隱函數微分例題：三個完整範例與切線檢查

方程式 $x^2+y^2=25$ 描述的是一個圓。它並沒有把 $y$ 表示成 $x$ 的單一公式：對大多數 $x$ 來說，它的上半圓與下半圓給出不同的 $y$ 值。然而，你仍然可以求出任一半圓上某個點的斜率。隱函數微分是對關係式本身微分，同時把 $y$ 在局部上視為 $x$ 的函數。本指南會走過整個計算，將每個答案對照原方程式驗算，並精確指出一般的斜率公式在哪裡不再適用。

如果你需要先認識斜率的概念，請閱讀導數衡量的是什麼。連鎖律例題解釋了為什麼對 $y$ 的式子微分會多出一個因子。這裡我們把這些規則用在同時含有兩個變數的方程式上。

當 y 沒有被單獨解出時，有什麼不同？

對於像 $y=x^2+1$ 這樣的顯函數，微分得到 $dy/dx=2x$。對於像 $x^2+y^2=25$ 這樣的關係式，一個點可以沿著曲線移動，同時兩個坐標都在改變。在局部，也就是曲線可以寫成 $y(x)$ 的地方，$y^2$ 這一項指的是 $(y(x))^2$。因此，連鎖律給出

$$\frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}.$$

那個 $dy/dx$ 因子是最常被漏掉的一步。它不是任意的裝飾：平方會隨著它的輸入 $y$ 改變而改變，而 $y$ 又隨著 $x$ 改變而改變。同樣的推理給出 $d(y^3)/dx=3y^2(dy/dx)$ 與 $d(\sin y)/dx=\cos y(dy/dx)$。像 $xy$ 這樣的混合項，還需要用到乘法微分法則：$d(xy)/dx=y+x(dy/dx)$。Paul Garrett 的 Math Insight 複習走過了這種規則的組合。

這個方法在各個例子中是一致的：

1. 檢查所求的點是否滿足原方程式。曲線之外的點上的斜率沒有意義。
2. 對每一項關於 $x$ 微分。只要被微分的項依賴 $y$，就附上 $dy/dx$。
3. 把含 $dy/dx$ 的項集中起來，提出公因式，而且只有在該因式不為零時才相除。
4. 代入該點，並將斜率對照局部的形狀、另一個分支，或切線方程式來檢查。

不要在微分之前就代入點。這麼做會把坐標值變成常數，抹掉你想要測量的變化。同時也要保留尚未相除的導數方程式：當相除後的公式分母為零時，它可以顯示出鉛直切線。

例題 1：圓，一般的切線

求 $x^2+y^2=25$ 在 $(3,4)$ 的斜率。先檢查該點是否在曲線上：$3^2+4^2=9+16=25$。這個點在圓上。對等號兩邊微分，把 $y$ 視為 $y(x)$：

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0.$$

移項 $2x$，並在 $y\ne0$ 的條件下除以 $2y$：

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y},\qquad y\ne0.$$

在 $(3,4)$，斜率是 $-3/4$。通過該點的切線是 $y-4=-(3/4)(x-3)$。在上半圓上稍微往右移動時，高度會下降，所以負號是合理的。你可以不必相信符號運算的步驟就做檢查：上半圓的分支是 $-5<x<5$ 時的 $y=\sqrt{25-x^2}$，它的導數是 $-x/\sqrt{25-x^2}$。在 $x=3$，同樣得到 $-3/4$。下半圓的 $y$ 不同，因此在同一個 $x$ 上斜率也不同。

分支的檢查很重要，因為這個關係式不是單一的整體函數 $y(x)$。隱函數微分給出的是通過指定的點的局部分支的斜率。當好幾個點共用同一個 $x$ 值時，$y$ 坐標不能被丟掉。

一條曲線，兩種切線

現在保留同一個圓，但移到 $(5,0)$。它在曲線上，因為 $5^2+0^2=25$。代入 $-x/y$ 會除以零。報出一個數值斜率，或說這條曲線沒有切線，都會是錯誤。回到相除之前的方程式：

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0.$$

在 $(5,0)$，如果有限的 $dy/dx$ 存在，這會要求 $10+0(dy/dx)=0$。沒有任何有限的值可以滿足它。從幾何上看，圓到達了最右邊的點，然後轉回去。它在那裡的切線是鉛直線 $x=5$，其 $dy/dx$ 無定義。這個關係式作為一條曲線仍然是平滑的；只是在那個點上，它無法局部地表示成 $x$ 的可微函數。

還有一種互補的檢查方式。把 $x$ 視為 $y$ 的局部函數：$2x(dx/dy)+2y=0$，所以在 $x\ne0$ 時 $dx/dy=-y/x$。在 $(5,0)$，$dx/dy=0$。當 $y$ 稍微改變時，$x$ 只在更高階的程度上改變，這正是鉛直切線的圖像。在 $(0,5)$ 角色互換：$dy/dx=0$，所以切線是水平的。這些敘述談的是一般的切線幾何，而不是容許在任一公式中除以零的許可。

