學物理需要哪些數學？AP Physics 1 與 A-Level 之前該練什麼

一個學生可以把牛頓第二運動定律解釋得很清楚，畫出正確的自由體圖，列出正確的方程式，卻還是丟了分數。失誤發生在兩行之後：公式移項移錯，該用餘弦的地方用了正弦，或是把以公里每小時為單位的速率，乘上以秒為單位的時間。

問物理老師分數都丟在哪裡，答案很少是「他們不懂物理」，而是代數、三角函數和單位。這些是數學技能，可以和用到它們的物理分開來練習。

這篇文章逐一對應第一年物理背後的數學，讓你可以針對真正出問題的那項技能來練習，而不是重讀一章你早已懂了的內容。它是為準備 AP Physics 1 或 A-Level 物理的學生寫的，也適合剛開始使用我們姊妹 App Physics Zen、卻老是栽在代數上、想知道原因的人。

公式移項是每個主題都會用到的技能

物理公式幾乎從不以印出來的樣子被拿來問。公式表給你 $v = u + at$，題目卻要你求時間。公式表給你 $F = ma$，題目卻給了力和加速度，要你求質量。

移項就是一般的代數：對兩邊做同樣的運算，直到未知數單獨留下來。錯誤也是一般的錯誤。只在一邊減掉一項。把和裡面的一項除掉，而不是除掉整個和。把平方的量移過去，卻忘了在另一邊開根號。

向心加速度 $a = \frac{v^2}{r}$ 是個有用的例子。解半徑要把兩邊乘以 $r$ 再除以 $a$，得到 $r = \frac{v^2}{a}$。解速率則最後需要開根號，$v = \sqrt{ar}$。如果學生得到 $v = \frac{ar}{1}$，那不是物理上的錯誤，而是漏了一個代數步驟。

如果這些讓你覺得很慢，Math Zen 的代數主題每次都用新的數字，練習化簡、求解和移項，而代數指南則說明這些步驟為什麼合法。在 Physics Zen 中，同樣的技能馬上就出現在免費的運動學主題裡，每一道題都要你把一個方程式移項改寫。

重力一出現，一元二次方程式就跟著來

等加速度運動產生這個方程式

$$s = ut + \tfrac{1}{2}at^2$$

只要未知數是時間，這就是一個一元二次方程式。以 $15\ \text{m/s}$ 的初速，從離地 $20\ \text{m}$ 的平台向上拋出一顆球，它落地的時刻滿足

$$0 = 20 + 15t - 4.9t^2$$

用公式解會得到兩個根，約為 $t = 4.07\ \text{s}$ 和 $t = -1.00\ \text{s}$。只有正的根代表拋出之後的時間。物理告訴你該保留哪個根，代數告訴你根是多少。兩步都必須是對的。

這裡常見的數學錯誤是公式內的正負號失誤、把 $-b$ 寫成 $b$，以及根號底下的算術。這些都可以在 Math Zen 的解方程中練習，一元二次方程式指南則說明這個公式為什麼成立。接著，在 Physics Zen 的運動學中，拋體和自由落體的題目每次都用新的發射速率來運用它。

三角函數把斜率變成兩個數

斜面上的力、傾斜繩子中的張力、拋體的發射速度：這些全都需要分解成分量。這就是直角三角形的三角函數，沒有更進階的東西。

能避免大多數錯誤的規則是：與已知角相鄰的分量用餘弦，與已知角相對的分量用正弦。在角度為 $\theta$ 的斜面上，重量沿著斜面的分量是 $mg\sin\theta$，壓進斜面的分量是 $mg\cos\theta$。

用極端情況來檢查。在 $\theta = 0$ 時，表面是水平的，不應該有任何東西把物塊沿著表面拉動。因為 $\sin 0 = 0$，所以正弦版本通過檢查。如果你把沿著斜面的力寫成 $mg\cos\theta$，水平的情況會得到完整的 $mg$ 把物塊往旁邊拉，這顯然是錯的。這個三十秒的檢查，就能抓到力學中最常見的三角函數錯誤。

Math Zen 專門有一個三角函數主題就是為此設計的，而向量主題則涵蓋把分量重新加回去。如果正弦和餘弦對你來說仍然像是一張數值表，而不是圓上的坐標，請先讀三角函數指南。在物理這一邊，斜面是 Physics Zen 動力學裡的最後一項技能。

