Sammansatta funktioner: ordning, värden och definitionsmängd

Anta att en budtjänst tar 3 dollar per kilometer och sedan lägger på en bokningsavgift på 5 dollar. För en resa på 4 kilometer multiplicerar du först 4 med 3 och lägger sedan till 5. Utdata från den första regeln går vidare genom en andra regel. Det är funktionssammansättning.

Beteckningen kan se svårare ut än själva handlingen. Om $g(x)=3x$ räknar ut avgiften för sträckan och $f(x)=x+5$ lägger till grundavgiften blir totalen $f(g(4))=f(12)=17$ dollar. Den inre regeln körs först. Du kan inte lägga avgiften till sträckan före multiplikationen om prissättningen inte faktiskt säger det.

Läs ordningen inifrån och ut

En sammansatt funktion placerar en funktion inuti en annan:

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))$$

Läs detta som ”$f$ efter $g$”. Beräkna först $g(x)$. Använd sedan resultatet som indata till $f$. Cirkeln är symbolen för sammansättning, inte multiplikation. OpenStax avsnitt om funktionssammansättning definierar operationen och visar ordningen tydligt.

Låt $f(x)=2x+1$ och $g(x)=x^2-3$. För att bilda $f(g(x))$ ersätter du indataplatsen i $f$ med hela uttrycket $x^2-3$:

$$f(g(x))=2(x^2-3)+1=2x^2-5$$

Vid $x=4$ ger den inre regeln $g(4)=16-3=13$, och den yttre regeln ger sedan $f(13)=27$. Det sammanslagna uttrycket stämmer: $2(4)^2-5=27$. Genom att jämföra tvåstegsberäkningen med slututtrycket kan du upptäcka en felplacerad parentes.

Funktionsnotationen visar var indata ska sättas in. Om $f(t)=2t+1$, följer $f(x^2-3)=2(x^2-3)+1$. Bokstaven som används för indata ändrar inte regeln. Vår guide om funktioner går igenom indata, utdata och definitionsmängd innan reglerna kedjas ihop.

Byt ordning och jämför

För samma två funktioner börjar $g(f(x))$ i stället med $f$:

$$g(f(x))=(2x+1)^2-3=4x^2+4x-2$$

Vid $x=4$ får du $f(4)=9$ och därefter $g(9)=78$. Det är inte 27 från $f(g(4))$. Båda sammansättningarna är giltiga, men de svarar på olika frågor. Skillnaden syns redan före algebran: i ena kedjan kvadreras indata före dubbleringen, i den andra dubbleras talet och ett läggs till före kvadreringen.

Att resultaten råkar vara lika för ett indatavärde gör inte två sammansatta funktioner identiska. För att visa att funktionerna är lika måste du jämföra reglerna på deras gemensamma område och se till att definitionsmängderna är lika. Beräkna och förenkla båda uttrycken i vanliga uppgifter. Kom ihåg att $f(g(x))$ varken är $g(f(x))$ eller produkten $f(x)g(x)$.

En praktisk skiss är $x\xrightarrow{g}g(x)\xrightarrow{f}f(g(x))$. Skriv den första pilen innan du sätter in något. Det är särskilt användbart om den inre regeln innehåller bråk, rötter eller en värdetabell.

Beräkna från en tabell eller graf

Du behöver inga formler för att sätta samman funktioner. Anta att en tabell visar:

$x$	1	2	3	4
$g(x)$	3	4	1	2
$f(x)$	8	6	9	7

För $f(g(2))$ läser du först $g(2)=4$ i den första raden. Använd nu 4 som indata till $f$: $f(4)=7$. Svaret är 7. I motsatt ordning är $f(2)=6$, men tabellen ger inget värde för $g(6)$. Du kan inte läsa av $g(f(2))$ här. Värdet kan finnas om hela funktionen är definierad någon annanstans; de visade värdena fastställer inte det.

En graf fungerar på samma sätt. Vid indata 2 går du först till grafen för $g$ och läser av höjden, säg 4. Börja sedan om vid indata 4 på grafen för $f$ och läs av höjden, säg 7. Den första höjden blir den andra vågräta koordinaten. Läs inte av båda höjderna vid $x=2$ och kombinera dem. Om någon av graferna saknar punkt vid den indata som krävs är sammansättningen inte definierad där.

Skilj mellan ”saknas i denna deltabell” och ”ligger utanför definitionsmängden”. En kort tabell kan utelämna ett värde som faktiskt finns. En öppen punkt eller angiven ändpunkt i en graf kan däremot visa att ett värde är uteslutet. Beskriv vilka uppgifter du har i stället för att hitta på ett saknat utvärde.

Kontrollera definitionsmängden före förenkling

Definitionsmängden för $f(g(x))$ har två villkor. Först måste $x$ ligga i definitionsmängden för $g$. Sedan måste resultatet $g(x)$ vara tillåten indata till $f$. OpenStax uttrycker regeln just som den här överföringen från utdata till indata.

