤認為陡峭程度。 直線 $y = 0.5x + 100$ 起點很高但上升得很慢，而 $y = 3x + 1$ 起點很低，卻以六倍的速率上升。截距讓直線上下移動，只有 $m$ 才會改變它的陡峭程度。

練習在各種形式之間切換

拿一條直線，用每一種形式來認識它：兩個點、一張圖、$y = mx + b$、點斜式與標準式。在它們之間來回轉換，直到每一次轉換都變成例行公事，並且混入水平線與鉛直線，讓分子為零與分母為零不再看起來一樣。

Math Zen 沒有單獨的斜率題組，所以最接近的練習分散在兩個主題：圖形分析用來練習截距與讀圖，代數用來練習解方程式與聯立方程組，而在聯立方程組中，斜率決定了兩條直線是否相交。一次方程式與斜率也會出現在 SAT、ACT 與 GED 中，我們的 SAT 數學指南會說明它們在那項考試中的位置。

這裡的每一個公式，都在回答那個路標的問題：當 $x$ 走一步時，$y$ 改變多少？當你忘了某個公式，就對眼前的數字問這個問題，然後把公式再建構出來。