合成函數直覺理解：順序、函數值與定義域

假設一家外送服務每公里收 3 元，再加上 5 元的預約費。4 公里的行程，你要把 4 乘以 3，再加 5。你已經把一個規則的輸出，送進了另一個規則。這就是函數合成。

這個記號看起來可能比實際動作更難。如果 $g(x)=3x$ 計算距離費用，而 $f(x)=x+5$ 加上預約費，那麼總額是 $f(g(4))=f(12)=17$ 元。內層規則先執行。除非定價規則真的這樣規定，否則你不能先把預約費加到距離上，再去相乘。

由內往外讀順序

合成函數把一個函數放進另一個函數裡面：

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))$$

讀作「$f$ 在 $g$ 之後」。先求出 $g(x)$。然後用那個輸出作為 $f$ 的輸入。這個小圓圈是合成的符號，不是乘法。OpenStax 的合成函數章節定義了這個運算，並明確說明了順序。

取 $f(x)=2x+1$ 與 $g(x)=x^2-3$。要形成 $f(g(x))$，把 $f$ 中的輸入位置換成整個運算式 $x^2-3$：

$$f(g(x))=2(x^2-3)+1=2x^2-5$$

在 $x=4$ 時，內層規則給出 $g(4)=16-3=13$，外層規則給出 $f(13)=27$。運算式吻合：$2(4)^2-5=27$。把兩步驟的計算與合併後的運算式對照檢查，可以抓到放錯位置的括號。

函數記號是讓位置保持清楚可見的方法。如果 $f(t)=2t+1$，那麼 $f(x^2-3)=2(x^2-3)+1$。用來代表位置的字母，不影響規則。我們的函數指南在把函數串接起來之前，先談了輸入、輸出與定義域。

把順序反過來比較

對同樣兩個函數，$g(f(x))$ 改由 $f$ 開始：

$$g(f(x))=(2x+1)^2-3=4x^2+4x-2$$

在 $x=4$ 時，$f(4)=9$ 而 $g(9)=78$。這不是 $f(g(4))$ 得到的 27。兩者都是有效的合成，但它們問的是不同的問題。你在做代數之前就能看出差別：一條鏈是先平方再加倍，另一條是先加倍再加一，然後平方。

某一個輸入處的巧合，並不會讓兩個合成函數相同。要確立它們作為函數相等，需要在共同的定義域上比較規則，並檢查它們的定義域一致。對於一般的習題，把兩個運算式都算出來並化簡。請記得 $f(g(x))$ 既不是 $g(f(x))$，也不是乘積 $f(x)g(x)$。

一個實用的標註是 $x\xrightarrow{g}g(x)\xrightarrow{f}f(g(x))$。在代入任何東西之前，先寫出第一個箭頭。當內層規則含有分數、根號或一張數值表時，這特別有用。

從表格或圖形求值

你不需要公式也能合成函數。假設一張表格給出：

要求 $f(g(2))$，先從第一列讀出 $g(2)=4$。現在用 4 作為 $f$ 的輸入：$f(4)=7$。答案是 7。若順序相反，$f(2)=6$，但表格沒有給出 $g(6)$ 的值。你無法從這張表格讀出 $g(f(2))$。如果完整的函數在別處有定義，它可能存在；但光憑所列出的值，無法確定它。

圖形的運作方式相同。在輸入 2 處，移到 $g$ 的圖形上讀出它的高度，比方說是 4。然後再從 $f$ 的圖形上輸入 4 的位置重新開始，讀出它的高度，比方說是 7。第一個高度成為第二個水平坐標。不要在 $x=2$ 處同時讀出兩個高度再把它們組合。如果任一個圖形在所需的輸入處沒有點，合成函數在該處就沒有定義。

請注意「不在這張部分表格中」與「在定義域之外」的差別。一張簡短的表格可能漏掉一個實際存在的值。有明確空心圓或標明端點的圖形，則可以顯示某個值被排除。請說明你手上有什麼證據，而不是編造缺少的輸出。

化簡之前先檢查定義域

$f(g(x))$ 的定義域有兩道關卡。第一，$x$ 必須在 $g$ 的定義域內。第二，所得的 $g(x)$ 必須在 $f$ 的定義域內。OpenStax 正是以這種輸入與輸出的形式陳述這條規則。

