Ekvationssystem intuitivt: hitta det som uppfyller alla villkor

En ekvation ger ett villkor. Om ett kafé säljer kaffe till ett pris och te till ett annat visar dagens totala försäljning ett samband mellan de två mängderna, men vanligtvis inte deras enskilda värden. En andra oberoende uppgift kan bestämma dem.

Det är syftet med ett ekvationssystem. I stället för att fråga vad som gör ett påstående sant frågar du vad som gör flera påståenden sanna samtidigt. Ordet ”system” låter tekniskt, men grundidén är vardaglig: hitta de värden som passar alla ledtrådar.

En lösning måste uppfylla varje ekvation

Betrakta det här systemet:

$$2x + y = 11$$ $$x - y = 1$$

Paret $x = 4$ och $y = 3$ fungerar eftersom det gör båda ekvationerna sanna. I den första gäller $2(4) + 3 = 11$. I den andra gäller $4 - 3 = 1$.

Paret $x = 5$ och $y = 1$ gör den första ekvationen sann, men inte den andra. Det är därför inte en lösning till systemet. Ett system använder ”och”, inte ”eller”: både den första och den andra ekvationen måste gälla.

Det är samma innebörd av likhet som förklaras i vår algebraguide, nu tillämpad på mer än ett villkor. Variablerna byter inte identitet mellan raderna. Samma $x$ och samma $y$ måste fungera överallt.

Grafen visar vad algebran söker

Varje linjär ekvation i två variabler beskriver en linje. Ekvationen $2x + y = 11$ är en linje och $x - y = 1$ är en annan. En punkt på den första linjen uppfyller den första ekvationen. En punkt på den andra uppfyller den andra.

Systemets lösning måste ligga på båda linjerna och är därför deras skärningspunkt.

Den här bilden förklarar varför två linjära ekvationer i två variabler har tre möjliga utfall:

• Två linjer skär varandra en gång och ger en lösning.
• Skilda parallella linjer skär aldrig varandra och ger ingen lösning.
• Två ekvationer beskriver samma linje och ger oändligt många lösningar.

En graf är utmärkt för att se vilket fall du har och uppskatta en lösning. Den är mindre tillförlitlig för exakta bråk eller skärningspunkter mellan rutnätets markeringar. Algebraiska metoder hittar samma skärningspunkt utan att vara beroende av hur noggrant du ritat.

Sambandet fungerar också åt andra hållet. Föreställ dig linjerna när substitution eller elimination ger ett oväntat resultat. En motsägelse betyder att de är parallella. En identitet betyder att de sammanfaller.

Substitution ersätter lika med lika

Substitution fungerar bäst när en ekvation redan anger vad en variabel är lika med. Skriv om den andra ekvationen ovan så här:

$$y = x - 1$$

Sätt nu in $x - 1$ överallt där den första ekvationen använder $y$:

$$2x + (x - 1) = 11$$

Nu återstår bara en okänd:

$$3x - 1 = 11$$ $$3x = 12$$ $$x = 4$$

Gå tillbaka till $y = x - 1$, så att $y = 3$. Lösningen är $(4, 3)$.

Inget mystiskt har hänt. Ekvationen $y = x - 1$ säger att $y$ och $x - 1$ är samma mängd. Att ersätta den ena med den andra bevarar sanningen i den första ekvationen. Substitution omvandlar två ekvationer med två okända till en ekvation med en okänd.

Välj substitution när en variabel redan är frilagd eller när den kan friläggas i ett enkelt steg. Om det genast uppstår besvärliga bråk när du löser ut en variabel kan elimination vara kortare.

Elimination kombinerar ledtrådarna

Gå tillbaka till det ursprungliga systemet:

$$2x + y = 11$$ $$x - y = 1$$

Addera ekvationerna. Termerna $y$ och $-y$ tar ut varandra:

$$3x = 12$$

Alltså är $x = 4$, och substitution i någon av de ursprungliga ekvationerna ger $y = 3$.

Elimination fungerar eftersom du adderar lika stora mängder till lika stora mängder. Vänsterleden kan adderas eftersom högerleden också adderas. Varje par som uppfyller båda de ursprungliga ekvationerna måste uppfylla den kombinerade ekvationen.

Ibland tar koefficienterna inte ut varandra direkt. Anta att systemet är:

$$3x + 2y = 16$$ $$x + y = 6$$

Multiplicera den andra ekvationen med $-2$:

$$-2x - 2y = -12$$

Addera den till den första ekvationen för att få $x = 4$. Då gäller $4 + y = 6$, så $y = 2$. Att multiplicera hela ekvationen med ett tal skilt från noll ändrar inte dess lösningar. Det ger samma linje skriven i en annan skala.

Elimination är vanligtvis effektiv när ekvationerna redan är skrivna i standardform och ett par koefficienter är lika, bara skiljer sig åt i tecken eller har en liten gemensam multipel.

