Varför vänds olikhetstecknet när man multiplicerar med ett negativt tal?

Att multiplicera med ett negativt tal vänder ordningen för varje talpar på tallinjen. Eftersom 2 är mindre än 5 men minus 2 är större än minus 5, måste jämförelsen skrivas åt andra hållet för att förbli sann. Att addera eller subtrahera flyttar båda sidor lika mycket och ändrar inte ordningen.

Vad är skillnaden mellan att lösa en ekvation och att lösa en olikhet?

En ekvation har oftast en eller några få lösningar. En olikhet beskriver ett helt intervall av värden, så svaret är ett intervall eller en union av intervall. Stegen liknar varandra, men du måste hålla reda på riktningen och tolka resultatet som en mängd.

Hur löser jag en sammansatt olikhet?

Behandla den som två olikheter som båda måste gälla. För en kedja som 1 är mindre än 2x plus 3, som är högst 9, tillämpar du varje steg på alla tre delarna samtidigt, eller delar upp den i två separata olikheter och kombinerar resultaten.

Hur löser jag en olikhet med absolutbelopp?

Läs absolutbeloppet som ett avstånd till noll. Olikheten absolutbeloppet av x mindre än 3 betyder att x ligger inom 3 från noll, så minus 3 är mindre än x, som är mindre än 3. Olikheten absolutbeloppet av x större än 3 betyder att x ligger längre än 3 från noll, vilket ger två separata strålar.

Kan jag dividera båda sidor av en olikhet med en variabel?

Bara om du känner till dess tecken. Om variabeln kan vara både positiv och negativ kan division med den vända tecknet eller inte, så dela upp i fall eller flytta allt till en sida och analysera uttryckets tecken i stället.

Olikheter intuitivt: varför tecknet vänds och vad svaret betyder

En ekvation ställer en snäv fråga: vilket tal gör båda sidor lika? En olikhet ställer en bredare fråga: vilka tal gör ena sidan större än den andra? Svaret är inte en punkt utan en sträcka på tallinjen, och det mesta av förvirringen kring olikheter kommer från att den sträckan behandlas som om den vore ett enda värde.

Mekaniken är i stort sett densamma som för ekvationer. Du adderar, subtraherar, multiplicerar och dividerar för att isolera variabeln. En regel skiljer sig, och det är den regel alla minns men få kan förklara: att multiplicera eller dividera med ett negativt tal vänder tecknet.

Den här artikeln bygger upp bilden som gör vändningen självklar, och använder den sedan för sammansatta olikheter, absolutbelopp och det kvadratiska fallet, där ett tecken hos en produkt är hela frågan. Känns negativa tal fortfarande hala, är vår guide om negativa tal rätt ställe att börja.

En olikhet är en mängd, inte ett tal

Ta $x + 2 < 7$ . Subtrahera 2 från båda sidor och du får $x < 5$ . Det betyder inte att ”svaret är 5”. Svaret är varje tal till vänster om 5 på tallinjen: 4, 0, $-100$ , 4.999 och så vidare. Fem självt är uteslutet, därför använder tallinjebilden en öppen cirkel vid 5 och skuggar allt till vänster om den.

Byt symbolen till $\le$ och 5 ansluter till mängden: cirkeln fylls i. Den lilla skillnaden är verklig. ”Mindre än 5” och ”högst 5” beskriver olika mängder, och en tentafråga om hur många heltal som uppfyller en olikhet beror på detta.

Att skriva lösningen som ett intervall håller det ärligt. $x < 5$ är $(-\infty, 5)$ ; $x \le 5$ är $(-\infty, 5]$ . Den runda parentesen utesluter ändpunkten, den hakiga inkluderar den. Oavsett vilken notation du använder, kontrollera svaret genom att välja ett tal inom intervallet och ett utanför och testa båda i den ursprungliga olikheten.

Addition och subtraktion behåller ordningen

Föreställ dig två tal på tallinjen, 2 och 5. Addera 3 till båda: 5 och 8. Subtrahera 10 från båda: $-8$ och $-5$ . I varje fall förblir det första till vänster om det andra. Att flytta båda talen med samma mängd förskjuter bilden utan att ändra vilket som är störst.

Därför kan du addera eller subtrahera vad som helst på båda sidor av en olikhet fritt, precis som med ekvationer. Att flytta termer är säkert. Teckenriktningen påverkas inte.

Detsamma gäller multiplikation eller division med ett positivt tal. Multiplicera 2 och 5 med 3 och du får 6 och 15; ordningen behålls. Positiv skalning sträcker eller pressar ihop tallinjen men vänder den aldrig.

Att multiplicera med ett negativt tal vänder linjen

Multiplicera nu 2 och 5 med $-1$ . Du får $-2$ och $-5$ . På tallinjen ligger $-5$ till vänster om $-2$ . Ordningen har vänts: $2 < 5$ , men $-2 > -5$ .

Det är hela regeln. Att multiplicera med ett negativt tal speglar tallinjen genom noll, och en spegling vänder vänster och höger. Varje jämförelse vänds med den. Så när du multiplicerar eller dividerar båda sidor av en olikhet med ett negativt tal måste du vända tecknet för att påståendet ska förbli sant.

Arbeta igenom det på $-3x > 12$ . Dividera båda sidor med $-3$ och vänd: $x < -4$ . Testa: $x = -5$ ger $-3(-5) = 15$ , vilket är större än 12. $x = 0$ ger 0, vilket inte stämmer. Det vända svaret är det korrekta.

