連鎖律例題：巢狀合成函數微分的逐步解說

對 $(2x+3)^5$ 微分。如果你把括號裡當作只有 $x$，直接套用一般的冪法則，會得到 $5(2x+3)^4$。形狀看起來對了，卻少了一個 2 的因子。括號裡的式子變化的速度是 $x$ 的兩倍，而導數必須帶上這個變化。

當 y 本身又依賴 x 時，隱函數微分例題會顯示內層導數的因子是從哪裡進來的。

梯子、圓錐與影子的相關變率例題則顯示如何在變動的幾何情境中運用這個導數。

那個漏掉的因子，正是連鎖律的重點。這一課會逐一演算原創的連鎖律例題，從一層內層函數到三層巢狀。若想了解導數更廣泛的意義，請先從我們的導數指南開始。這裡我們專注於辨認各層、對它們微分，以及檢查結果。

辨認內層與外層函數

合成是把一個函數的輸出送進另一個函數。在 $y=(2x+3)^5$ 中，先計算 $2x+3$，再把結果取五次方。把 $g(x)=2x+3$ 寫成內層函數，$f(u)=u^5$ 寫成外層函數。於是 $y=f(g(x))$。

求值的順序與微分的順序方向相反。求值時，從內往外。微分時，先從外層的運算開始，保持它的輸入不變，再乘以那個輸入的導數。OpenStax 在它的連鎖律章節中，對可微分的合成函數這樣陳述這條法則：

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)$$

外層函數的導數是在 $g(x)$ 處求值的，不是在 $g'(x)$ 處。內層導數是獨立的另一個因子。如果任何一層在相關的點上不可微分，這個公式就不能直接用在那裡。

在動用任何法則之前，先試著替各層命名。在 $\sin(4x^2-1)$ 中，外層運算是正弦，內層式子是 $4x^2-1$。在 $\sqrt{1+x^4}$ 中，外層運算是平方根，內層式子是 $1+x^4$。在 $x^2+3x$ 中，最上層的運算是加法；把各項分開微分。並不是每一組括號都預告著連鎖律。

如果把一個函數送進另一個函數這個概念對你還很陌生，合成函數在微分之前先介紹了求值與定義域。如果輸入與輸出的記號還不熟悉，函數本身就是起點。

每次都用同樣的四個步驟

這個方法不會因為式子的大小而改變：

1. 替緊鄰的內層式子命名。對於 $h(x)=(3x^2-2)^4$，令 $u=3x^2-2$。
2. 對外層微分，同時讓 $u$ 保持原位。因為外層是 $u^4$，它的導數是 $4u^3$。
3. 對內層微分。這裡 $du/dx=6x$。
4. 相乘並還原式子。結果是 $h'(x)=4(3x^2-2)^3(6x)=24x(3x^2-2)^3$。

除非後續的計算需要，不要把四次方展開。因式分解後的答案，顯示了每一部分是從哪裡來的：$4(3x^2-2)^3$ 屬於外層的次方，而 $6x$ 屬於內層的二次式。太早展開，會讓漏掉的因子更難看出來。

對於三層，重複同樣的動作。對最外層微分，乘以下一層的導數，再乘以最深一層的導數。OpenStax 在同一章中發展了這種連鎖律的重複使用。沒有需要背的新法則。

三個完整的例題

線性式的次方。回到 $p(x)=(2x+3)^5$。外層導數是 $5(2x+3)^4$，內層導數是 $2$。因此：

$$p'(x)=5(2x+3)^4(2)=10(2x+3)^4$$

在 $x=0$ 處檢查，不要全然相信符號運算的答案。原函數 $p(0)=3^5=243$。只展開 $(3+2x)^5$ 的一次項，得到 $243+5(3^4)(2x)+\cdots=243+810x+\cdots$，所以在零處的斜率是 $810$。我們的導數給出 $10(3)^4=810$。少了內層因子的版本給出 $405$，通不過這項檢查。

三角函數的合成。令 $q(x)=\sin(4x^2-1)$，角度以弧度表示。正弦的外層導數是在同一個輸入處求值的餘弦，而 $4x^2-1$ 的內層導數是 $8x$：

$$q'(x)=\cos(4x^2-1)(8x)=8x\cos(4x^2-1)$$

在 $x=0$ 時內層導數為零，所以 $q'(0)=0$。以局部對稱的檢查來看，這是合理的：$q(x)$ 取決於 $x^2$，所以它在 $x$ 與 $-x$ 處取相同的值。在 $x=1$ 時，斜率是 $8\cos(3)$，不是 $\cos(8)$。餘弦接收的是沒有改變的內層式子，而不是它的導數。

三層巢狀。取 $r(x)=\left[\sin(2x^2+1)\right]^3$。從外往內，各層依序是立方、正弦，以及 $2x^2+1$。依這個順序對每一層微分：

$$\begin{aligned} r'(x)&=3\left[\sin(2x^2+1)\right]^2 \cdot\cos(2x^2+1)\cdot 4x\\ &=12x\sin^2(2x^2+1)\cos(2x^2+1). \end{aligned}$$

