聯立方程式直覺理解：找出符合每條規則的解

一個方程式只給一個條件。如果一間咖啡館賣咖啡是一個價錢、賣茶是另一個價錢，一天的總銷售額給出了兩個數量之間的關係，但通常無法得知它們各自的值。再有第二個獨立的事實，就能把它們確定下來。

這就是聯立方程式的目的。你問的不再是什麼讓一個敘述成立，而是什麼能讓好幾個敘述同時成立。「聯立方程式」這個名稱聽起來很技術性，但核心想法很平常：找出符合每一條線索的值。

解必須滿足每一個方程式

考慮這組聯立方程式：

$$2x + y = 11$$ $$x - y = 1$$

數對 $x = 4$ 與 $y = 3$ 是有效的，因為它讓兩個方程式都成立。在第一個方程式中，$2(4) + 3 = 11$。在第二個中，$4 - 3 = 1$。

數對 $x = 5$ 與 $y = 1$ 讓第一個方程式成立，卻讓第二個不成立。那不是這組聯立方程式的解。聯立方程式用的是「而且」，不是「或」：第一個方程式與第二個方程式都必須成立。

這就是我們代數指南所說明的等號意義，只是應用在不只一個條件上。變數不會在不同的式子之間改變身分。同一個 $x$ 與同一個 $y$ 必須在每個地方都成立。

圖形顯示代數在尋找什麼

每一個含兩個變數的一次方程式都描述一條直線。方程式 $2x + y = 11$ 是一條直線，$x - y = 1$ 是另一條。第一條線上的點滿足第一個方程式，第二條線上的點滿足第二個。

聯立方程式的解必須同時位在兩條線上，所以它就是兩條線的交點。

這個畫面解釋了為什麼含兩個變數的兩個一次方程式有三種可能的結果：

• 兩條線相交一次，得到一組解。
• 不同的平行線永遠不相交，沒有解。
• 兩個方程式描述同一條直線，有無限多組解。

畫圖很適合用來看出屬於哪一種情形，並估計解。但對於精確的分數，或落在格線之間的交點，它就比較不可靠。代數方法找到的是同一個交點，而不依賴你圖畫得有多準。

這個連結也可以反過來。當代入或消去給出出乎意料的結果時，想像那兩條線。矛盾代表它們平行。恆等式代表它們重合。

代入法就是用相等的東西取代相等的東西

當某個方程式已經告訴你一個變數等於什麼時，代入法最好用。把上面的第二個方程式改寫成：

$$y = x - 1$$

現在在第一個方程式用到 $y$ 的每個地方，換成 $x - 1$：

$$2x + (x - 1) = 11$$

現在只剩一個未知數：

$$3x - 1 = 11$$ $$3x = 12$$ $$x = 4$$

回到 $y = x - 1$，所以 $y = 3$。解是 $(4, 3)$。

沒有發生任何神祕的事。方程式 $y = x - 1$ 說的是 $y$ 和 $x - 1$ 是同一個量。用其中一個取代另一個，不會改變第一個方程式成立這件事。代入法把含有兩個未知數的兩個方程式，變成含有一個未知數的一個方程式。

當某個變數已經被單獨寫出來，或把它單獨寫出來只需要乾淨的一步時，選擇代入法。如果解出一個變數馬上就產生累贅的分數，消去法可能比較短。

消去法把線索結合起來

回到原本的聯立方程式：

$$2x + y = 11$$ $$x - y = 1$$

把兩個方程式相加。$y$ 與 $-y$ 相消：

$$3x = 12$$

所以 $x = 4$，代入任一個原本的方程式，得到 $y = 3$。

消去法之所以有效，是因為你把相等的量加到相等的量上。左邊可以相加，是因為右邊也一起相加。任何同時滿足兩個原方程式的數對，也必然滿足結合後的方程式。

有時係數不會立刻相消。假設聯立方程式是：

$$3x + 2y = 16$$ $$x + y = 6$$

把第二個方程式乘以 $-2$：

$$-2x - 2y = -12$$

把它加到第一個方程式上，得到 $x = 4$。於是 $4 + y = 6$，所以 $y = 2$。把整個方程式乘上一個非零的數，不會改變它的解。它只是用不同的比例寫出同一條線。

