相關變化率例題：逐步解題指南

一支十呎長的梯子沿著牆壁滑下，同時它的底端離牆越來越遠。你知道底端的速度和梯子的長度，想求頂端的速度。一張圖和畢氏定理可以給你一個方程式，但要得到答案還需要多一個步驟：把這個方程式對時間微分。水平距離和垂直距離都在變，即使梯子的長度不變。

隱函數微分例題探討了這種以時間為基礎的計算背後、坐標層級的方法，其中包括一條垂直切線。

這就是相關變化率問題。本文對三種不同的幾何情境使用同一套標註：變數、固定關係、已知變化率與瞬間、所求變化率，以及正負號與單位檢查。依循同樣的欄位，就比較不容易太早代入數值，或是在同一張圖中把兩個速度搞混。這個方法與 OpenStax Calculus, Volume 1, §4.1 一致；這裡的數值例題與檢查則是原創的。如果導數本身還不熟悉，請先從導數指南開始。

先設定變動的量，再開始計算

選一個時間變數 $t$，並把每一個變動的長度標示成時間的函數，例如 $x(t)$ 與 $y(t)$。在圖上定義正方向。如果 $x$ 是到牆的距離，那麼「底端以 $2\text{ ft/s}$ 遠離」就表示 $dx/dt=+2\text{ ft/s}$。下降的高度，其 $dy/dt$ 是負的，即使題目問的是它下降得多快。在最後這句話中，「速率」指的是正的大小 $|dy/dt|$。

寫出一個在整個運動過程中都成立的幾何或物理關係。在變數仍是變數的時候，就把它對 $t$ 微分。這就是連鎖律的實際運用：$d[x(t)^2]/dt=2x\,dx/dt$。只有在微分之後，才把所求瞬間的測量值代入，並解出未知的變化率。最後檢查它的正負號與單位。長度的導數應該是長度每單位時間；體積的導數應該是體積每單位時間。

康乃爾大學的微積分習題單在各種幾何情境中使用相同的一般概念。上面的模板，是讓詮釋保持可見的一種方式，而不只是列出導數方程式。

例題 1：滑落的梯子

變數。 令 $x(t)$ 為底端到牆的距離，$y(t)$ 為頂端的高度，單位都是呎。以距離增加與高度增加為正。一支剛性的梯子長 $10\text{ ft}$。在所關注的瞬間，底端離牆 $6\text{ ft}$，並以 $dx/dt=+2\text{ ft/s}$ 向外移動。求 $dy/dt$。

固定關係。 直角三角形給出 $x^2+y^2=10^2=100$。在 $x=6$ 時，正的高度是 $y=\sqrt{100-36}=8\text{ ft}$。不要在微分之前就在關係式中令 $x=6$：$x$ 在那個瞬間前後都是變動的。

先微分，再代入。 由於右邊是常數，

$$2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0, \qquad \frac{dy}{dt}=-\frac{x}{y}\frac{dx}{dt}.$$

在指定的瞬間，$dy/dt=-(6/8)(2)=-1.5\text{ ft/s}$。所求變化率與檢查。 頂端帶正負號的垂直速度是負的，因為它的高度在下降。它向下的速率是 $1.5\text{ ft/s}$。比值 $x/y$ 沒有單位，所以乘上 $2\text{ ft/s}$ 得到的單位是正確的。如果在這樣的坐標選擇之下，你的結果是正的，就要回頭檢查微分後方程式中的負號。

當梯子接近地面時，$y$ 變得很小，理想化公式的量值就會變大。那是一支剛性梯子在給定水平變化率之下的數學模型的特性，並不是在預測真實的梯子會無限期地維持同樣的運動。我們的答案只關乎所述的那個瞬間。

例題 2：水注入圓錐

一個圓錐形的水槽尖端朝下。它的總高度是 $12\text{ cm}$，頂部半徑是 $4\text{ cm}$。水以 $dV/dt=+6\pi\text{ cm}^3/\text{s}$ 注入。求水深為 $h=6\text{ cm}$ 時，水深上升的速率。