次方、根號與平方反比

動能是 $\tfrac{1}{2}mv^2$。向心加速度是 $\frac{v^2}{r}$。重力場強度是 $\frac{GM}{r^2}$。物理裡到處都是出現在分子和分母的平方，而每一個都會產生一個比例推理的問題。

速率加倍，動能變成四倍。軌道半徑加倍，表面重力降為四分之一。在同一個彎道上速率變成三倍，所需的向心力就增加為九倍。出題者喜歡這類題目，因為算術很簡單，推理卻不簡單。

這裡有兩個數學習慣很重要。第一，要知道底數縮放時次方如何反應：如果 $v$ 乘以 $k$，那麼 $v^2$ 就乘以 $k^2$。第二，要熟悉科學記號，因為 $G = 6.67 \times 10^{-11}$ 和地球質量 $5.97 \times 10^{24}\ \text{kg}$ 會在同一道題裡相乘。

Math Zen 的冪與指數、根式練習兩者，指數指南則說明負指數到底是什麼意思。萬有引力在 Physics Zen 的圓周運動與萬有引力中。

比、比例與單位換算

一輛以 $72\ \text{km/h}$ 行駛的車煞車 $4\ \text{s}$。在任何物理計算發生之前，這個速率必須先變成 $20\ \text{m/s}$。除以 $3.6$ 不是一個物理事實，而是每公里 $1000$ 公尺除以每小時 $3600$ 秒。

單位換算就是比例推理。密度的問題、「是幾倍」的問題，以及任何給出兩個固定比值的量的問題也是。失誤的模式總是一樣：該除的時候乘了，或是在 $\text{km/h}$ 這類複合量中，只換算了兩個單位中的一個。

Math Zen 的比率與比例直接涵蓋這一點，比與比例指南有更完整的說明。Physics Zen 的等速度運動，是免費運動學主題中的第一項技能，幾乎每道題都要做同樣的換算。

讀圖：斜率與面積

速度對時間的圖，是第一年物理中被考得最多的單一表示法。斜率是加速度。線與時間軸之間的面積是位移。位置對時間的圖，以斜率給出速度。物理在於知道哪個量住在哪裡，數學則在於正確地讀出斜率並算出面積。

常見的錯誤是，題目問的是斜率，卻讀了圖形的高度；以及忘了軸下方的面積要算成負的位移。這兩個都是讀圖的數學錯誤，而不是物理錯誤。

Math Zen 的圖形分析主題練習截距、斜率和圖形的行為，完全不涉及物理。如果你之後進入以微積分為基礎的課程，導數指南和積分指南會說明「斜率」和「面積」是被精確化的同一個想法。

兩個未知數需要兩個方程式

有些問題無法一次用一個方程式解決。彈性碰撞中動量與動能都守恆，因此得到兩個方程式，未知數是兩個末速度。有兩個電池的電路，需要為兩個迴路寫出克希荷夫迴路定則。拋體問題可能把水平和鉛直兩個共用飛行時間的方程式結合起來。

這些是聯立方程式，常見的錯誤模式是代入到錯誤的方程式，或是搞不清楚哪個變數已經被消去。Math Zen 的二元一次聯立方程式練習代入法與消去法的機械流程。在 Physics Zen 中，同樣的結構出現在動量與碰撞與電路裡。

兩個 App 搭配使用的練習計畫

下表把每個物理主題，與其中最常出問題的數學技能配成一對。

一個可行的做法很短。花十分鐘在右欄的數學技能上，用新產生的題目練習，然後再轉到左欄的物理主題，一直解到你不再注意到代數的存在為止。兩個 App 每次都會產生新的數字，所以你背不起答案，只能學會方法。

Physics Zen 與 Math Zen 出自同一個團隊，並遵循同樣的循環：自動產生的題目、即時檢查、逐步解答，以及放在題目旁邊的理論。運動學從頭到尾都是免費的。它提供 iPhone 與 Android 版本。若想反過來看，Physics Zen 部落格列出了其實是數學錯誤的物理錯誤，以及每一種該練什麼。

要修正掉了的正負號，你不需要更多的物理。你需要的是五分鐘正確的代數，然後你早已懂的物理，就能拿到它應得的分數。