當方程式已經是標準式，而且有一組係數相同、只差一個正負號，或有很小的公倍數時，消去法通常很有效率。

一個應用問題，由兩條線索建構而成

假設一個學校社團賣出 30 張票。學生票 4 元，成人票 7 元，社團共收到 156 元。令 $s$ 為學生票的張數，$a$ 為成人票的張數。

票的張數給出：

$$s + a = 30$$

金額給出：

$$4s + 7a = 156$$

把第一個方程式乘以 $-4$ 再相加：

$$-4s - 4a = -120$$ $$3a = 36$$

因此 $a = 12$，$s = 18$。檢查兩個事實：共有 30 張票，而且 $4(18) + 7(12) = 72 + 84 = 156$。

最難的部分不是消去法，而是決定哪一個方程式描述張數，哪一個描述收入。在大多數應用中，每一句話提供一個不同的限制。用單位定義變數，分別把每個限制翻譯成式子，然後解聯立方程式。

無解與無限多組解都是有意義的答案

考慮：

$$x + y = 4$$ $$2x + 2y = 10$$

把第一個方程式加倍得到 $2x + 2y = 8$，但第二個方程式卻要求同一個運算式等於 10。消去法產生 $0 = 2$，這是個矛盾。沒有任何數對能同時滿足兩者。在圖上，這兩條線斜率相同、截距不同，所以是平行的。

現在把第二個方程式改成：

$$2x + 2y = 8$$

它恰好是第一個的兩倍。消去法產生 $0 = 0$，這永遠為真，卻無法決定單一的數對。兩個方程式描述同一條直線，所以那條直線上的每一個點都是解。

不要把這些結果當成失敗的計算。它們告訴你的是關於資訊的事。矛盾代表這些限制互不相容。恆等式代表一條線索重複了另一條，沒有增加新的資訊。

依方程式的形狀選擇方法

畫圖、代入與消去，解的是同一個問題。有效率的選擇，取決於方程式是怎麼寫的。

當圖形或近似的交點很重要時，用畫圖。當某個變數已經被單獨寫出，或係數為 1 或 -1 時，用代入。當係數已經對齊，或只要簡單的乘法就能對齊時，用消去。

計算機可以畫出兩個方程式並顯示交點，但代數仍然重要。圖形視窗可能藏起一個交點，讓接近平行的線看起來平行，或者在練習重點就是精確分數時，卻顯示成小數。把圖形當作模型與檢查，不要用它取代對什麼才算解的理解。

對於更大的聯立方程式，消去法會發展成列運算與矩陣方法。我們的矩陣指南說明了更完整的全貌。你熟悉的兩個方程式的過程，已經是核心概念：在不改變共同解的情況下，把條件結合起來。

在原本的聯立方程式中檢驗這個數對

最安全的最後一步，是代入每一個原本的方程式。不要只檢查你自己創造出的化簡方程式，因為那個方程式包含的資訊比整組聯立方程式少。

對開頭範例中的 $(4, 3)$：

$$2(4) + 3 = 11$$ $$4 - 3 = 1$$

兩個敘述都為真，所以這個數對得到確認。也要問答案是否符合情境。負的票數也許滿足翻譯得很糟的代數，卻不符合真實的問題。

常見的錯誤是機械性的：只把方程式的一項乘上數、相加時改錯正負號、代入錯誤的運算式，或者找到一個變數就停下來。把一個運算寫在整個方程式上，並讓同類項上下對齊，就能避免大部分錯誤。

練習辨認該怎麼做

流暢來自選擇方法，而不是連續把同一種方法重複二十次。把適合代入法的題目和適合消去法的題目混在一起練。納入無解與無限多組解的情形，讓 $0 = 5$ 與 $0 = 0$ 成為資訊，而不是意外。

Math Zen 的代數主題包含「二元一次聯立方程式」這項技能，可以專注練習。讓詮釋始終附著在步驟上：每個方程式是一個條件，而解必須符合所有條件。

聯立方程式不是把兩件不相干的差事疊在一起。它是由幾條線索所限制的一次搜尋。圖形把答案叫做交點。代入法把它叫做取代。消去法把它叫做一個變數相消後留下來的東西。三者都是同一個問題的不同視角：什麼樣的值，能讓每一條規則同時成立？