Ett textproblem byggt av två ledtrådar

Anta att en skolklubb säljer 30 biljetter. Elevbiljetter kostar 4 dollar, vuxenbiljetter kostar 7 dollar och klubben får in 156 dollar. Låt $s$ vara antalet elevbiljetter och $a$ antalet vuxenbiljetter.

Antalet biljetter ger:

$$s + a = 30$$

Pengarna ger:

$$4s + 7a = 156$$

Multiplicera den första ekvationen med $-4$ och addera:

$$-4s - 4a = -120$$ $$3a = 36$$

Alltså är $a = 12$ och $s = 18$. Kontrollera båda uppgifterna: det finns 30 biljetter och $4(18) + 7(12) = 72 + 84 = 156$.

Det svåraste var inte eliminationen. Det var att avgöra att en ekvation beskrev antalet och en annan beskrev intäkten. I de flesta tillämpningar ger varje mening ett eget villkor. Definiera variablerna med enheter, översätt varje villkor separat och lös sedan systemet.

Ingen lösning och oändligt många lösningar är meningsfulla svar

Betrakta:

$$x + y = 4$$ $$2x + 2y = 10$$

Om den första ekvationen fördubblas får vi $2x + 2y = 8$, men den andra kräver att samma uttryck ska vara lika med 10. Elimination ger $0 = 2$, en motsägelse. Inget par kan uppfylla båda. I en graf har linjerna samma lutning men olika skärningar med axeln, så de är parallella.

Ändra nu den andra ekvationen till:

$$2x + 2y = 8$$

Den är exakt dubbelt så stor som den första. Elimination ger $0 = 0$, vilket alltid är sant men inte bestämmer ett enskilt par. Båda ekvationerna beskriver samma linje, så varje punkt på linjen är en lösning.

Se inte dessa resultat som misslyckade beräkningar. De säger något om informationen. En motsägelse betyder att villkoren är oförenliga. En identitet betyder att den ena ledtråden upprepar den andra och inte tillför någon ny information.

Välj metod efter ekvationernas form

Grafritning, substitution och elimination löser samma problem. Det effektivaste valet beror på hur ekvationerna är skrivna.

Använd en graf när bilden eller en ungefärlig skärningspunkt är viktig. Använd substitution när en variabel är frilagd eller har koefficienten 1 eller -1. Använd elimination när koefficienterna redan passar ihop eller kan fås att passa med en enkel multiplikation.

En miniräknare kan rita två ekvationer och visa en skärningspunkt, men algebran är fortfarande viktig. Ett grafiskt fönster kan dölja en skärningspunkt, få nästan parallella linjer att se parallella ut eller visa ett decimaltal när det exakta bråket är poängen med uppgiften. Använd grafen som modell och kontroll, inte som ersättning för att förstå vad som räknas som en lösning.

För större system utvecklas elimination till radreduktion och matrismetoder. Vår matrisguide förklarar det större sammanhanget. Den välbekanta processen med två ekvationer innehåller redan kärnidén: kombinera villkor utan att ändra deras gemensamma lösningar.

Kontrollera paret i det ursprungliga systemet

Det säkraste sista steget är substitution i varje ursprunglig ekvation. Kontrollera inte bara den reducerade ekvation du skapade, eftersom den innehåller mindre information än hela systemet.

För $(4, 3)$ i inledningsexemplet:

$$2(4) + 3 = 11$$ $$4 - 3 = 1$$

Båda påståendena är sanna, så paret är bekräftat. Fråga också om svaret passar sammanhanget. Ett negativt antal biljetter kan uppfylla felaktigt översatt algebra men ändå inte lösa det verkliga problemet.

Vanliga fel är mekaniska: att bara multiplicera en term i en ekvation, byta tecken när rader adderas, sätta in i fel uttryck eller hitta en variabel och sedan stanna. Genom att skriva en operation över hela ekvationen och hålla kolumnerna raka undviker du de flesta av dem.

Öva på att känna igen rätt steg

Färdighet kommer av att välja metod, inte av att upprepa samma metod tjugo gånger i rad. Blanda system som passar för substitution med system som passar för elimination. Ta med fall utan lösning och med oändligt många lösningar så att $0 = 5$ och $0 = 0$ blir information i stället för överraskningar.

Math Zens algebraområde innehåller en övning om linjära system för fokuserad träning. Behåll tolkningen tillsammans med metoden: varje ekvation är ett villkor och lösningen måste uppfylla dem alla.

Ett ekvationssystem är inte två orelaterade uppgifter som staplats på varandra. Det är en enda sökning som begränsas av flera ledtrådar. Grafen kallar svaret en skärningspunkt. Substitution kallar det en ersättning. Elimination kallar det vad som återstår när en variabel försvinner. Alla tre är olika sätt att se på samma fråga: vilka värden gör alla villkor sanna samtidigt?