Känns vändningen godtycklig, undvik den. Addera i stället $3x$ till båda sidor: $0 > 12 + 3x$ , subtrahera sedan 12: $-12 > 3x$ , och dividera sedan med positiva 3: $-4 > x$ . Samma svar, utan division med ett negativt tal. Båda vägarna fungerar; poängen är att veta varför regeln finns så att du kan välja.

Dividera aldrig med något vars tecken du inte känner till

Samma logik förklarar en fälla som fångar starka elever. Betrakta $\frac{2}{x} > 1$ . Frestelsen är att multiplicera båda sidor med $x$ och få $2 > x$ . Men om $x$ är negativt borde den multiplikationen ha vänt tecknet, och ”lösningen” innehåller nu negativa tal som inte fungerar: $x = -1$ ger $-2 > 1$ , vilket är falskt.

Den säkra metoden är att flytta allt till en sida och studera uttryckets tecken: $\frac{2}{x} - 1 > 0$ , alltså $\frac{2 - x}{x} > 0$ . Det bråket är positivt när täljare och nämnare har samma tecken, vilket gäller för $0 < x < 2$ . Tallinjen med de kritiska punkterna 0 och 2 markerade gör detta synligt på några sekunder.

När en variabel förekommer i en nämnare eller som en faktor du vill dividera med, fråga om dess tecken är känt. Om inte, dela upp i fall eller använd teckenanalys.

Sammansatta olikheter är två villkor på en gång

Ett påstående som $1 < 2x + 3 \le 9$ är två olikheter som delar en mitt: $1 < 2x + 3$ och $2x + 3 \le 9$ . Båda måste gälla. Du kan lösa dem separat och skära svaren, eller tillämpa varje steg på alla tre delarna på en gång, vilket går snabbare när variabeln bara förekommer i mitten.

Subtrahera 3 genomgående: $-2 < 2x \le 6$ . Dividera med 2: $-1 < x \le 3$ . Lösningen är intervallet $(-1, 3]$ : öppet vid $-1$ , slutet vid 3.

Ordet ”eller” ger en annan bild. ” $x < -1$ eller $x > 3$ ” är två separata strålar med ett mellanrum, och lösningsmängden är deras union, inte deras överlapp. Läs bindeordet innan du ritar något. ”Och” gör smalare; ”eller” gör bredare.

Olikheter med absolutbelopp handlar om avstånd

Uttrycket $|x|$ är avståndet från $x$ till noll. Så snart du läser det så, slutar de två standardformerna behöva utantillregler.

$|x| < 3$ säger att avståndet till noll är mindre än 3, så $x$ ligger strikt mellan $-3$ och 3: $-3 < x < 3$ . Ett intervall.

$|x| > 3$ säger att avståndet till noll är större än 3, så $x$ ligger bortom 3 åt endera hållet: $x < -3$ eller $x > 3$ . Två strålar.

Samma bild fungerar med en förskjutning. $|x - 4| \le 2$ betyder att avståndet från $x$ till 4 är högst 2, så $x$ ligger inom 2 från 4: $2 \le x \le 6$ . Rita centrum, markera radien, och intervallet framträder innan du skriver en enda rad algebra.

Andragradsolikheter: hitta rötterna, kontrollera sedan tecknet

För $x^2 - 5x + 6 < 0$ , faktorisera: $(x - 2)(x - 3) < 0$ . En produkt är negativ exakt när dess faktorer har motsatta tecken. Markera rötterna 2 och 3 på en tallinje; de delar den i tre regioner. Testa ett tal från varje: $x = 0$ ger en positiv produkt, $x = 2.5$ ger en negativ, $x = 4$ ger en positiv. Olikheten gäller bara i den mellersta regionen, så lösningen är $2 < x < 3$ .

Misstaget att undvika är att behandla olikheten som ekvationen och skriva ” $x < 2$ och $x < 3$ ”, vilket är meningslöst som ett kombinerat påstående. Rötterna är regionens gränser, inte svaret. Vår guide om andragradsekvationer går igenom hur man hittar de rötterna; olikhetssteget är alltid teckenkontrollen som följer.

Att skissa parabeln ger samma resultat. $y = x^2 - 5x + 6$ öppnar sig uppåt och dyker under axeln mellan sina rötter, så den är negativ bara där. För en parabel som öppnar sig nedåt vänds bilden, och svaret, om.

En checklista som förhindrar de vanliga felen

Bestäm om tecknet är strikt eller inkluderande innan du börjar, och behåll det valet till slutsvaret.
Addera och subtrahera fritt. Multiplicera eller dividera med positiva tal fritt.
När du multiplicerar eller dividerar med ett negativt tal, vänd tecknet i samma steg. Skriv ner vändningen; håll den inte bara i huvudet.
Dividera inte med en variabel eller ett uttryck med okänt tecken. Flytta termer till en sida och analysera tecknet i stället.
För ”och”, ta snittet. För ”eller”, ta unionen. Rita båda på en och samma tallinje.
Läs $|\,\cdot\,|$ som avstånd. Mindre än ger ett intervall; större än ger två strålar.
För andragradsolikheter, hitta rötterna, testa ett värde i varje region och ange regionerna där olikheten gäller.
Kontrollera svaret med ett tal inom lösningsmängden och ett utanför.

Öva på det här i Math Zens algebraavsnitt, där olikhetsfärdigheterna genererar nya problem varje gång och visar lösningen när teckenkontrollen går fel. Algebraguiden går igenom de ekvationslösande steg som olikheter delar.

En olikhet är en beskrivning av en region. Varje regel ovan är ett sätt att flytta eller spegla den regionen utan att tappa bort var den befinner sig. Håll tallinjen i sikte, så slutar vändningen vara en regel att lära utantill och blir något du kan se.