反函數一次搞懂：倒著還原步驟，別忘了定義域

一間工作坊收取 8 美元的預約費，然後使用工作檯每小時再收 5 美元。三個小時要花 23 美元。如果收據上寫著 23 美元，你預約了幾個小時？

往前算，是把小時數乘以 5 再加 8。往回算，是把收據上的金額減 8 再除以 5。這個往回算的規則就是反函數。它用同樣的關係，回答了一個不同的問題。

代數通常還應付得來。需要注意的是，往回算的規則是否只給出一個答案，以及它被允許接受哪些數。

先還原最後一步

以工作坊為例，把費用寫成

$$f(x) = 5x + 8$$

反函數必須先拿掉預約費，再還原每小時的費用：

$$f^{-1}(x) = \frac{x-8}{5}$$

驗算收據：$f^{-1}(23) = (23-8)/5 = 3$。如果先除以 5，就會把預約費攤到每小時的費用裡，得到錯誤的答案。

$f$ 的輸入是小時數；$f^{-1}$ 的輸入是美元。重複使用字母 $x$，並不表示它代表同樣的量。它只是那個函數所接受的任何東西的佔位符。

對這個模型來說，負的小時數沒有意義。原來的定義域是 $x \geq 0$，值域是 $f(x) \geq 8$。因此反函數接受至少 8 美元的費用。單從代數來看，你可以代入 3 美元，但算出的負小時數超出了這個模型的範圍。

反函數與倒數是不同的運算

$f^{-1}$ 中的上標看起來像是負的次方。在函數記號中，它代表的是反函數的名稱。它並不是要你去除以 $f(x)$。

對於同一條工作坊的規則：

$$f^{-1}(x)=\frac{x-8}{5}, \qquad \frac{1}{f(x)}=\frac{1}{5x+8}$$

第一個是從費用還原出小時數。第二個是費用的倒數，這是另一個用途不同的量。OpenStax 的反函數章節明確說明了這個記號上的區別。

你也可以把反函數叫做 $g$。寫成 $g(f(x))=x$，就不用上標，恰好說明了你需要的：先套用費用的規則，再還原出原來的小時數。

用代數求反函數

大家熟悉的程序是：寫下 $y=f(x)$，互換 $x$ 與 $y$，再解出 $y$。互換它們記錄了角色的改變：舊的輸出變成新的輸入。

來看一個新的例子：

$$y = \frac{2x-7}{3}$$

互換變數：

$$x = \frac{2y-7}{3}$$

乘以 3，加 7，再除以 2：

$$3x = 2y-7$$ $$3x+7 = 2y$$ $$y = \frac{3x+7}{2}$$

所以反函數是 $f^{-1}(x)=(3x+7)/2$。每一步都在還原原來規則中的一個運算，從最後的除以 3 開始。

Paul's Online Math Notes 給出了同樣的一般程序，以及含根式與分式函數的例題。無論式子長什麼樣子，在整理的過程中都要追蹤被排除的輸入。乘以分母並不會讓一個被禁止的值變成合法。

兩個方向都要檢查

測試一個數可以抓出算術錯誤，但它無法證明兩條規則在每個地方都互相還原。要在它們所述的定義域上使用合成函數。

以上面的例子來說，把原來的規則代入反函數：

$$f^{-1}(f(x)) = \frac{3\left(\frac{2x-7}{3}\right)+7}{2} = \frac{2x-7+7}{2}=x$$

再把反函數代入原來的函數：

$$f(f^{-1}(x)) = \frac{2\left(\frac{3x+7}{2}\right)-7}{3} = \frac{3x+7-7}{3}=x$$

這裡兩個定義域都是所有實數。如果遇到根號、對數或分數，要把定義域和檢查寫在一起。化簡後的式子，可能藏著約分之前就已經存在的限制。

如果合成還是覺得陌生，請先從我們的函數指南開始：內層規則的輸出，變成外層規則的輸入。括號要從裡面往外讀。

為什麼二次函數需要限制定義域

假設 $f(x)=(x-2)^2$。$f(1)$ 和 $f(3)$ 都等於 1。如果有人給你輸出 1，光憑規則無法告訴你他們用的是哪個輸入。

這個函數在所有實數上不是一對一的。往回的關係會對大多數輸入給出兩個答案，因此它不會是函數。

透過把原來的定義域限制在 $x \geq 2$，選擇右邊的那一支。現在反向的計算就沒有歧義了：

$$y=(x-2)^2, \qquad x \geq 2$$

因為 $x-2$ 是非負的，取算術平方根得到 $\sqrt{y}=x-2$。互換變數的名稱，寫成

$$f^{-1}(x)=2+\sqrt{x}, \qquad x \geq 0$$

反函數接受非負的數，並傳回至少為 2 的數。驗算 $f^{-1}(9)=5$，然後 $f(5)=9$。

如果你改為把原來的定義域限制在 $x \leq 2$，反函數就是 $2-\sqrt{x}$。這是兩個不同的受限函數的反函數。你不能附上正負號，就把結果稱為單一個反函數。

這個區別在一元二次方程式中同樣重要：一個方程式可以有兩個解，而函數必須對每一個被允許的輸入指派一個輸出。

在圖形上讀出反函數

如果 $f(4)=9$，原函數的圖形包含 $(4,9)$，而它的反函數包含 $(9,4)$。互換坐標，就是把點對對角線 $y=x$ 鏡射。

這也解釋了水平線檢驗。如果一條水平線與原圖形相交兩次，一個輸出就有兩個輸入。互換坐標之後，這兩個點會落在同一條鉛直線上，一個輸入就會有兩個輸出。

用上面的拋物線試試。高度 1 的水平線在 $x=1$ 和 $x=3$ 處相交。去掉左邊的那一支，它就只相交一次。現在這個圖形含有足夠的資訊，可以倒著推回去。

反函數的定義域就是原來的值域，所以先從縱向讀原圖形開始。一個輸出只出現在某個特定高度以上的圖形，不可能有接受低於該高度的數的反函數。

三個簡短的練習檢查

一次函數的規則： 求 $f(x)=7-2x$ 的反函數。從 7 中減去，再除以 2：$f^{-1}(x)=(7-x)/2$。在這個情形下，反函數的式子和原來的不同。驗算 $f(2)=3$ 與 $f^{-1}(3)=2$。

立方： 求 $g(x)=x^3+6$ 的反函數。取立方保留了足夠的資訊來區分負的與正的輸入，所以不需要限制分支。反函數是 $g^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-6}$，對每一個實數輸入都成立。

平方： 求 $h(x)=x^2+6$ 在 $x \geq 0$ 上的反函數。反函數是 $h^{-1}(x)=\sqrt{x-6}$，定義域為 $x \geq 6$。忘了最後這個條件，答案就不完整。

在檢查每個答案之前，先寫出定義域。然後驗證一次數值的來回，以及兩個代數的合成。這樣就構成一次有效的簡短練習，可在 Math Zen 中進行：用函數的練習，同時練習往前的規則、往回的規則，以及各種限制。

同樣的想法連結了指數與對數。指數取一個次方並產生一個數；它的對數則還原出那個次方。一旦你知道輸入代表什麼，以及哪些輸出是可能的，反函數就變成一個你可以推理出來的問題。