要讓合成函數在某些輸入處存在，並不需要 $g$ 的整個值域都落在 $f$ 的定義域內。只保留兩個階段都行得通的輸入。例如，平方可以接受每一個實數，而之後的平方根只能接受非負的輸出；因為平方值是非負的，所以這樣的組合對每個實數輸入都成立。把內層規則改成減法，允許的集合就可能縮小。要檢查實際的交接，而不是只孤立地看兩個公式。

令 $g(x)=x-1$ 與 $f(t)=\sqrt{t}$，輸出取實數。內層規則接受每個實數，但外層的平方根只接受非負的輸入。因此：

$$f(g(x))=\sqrt{x-1},\qquad x\geq1$$

把順序反過來。現在 $f(x)=\sqrt{x}$ 先執行，$g$ 之後再減一：

$$g(f(x))=\sqrt{x}-1,\qquad x\geq0$$

這兩個運算式不同，它們的定義域也不同。在 $x=0$ 時，第二個合成函數給出 $-1$，而第一個在實數範圍內沒有定義。這比找出某一個它們的值不同的輸入，是更具決定性的比較。

分母會造成另一道關卡。假設 $g(x)=1/(x-2)$ 與 $f(t)=t+3$。那麼 $f(g(x))=1/(x-2)+3$，但 $x=2$ 仍然被禁止，因為內層規則在那裡沒有定義。

約分永遠不能修復原本被禁止的輸入。令 $g(x)=(x^2-1)/(x-1)$，只在 $x\ne1$ 時有定義，並令 $f(t)=t^2$。對允許的輸入，你可以把 $g(x)$ 化簡成 $x+1$。合成運算式看起來像 $(x+1)^2$，但它的定義域仍然是 $x\ne1$。在 $x=1$ 時，原本的內層函數要求你除以零。一個在其他地方都與它一致的多項式，若不定義一個新的函數，是無法填補那個洞的。

把較大的規則拆成階段

合成也可以反過來讀，作為一個公式如何建構的描述。取 $h(x)=\sqrt{3x+2}$。一種選擇是先 $g(x)=3x+2$，再 $f(t)=\sqrt{t}$。因此 $h=f\circ g$。這種分解能快速揭示定義域：要求 $3x+2\geq0$，所以 $x\geq-2/3$。

可能有不只一種有效的分解。你可以把內層的一次規則拆成「乘以 3」與「加 2」，再把平方根當作第三步。重要的是，所說明的順序對每個允許的輸入，都能重現原本的規則。

對於圖形的變換，比較 $f(x)=x^2$ 與 $f(x-2)=(x-2)^2$。變化發生在輸入的位置內，所以拋物線向右平移 2。對於 $f(x)+2=x^2+2$，加法發生在 $f$ 之後，所以圖形向上平移 2。這就是實際運作中的合成：「先減 2 再平方」不同於「先平方再加 2」。如果代入本身讓你覺得陌生，我們的代數指南可以幫上忙。

練習三種不同的檢查

1. 兩種順序。 令 $f(x)=x+4$ 與 $g(x)=2x$。求出兩個合成函數。答案是 $f(g(x))=2x+4$ 與 $g(f(x))=2x+8$。在 $x=3$ 時，它們分別給出 10 與 14。順序改變了加上的 4 在計算中進入的位置。

2. 一道定義域關卡。 令 $f(t)=1/t$ 與 $g(x)=x^2-9$。那麼 $f(g(x))=1/(x^2-9)$。要排除 $x=3$ 與 $x=-3$，因為兩者都會讓外層的分母為零。內層的多項式本身接受每個實數。

3. 查表。 用上面的表格，計算 $g(f(3))$。首先 $f(3)=9$。表格中沒有 $g(9)$ 的資料，所以給定的表格不夠。這就是一個完整的答案，不是失敗的計算。

每做完一道習題，大聲說出哪個規則先執行、它產生了什麼值，以及下一個規則是否接受那個值。然後用一個數值輸入，驗證你的代數。在 Math Zen 的函數練習中，合成與定義域和值域的題目並列，讓你可以把這個交接當成獨立的技能來練習。

反函數是一個特例，在適當的定義域上，一個規則會還原另一個規則。要計算一般的合成函數，你不需要反函數。對這篇指南來說，可靠的順序就夠了：內層輸出、外層輸入，然後檢查定義域。