變數。 令 $h(t)$ 為水深，$r(t)$ 為圓形水面的半徑。兩者都在變。水的體積 $V(t)$ 也在變。固定關係。 相似三角形給出 $r/h=4/12=1/3$，所以 $r=h/3$。水所形成的圓錐的體積是 $V=(\pi/3)r^2h$。現在就代入變數之間的關係：$V=(\pi/27)h^3$。這並不會把 $h$ 凍結在它最終的值。

先微分，再代入。 套用連鎖律：

$$\frac{dV}{dt}=\frac{\pi}{9}h^2\frac{dh}{dt}.$$

在 $h=6\text{ cm}$ 時，這變成 $6\pi=(\pi/9)(36)\,dh/dt=4\pi\,dh/dt$。因此 $dh/dt=1.5\text{ cm/s}$。

所求變化率與檢查。 正號與上升的水面相符。因子 $(\pi/9)h^2$ 的單位是平方公分；用每秒立方公分的輸入變化率除以它，剩下的是每秒公分。在那個瞬間 $r=2\text{ cm}$，這也驗證了相似三角形的幾何關係。如果把水槽固定的半徑 $4$ 與水當前的半徑 $2$ 搞混，就會得到不同而且不正確的變化率。

另一條路徑是：在 $dr/dt$ 與 $dh/dt$ 都出現的情況下對 $V=(\pi/3)r^2h$ 微分，再使用 $dr/dt=(1/3)dh/dt$。它會得到相同的結果。在微分之前就把 $r$ 換成 $h/3$ 比較短，因為幾何關係已經把問題化簡成只剩一個變動的長度。

例題 3：行人與移動的影子

一盞燈位於水平地面上方 $6\text{ m}$ 處。一位身高 $2\text{ m}$ 的人，以 $dx/dt=+1.5\text{ m/s}$ 直接遠離燈的底座走去。令 $x(t)$ 為此人到燈的距離，$s(t)$ 為此人影子的長度。求影子長度的變化率，以及影子末端的速率。

變數。 正的距離指向遠離燈的方向。影子末端位於離燈 $x+s$ 的距離處。這是兩個不同的長度，所以 $ds/dt$ 與 $d(x+s)/dt$ 是兩個不同的所求變化率。固定關係。 相似三角形把燈的高度與到末端的距離相比，並把人的身高與影子長度相比：

$$\frac{6}{x+s}=\frac{2}{s}.$$

交叉相乘得到 $6s=2x+2s$，因此 $s=x/2$。只要理想化的直線幾何成立，這個關係就成立。微分。 $ds/dt=(1/2)dx/dt=0.75\text{ m/s}$。影子的長度以這個速率增長。

所求的末端變化率與檢查。 末端的位置是 $p=x+s=3x/2$，所以 $dp/dt=dx/dt+ds/dt=1.5+0.75=2.25\text{ m/s}$。末端的移動比行人快；它不是只以影子長度的變化率在移動。兩個變化率都是正的，單位都是公尺每秒。如果行人站著不動，$dx/dt=0$，兩個導數都變成零，這是一個立即可做的極限檢查。

使用結果，再檢驗設定

梯子、圓錐與影子的問題，都用了一個在一段運動期間內成立的關係。指定某個瞬間的數字，只在微分之後才進場。然而詮釋會隨問題而改變：梯子產生負的高度變化率，圓錐從體積輸入產生正的水深變化率，影子則有兩個不同的正變化率。這個標註表讓你不必背三個互不相干的訣竅，就能比較這些差異。

作為練習，先改變其中一個給定的變化率，同時保持幾何不變。如果梯子的底端在同樣 $6\text{ ft}$ 的位置以 $1\text{ ft/s}$ 向外移動，頂端的變化率會減半，成為 $-0.75\text{ ft/s}$。如果圓錐的體積輸入在同樣的水深加倍，$dh/dt$ 也會加倍。這些比例檢查可以抓出算術錯誤，但不能取代推導幾何關係。Math Zen 可以幫助你一題一題地練習必備的導數規則；AP 微積分準備則把這類題目與微分的其他應用放在一起。

在接受一個相關變化率的答案之前，重讀題目中的名詞：底端、頂端、水位、影子長度，或是影子末端。把這個名詞寫在最後的導數旁邊。正確地求出了錯誤那個量的導數，仍然是錯誤的答案。然後把正負號與所選的正方向對照，並化簡單位。這兩個小小的檢查，往往就足以揭露一個原本看似有說服力的錯誤。