例題 2：混合的乘積與三項

求 $x^2+xy+y^2=7$ 在 $(1,2)$ 的 $dy/dx$。點的檢查給出 $1+2+4=7$。逐項微分。第一項的導數是 $2x$；乘積 $xy$ 貢獻 $y+x(dy/dx)$；而 $y^2$ 貢獻 $2y(dy/dx)$：

$$2x+y+x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=0.$$

把含導數的項集中起來並提出公因式：

$$(x+2y)\frac{dy}{dx}=-(2x+y),\qquad \frac{dy}{dx}=-\frac{2x+y}{x+2y}\quad\text{當 }x+2y\ne0.$$

在 $(1,2)$，分子是 $4$，分母是 $5$，所以斜率是 $-4/5$。切線是 $y-2=-(4/5)(x-1)$。直接在該點檢查微分後的方程式：$2(1)+2+1(-4/5)+2(2)(-4/5)=4-4=0$。這個代入同時檢驗了乘法微分法則的貢獻與最後的分數。如果你把 $xy$ 微分成只有 $x(dy/dx)$，你就會漏掉獨立的 $y$，得到錯誤的斜率。

相除的條件 $x+2y\ne0$ 是結果的一部分，即使你所求的點滿足它。分母在其他地方變成零的情形，需要像圓的例子那樣，從尚未相除的方程式另外分析。單一的符號分數，永遠不能獨自回答每一個關於切線的問題。

例題 3：三次關係式

考慮 $y^3+xy=2$ 在 $(1,1)$。檢查：$1^3+1\cdot1=2$。微分時，對立方項用連鎖律，對 $xy$ 用乘法微分法則：

$$3y^2\frac{dy}{dx}+y+x\frac{dy}{dx}=0.$$

提出公因式後，

$$(3y^2+x)\frac{dy}{dx}=-y,\qquad \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{3y^2+x}\quad\text{若 }3y^2+x\ne0.$$

在 $(1,1)$ 這給出 $-1/4$，所以切線是 $y-1=-(1/4)(x-1)$。把答案代回微分後的方程式：$3(-1/4)+1+(-1/4)=0$。這個快速的殘差檢查，能抓出漏掉的三倍因子或正負號錯誤。它本身並不能證明整個推導，但它是一個有用的最後過濾。

診斷漏掉因子的錯誤

假設有人把 $x^2+y^2=25$ 微分成 $2x+2y=0$。這不是切線斜率的方程式。它把 $y$ 當作 $dy/dx=1$ 來處理，儘管圓已經決定了 $y$ 如何隨 $x$ 變化。在 $(3,4)$，它說 $6+8=0$，立刻產生矛盾。正確的導數 $2x+2y(dy/dx)=0$，則給出 $6+8(-3/4)=0$。

第二個陷阱是先相除，之後才問問題。公式 $-x/y$ 在 $y\ne0$ 的地方有效；它並沒有宣告端點 $(\pm5,0)$ 不存在。把原關係式、點的檢查與尚未相除的導數放在一起。這三部分的紀錄，會告訴你在公式無定義的地方發生什麼事。

如果一個問題是隨著時間而變，而不是隨著 $x$ 而變，同樣的連鎖律想法就變成相關變率：把 $dy/dx$ 換成適當的時間導數，並追蹤單位。要練習這個方法底下的導數規則，請使用 Math Zen 的導數主題。一個好的自我測驗，是用另一個有效的點重做例題 2，並在計算斜率之前先驗證該點滿足方程式。

常見問題

為什麼 $y$ 的每一個導數都需要 $dy/dx$？ 因為沿著局部分支，$y$ 會隨 $x$ 變化。連鎖律把對 $y$ 的導數乘以 $dy/dx$。例如，$d(y^3)/dx=3y^2(dy/dx)$。

我可以先把 $y$ 解出來嗎？ 可以，如果這麼做方便，而且你選了正確的分支與定義域的話。圓的上半分支在 $(3,4)$ 給出與隱函數微分相同的斜率。顯式地解出來可能很困難，或者會引入多個分支，這就是對關係式微分之所以有用的原因。

$dy/dx$ 無定義，一定代表鉛直切線嗎？ 不一定。無定義的分數是一個提示，要你去檢視原曲線與尚未相除的導數。在這個圓上的 $(5,0)$，鉛直切線可以由幾何與 $dx/dy=0$ 兩方面確認。其他曲線上的奇異點，行為可能不同。

解完之後最快的檢查是什麼？ 確認該點在原曲線上，把你的斜率代入尚未相除的微分後方程式，並檢查用來解出 $dy/dx$ 時所用的任何分母。這三項檢查能抓出不同的錯誤。