Förstå inversa funktioner intuitivt: gör stegen baklänges och håll koll på definitionsmängden

En verkstad tar 8 dollar i bokningsavgift och sedan 5 dollar för varje timme du använder en arbetsbänk. Tre timmar kostar 23 dollar. Om kvittot visar 23 dollar, hur många timmar bokade du?

Framåt multiplicerar du timmarna med 5 och lägger till 8. Bakåt drar du bort 8 från kvittot och delar med 5. Regeln bakåt är en invers funktion. Den besvarar en annan fråga utifrån samma samband.

Algebran är oftast hanterlig. Det du måste vara uppmärksam på är om regeln bakåt ger ett enda svar och vilka tal den får ta emot.

Gör det sista steget baklänges först

Skriv verkstadens kostnad som

$$f(x) = 5x + 8$$

Inversen måste ta bort bokningsavgiften innan den gör timkostnaden ogjord:

$$f^{-1}(x) = \frac{x-8}{5}$$

Kontrollera kvittot: $f^{-1}(23) = (23-8)/5 = 3$. Om du delar med 5 först fördelar du även bokningsavgiften över timkostnaden och får fel svar.

Indata till $f$ är timmar; indata till $f^{-1}$ är dollar. Att båda använder bokstaven $x$ betyder inte att den står för samma storhet. Den är bara en platshållare för det som funktionen tar emot.

Negativa timmar är meningslösa i den här modellen. Den ursprungliga definitionsmängden är $x \geq 0$ och värdemängden är $f(x) \geq 8$. Inversen tar därför emot kostnader på minst 8 dollar. Algebraiskt kan du sätta in 3 dollar, men de negativa timmar som då kommer ut ligger utanför modellen.

Invers och reciprokt värde är olika saker

Exponenttecknet i $f^{-1}$ ser ut som en negativ potens. I funktionsnotation är det namnet på inversen. Det är ingen instruktion att dela 1 med $f(x)$.

För samma verkstadsregel:

$$f^{-1}(x)=\frac{x-8}{5}, \qquad \frac{1}{f(x)}=\frac{1}{5x+8}$$

Det första uttrycket återvinner timmarna ur kostnaden. Det andra är kostnadens reciproka värde, en annan storhet med ett annat syfte. OpenStax avsnitt om inversa funktioner förklarar uttryckligen skillnaden i notation.

Du kan också kalla inversen $g$. När du skriver $g(f(x))=x$ uttrycker du samma sak utan exponenttecknet: tillämpa kostnadsregeln och återfå sedan det ursprungliga antalet timmar.

Hitta inversen med algebra

Den vanliga metoden är att skriva $y=f(x)$, byta plats på $x$ och $y$ och lösa ut $y$. Bytet visar hur rollerna växlar: tidigare utdata blir nya indata.

Ta ett nytt exempel:

$$y = \frac{2x-7}{3}$$

Byt plats på variablerna:

$$x = \frac{2y-7}{3}$$

Multiplicera med 3, addera 7 och dela med 2:

$$3x = 2y-7$$ $$3x+7 = 2y$$ $$y = \frac{3x+7}{2}$$

Inversen är alltså $f^{-1}(x)=(3x+7)/2$. Varje steg gör en operation i den ursprungliga regeln baklänges, med början i den sista divisionen med 3.

Paul's Online Math Notes visar samma allmänna metod och genomräknade exempel med rötter och rationella funktioner. Oavsett hur uttrycket ser ut måste du hålla reda på förbjudna indata när du skriver om det. Att multiplicera med en nämnare gör inte ett förbjudet värde tillåtet.

Kontrollera båda riktningarna

Ett test med ett enda tal kan avslöja ett räknefel, men bevisar inte att reglerna tar ut varandra överallt. Använd sammansättning på de angivna definitionsmängderna.

Sätt först in den ursprungliga regeln i inversen:

$$f^{-1}(f(x)) = \frac{3\left(\frac{2x-7}{3}\right)+7}{2} = \frac{2x-7+7}{2}=x$$

Sätt sedan in inversen i den ursprungliga regeln:

$$f(f^{-1}(x)) = \frac{2\left(\frac{3x+7}{2}\right)-7}{3} = \frac{3x+7-7}{3}=x$$

Här är båda definitionsmängderna alla reella tal. För en rot, logaritm eller ett bråk ska du skriva definitionsmängden bredvid kontrollen. Ett förenklat uttryck kan dölja en begränsning som fanns innan du förkortade.