Hela värdemängden för $g$ behöver inte rymmas i definitionsmängden för $f$ för att sammansättningen ska finnas för vissa indata. Behåll bara de indatavärden där båda stegen fungerar. Exempelvis kan alla reella tal kvadreras, medan en kvadratrot efteråt bara accepterar icke-negativa resultat. Eftersom kvadrater är icke-negativa fungerar just detta par för alla reella indata. Byt den inre regeln till subtraktion och den tillåtna mängden kan krympa. Kontrollera det värde som faktiskt skickas vidare, inte bara formlerna var för sig.

Låt $g(x)=x-1$ och $f(t)=\sqrt{t}$, med reella utdata. Den inre regeln accepterar alla reella tal, men den yttre kvadratroten tar bara icke-negativa indata. Alltså:

$$f(g(x))=\sqrt{x-1},\qquad x\geq1$$

Byt ordning. Nu körs $f(x)=\sqrt{x}$ först och $g$ drar sedan bort ett:

$$g(f(x))=\sqrt{x}-1,\qquad x\geq0$$

Uttrycken skiljer sig åt, liksom deras definitionsmängder. Vid $x=0$ ger den andra sammansättningen $-1$, medan den första är odefinierad bland de reella talen. Det är en tydligare jämförelse än att bara hitta ett indatavärde där resultaten skiljer sig.

En nämnare skapar ännu ett villkor. Anta $g(x)=1/(x-2)$ och $f(t)=t+3$. Då gäller $f(g(x))=1/(x-2)+3$, men $x=2$ förblir förbjudet eftersom den inre regeln är odefinierad där.

Förkortning återställer aldrig ett ursprungligen förbjudet indatavärde. Låt $g(x)=(x^2-1)/(x-1)$, definierad bara när $x\ne1$, och låt $f(t)=t^2$. Du får förenkla $g(x)$ till $x+1$ för tillåtna indata. Det sammansatta uttrycket ser ut som $(x+1)^2$, men dess definitionsmängd är fortfarande $x\ne1$. Vid $x=1$ skulle den ursprungliga inre funktionen dividera med noll. Ett polynom som stämmer överallt annars kan inte fylla luckan utan att man definierar en ny funktion.

Dela upp en längre regel i steg

Sammansättning kan också läsas baklänges för att beskriva hur en formel byggts upp. Ta $h(x)=\sqrt{3x+2}$. Ett val är $g(x)=3x+2$ följt av $f(t)=\sqrt{t}$. Då är $h=f\circ g$. Uppdelningen visar snabbt definitionsmängden: kräv $3x+2\geq0$, vilket ger $x\geq-2/3$.

Det kan finnas fler än en giltig uppdelning. Den inre linjära regeln kan delas i ”multiplicera med 3” och ”lägg till 2”, följt av kvadratroten som ett tredje steg. Det viktiga är att den angivna ordningen återskapar den ursprungliga regeln för varje tillåtet indatavärde.

Jämför $f(x)=x^2$ med $f(x-2)=(x-2)^2$ när du studerar en grafisk förskjutning. Ändringen ligger inne i indataplatsen, så parabeln flyttas 2 åt höger. I $f(x)+2=x^2+2$ görs additionen efter $f$, så grafen flyttas 2 uppåt. Här syns sammansättningen i praktiken: ”dra bort 2 före kvadrering” skiljer sig från ”kvadrera före addition med 2”. Vår algebraguide hjälper om substitution ännu känns ovan.

Öva tre olika kontroller

1. Två ordningar. Låt $f(x)=x+4$ och $g(x)=2x$. Beräkna båda sammansättningarna. Svaren är $f(g(x))=2x+4$ och $g(f(x))=2x+8$. Vid $x=3$ ger de 10 och 14. Ordningen avgör när fyran läggs till.

2. Ett domänvillkor. Låt $f(t)=1/t$ och $g(x)=x^2-9$. Då är $f(g(x))=1/(x^2-9)$. Uteslut $x=3$ och $x=-3$, eftersom båda gör den yttre nämnaren noll. Det inre polynomet accepterar alla reella tal.

3. En tabellavläsning. Använd tabellen ovan och beräkna $g(f(3))$. Först är $f(3)=9$. Tabellen innehåller inget värde för $g(9)$, så uppgifterna räcker inte. Det är ett fullständigt svar, inte ett misslyckat försök.

Säg efter varje övning vilken regel som kördes först, vilket värde den gav och om nästa regel accepterar det värdet. Kontrollera sedan ett numeriskt indatavärde mot din algebraiska lösning. I Math Zens övningar om funktioner ligger sammansättning intill definitions- och värdemängdsuppgifter, så du kan träna själva överlämningen separat.

En invers funktion är ett specialfall där en regel upphäver en annan på lämpliga definitionsmängder. Du behöver inte inverser för att beräkna vanliga sammansättningar. Här räcker den tillförlitliga ordningen: inre utdata, yttre indata och sedan kontroll av definitionsmängden.