之所以有三個因子，是因為有三個彼此連動的變化。立方貢獻 $3\sin^2(\cdot)$，正弦貢獻餘弦，而二次式貢獻 $4x$。同樣地，$r'(0)=0$，與偶函數 $r(x)$ 一致。這並不能證明整個導數，但能快速抓出一些代數錯誤。

判斷何時需要另一條法則

先找出最上層的運算。在 $a(x)=x(2x+3)^5$ 中，有兩個含變數的式子相乘。從乘積法則開始，再對帶次方的因子使用連鎖律：

$$\begin{aligned} a'(x)&=1\cdot(2x+3)^5+x\cdot 5(2x+3)^4\cdot2\\ &=(2x+3)^5+10x(2x+3)^4\\ &=(2x+3)^4(12x+3). \end{aligned}$$

相對地，$b(x)=(2x+3)^5$ 沒有最上層的乘積，所以單靠連鎖律就給出 $10(2x+3)^4$。這兩個式子差在次方外面多了一個 $x$ 的因子，而這個因子改變了該用哪一條法則。

商也可能藏著同樣的選擇。對於 $c(x)=1/(2x+3)^2$，把它改寫成 $(2x+3)^{-2}$。它最上層的運算是次方，所以：

$$c'(x)=-2(2x+3)^{-3}(2)=-\frac{4}{(2x+3)^3},\qquad x\ne-\frac32.$$

商法則也能用，但改寫能讓合成的結構一目了然。如果分子和分母都依賴 $x$，就在最上層使用商法則，並檢查每一部分是否需要連鎖律。OpenStax 在它的連鎖律一節中，一併處理了這些組合。

修正三種常見的錯誤答案

漏掉內層因子。對於 $(5x-1)^4$，答案 $4(5x-1)^3$ 漏掉了導數 $5$。在相乘之前先寫下兩個部分：$4(5x-1)^3\times5=20(5x-1)^3$。

改變外層函數的輸入。對於 $\cos(x^2+2)$，答案 $-\sin(2x)\cdot2x$ 把內層的導數放進了正弦裡。正確的導數是 $-\sin(x^2+2)\cdot2x$。要在沒有改變的內層處對外層微分，再附上內層的導數。

弄丟括號。對於 $(x^2+3)^3$，$3x^2+3^2(2x)$ 不是連鎖律。整個內層式子都要留在平方的次方裡面：$3(x^2+3)^2(2x)=6x(x^2+3)^2$。在最後一行之前，都在內層外面寫上完整的括號。

一個有用的檢查，是在一個簡單的點上同時對原函數與你的導數求值。一個簡單的數值並不能證明導數對每個 $x$ 都成立，但兩者不吻合，就能快速否定一個誘人的錯誤答案。

三道練習題與完整解答

每題先自己試試，再看解答。標出各層，然後每一層寫一個因子。

1. 對 $s(x)=(7-3x)^4$ 微分。外層導數是 $4(7-3x)^3$。內層導數是 $-3$，所以：

$$s'(x)=4(7-3x)^3(-3)=-12(7-3x)^3.$$

負號就是快速檢查：在 $7-3x$ 為正的點附近，增加 $x$ 會讓這個內層量減少，因此它的四次方也會減少。

2. 對 $t(x)=\cos(3x^2+x)$ 微分。外層的餘弦變成負的正弦；內層的多項式變成 $6x+1$：

$$t'(x)=-\sin(3x^2+x)(6x+1).$$

在 $x=0$ 時，這給出零，因為 $\sin(0)=0$。不要因此推論內層導數在那裡是零；它等於一。把兩個因子分開來寫，就能看出乘積為什麼會等於零。

3. 對 $v(x)=(1+\sin x)^3$ 微分。外層的次方貢獻 $3(1+\sin x)^2$；內層的導數是 $\cos x$：

$$v'(x)=3(1+\sin x)^2\cos x.$$

這裡的內層含有正弦，但最上層的運算仍然是立方。由外往內處理。在 $x=0$ 時，導數是 $3(1)^2(1)=3$。

當這些都駕輕就熟之後，Math Zen 的導數練習在它的微積分題目中包含了「鏈式法則」這個技能。回頭看一道你答錯的例題，說明是哪個因子不見了，再進行下一題。要保持的習慣很簡單：說出外層運算、保留它的輸入，再乘以那個輸入的導數。

常見問題

連鎖律和冪法則一樣嗎？

不一樣。冪法則是對 $x^n$ 微分。連鎖律讓你能把它用在內層式子的次方上：$[g(x)]^n$ 的導數是 $n[g(x)]^{n-1}g'(x)$。如果 $g(x)=x$，它的導數是一，於是出現我們熟悉的冪法則。

平方根可以用連鎖律嗎？

可以。把 $\sqrt{1+x^4}$ 改寫成 $(1+x^4)^{1/2}$。外層導數是 $\tfrac12(1+x^4)^{-1/2}$，內層導數是 $4x^3$，得到 $2x^3/\sqrt{1+x^4}$。

為什麼巢狀函數會產生多個因子？

每一層都回應它裡面那一層的變化。在 $[\sin(2x^2+1)]^3$ 中，$x$ 的變化會改變二次式，二次式改變正弦，正弦又改變立方。三個導數因子描述的就是這三個彼此連動的變化。