Om sammansättning fortfarande känns obekant, börja med vår guide till funktioner: utdata från den inre regeln blir indata till den yttre. Läs parenteserna inifrån och ut.

Varför en andragradsfunktion behöver begränsas

Anta att $f(x)=(x-2)^2$. Både $f(1)$ och $f(3)$ är 1. Om någon ger dig utdata 1 kan regeln ensam inte säga vilka indata personen använde.

Funktionen är inte entydigt inverterbar på alla reella tal. Relationen bakåt skulle ge två svar för de flesta indata och därför inte vara en funktion.

Välj den högra grenen genom att begränsa den ursprungliga definitionsmängden till $x \geq 2$. Nu blir beräkningen bakåt entydig:

$$y=(x-2)^2, \qquad x \geq 2$$

Eftersom $x-2$ är icke-negativt ger den huvudsakliga kvadratroten $\sqrt{y}=x-2$. Byt namn på variablerna och skriv

$$f^{-1}(x)=2+\sqrt{x}, \qquad x \geq 0$$

Inversen tar emot icke-negativa tal och ger tal som är minst 2. Kontrollera $f^{-1}(9)=5$ och därefter $f(5)=9$.

Om du i stället begränsar den ursprungliga definitionsmängden till $x \leq 2$ blir inversen $2-\sqrt{x}$. Det här är inverser till två olika begränsade funktioner. Sätt inte dit ett plus-minus-tecken och kalla resultatet för en enda invers funktion.

Samma skillnad är viktig för andragradsekvationer: en ekvation kan ha två lösningar, medan en funktion måste tilldela exakt en utdata till varje tillåten indata.

Läs inversen i en graf

Om $f(4)=9$ innehåller den ursprungliga grafen $(4,9)$ och inversens graf $(9,4)$. När koordinaterna byter plats speglas punkterna i diagonalen $y=x$.

Det förklarar också det horisontella linjetestet. Om en horisontell linje skär den ursprungliga grafen två gånger har en utdata två indata. Efter koordinatbytet skulle de två punkterna ligga på en lodrät linje och ge två utdata för samma indata.

Prova med parabeln ovan. En horisontell linje på höjden 1 skär vid $x=1$ och $x=3$. Tar du bort den vänstra grenen skär den bara en gång. Grafen innehåller nu tillräcklig information för att köras baklänges.

Inversens definitionsmängd är den ursprungliga värdemängden. Börja därför med att läsa den ursprungliga grafens utdata på den lodräta axeln. En graf vars utdata alltid ligger över en viss höjd kan inte ha en invers som tar emot tal under den höjden.

Tre korta övningskontroller

En linjär regel: hitta inversen till $f(x)=7-2x$. Subtrahera från 7 och dela sedan med 2: $f^{-1}(x)=(7-x)/2$. Här har inversen ett annat uttryck än originalet. Kontrollera $f(2)=3$ och $f^{-1}(3)=2$.

En kub: hitta inversen till $g(x)=x^3+6$. Upphöjning till tre bevarar skillnaden mellan negativa och positiva indata, så ingen gren behöver begränsas. Inversen är $g^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-6}$ för alla reella indata.

En kvadrat: hitta inversen till $h(x)=x^2+6$ på $x \geq 0$. Inversen är $h^{-1}(x)=\sqrt{x-6}$ med definitionsmängden $x \geq 6$. Utan det sista villkoret är svaret ofullständigt.

Skriv definitionsmängden innan du kontrollerar varje svar. Verifiera sedan ett numeriskt varv och båda algebraiska sammansättningarna. Det blir ett bra kort övningspass i Math Zen: använd funktionsuppgifter för att träna framåtregeln, bakåtregeln och begränsningarna tillsammans.

Samma idé förbinder exponentialfunktioner och logaritmer. En exponentialfunktion tar en exponent och ger ett tal; dess logaritm återfinner exponenten. När du vet vad indata står för och vilka utdata som är möjliga blir inversen något du kan resonera dig fram till.