Ekvationer med absolutbelopp: lös dem genom att tänka avstånd

De två strecken i $|x|$ ser ofta ut som ännu en instruktion att memorera. Läs dem i stället som en fråga: hur långt ligger det här talet från noll?

Fem ligger fem steg från noll. Minus fem ligger också fem steg från noll, bara åt andra hållet. Därför är $|5| = 5$ och $|-5| = 5$. Absolutbeloppet behåller avståndet och tar bort riktningen.

När den bilden är tydlig blir lösningen av en ekvation med absolutbelopp en jakt på positioner på ett bestämt avstånd. De välbekanta två fallen följer av tallinjen och är inte ett knep som lagts till i algebran.

Avstånd kan vara noll, men inte negativt

Ett absolutbelopp ger ett icke-negativt resultat. “Icke-negativt” är viktigt: noll är tillåtet, så det är en aning fel att säga att absolutbelopp alltid gör ett tal positivt.

För ett reellt tal $x$ är definitionen:

$$|x| = \begin{cases}x & x \geq 0 \\ -x & x < 0\end{cases}$$

Den andra raden säger inte att svaret är negativt. Om $x = -7$ är $-x = -(-7) = 7$. Minustecknet vänder riktningen hos ett tal som redan är negativt. Vår guide till negativa tal förklarar den vändningen mer ingående.

Beräkna uttrycket innanför strecken innan du tar absolutbeloppet:

$$|3 - 8| = |-5| = 5$$

I allmänhet kan du inte fördela strecken över en subtraktion. Här är $|3| - |8| = -5$, vilket är något annat. Strecken omsluter ett helt uttryck, och det är värdet av detta uttryck som blir ett avstånd.

Varför två svar dyker upp

Betrakta:

$$|x| = 6$$

Vilka punkter ligger sex enheter från noll? Det finns två: $x = 6$ och $x = -6$. Båda uppfyller ekvationen, och ingen är mer rätt än den andra.

Flytta nu referenspunkten:

$$|x - 4| = 6$$

Uttrycket $x - 4$ mäter skillnaden med tecken mellan $x$ och 4. Dess absolutbelopp ger avståndet mellan de två punkterna. Börja på 4 och gå sex enheter åt höger eller sex enheter åt vänster:

$$x = 4 + 6 = 10 \quad \text{eller} \quad x = 4 - 6 = -2$$

Kontrollera båda direkt: $|10 - 4| = 6$ och $|-2 - 4| = 6$.

Referenspunkten behöver inte vara positiv. Skriv i tanken om insidan av $|x + 3| = 2$ som $x - (-3)$. Mittpunkten är -3, så lösningarna är -1 och -5.

Isolera strecken innan du delar upp

Grundregeln för en positiv konstant $c$ är:

$$|A| = c \quad \Longleftrightarrow \quad A = c \;\text{eller}\; A = -c$$

Här står $A$ för hela uttrycket innanför strecken. Innan du använder regeln isolerar du absolutbeloppet med samma likhetsbevarande operationer som används i vanlig algebra.

Lös det här exemplet:

$$3|2x - 1| + 4 = 25$$

Subtrahera 4:

$$3|2x - 1| = 21$$

Dividera med 3:

$$|2x - 1| = 7$$

Dela nu upp i två ekvationer:

$$2x - 1 = 7 \quad \text{eller} \quad 2x - 1 = -7$$

Den första ger $2x = 8$, alltså $x = 4$. Den andra ger $2x = -6$, alltså $x = -3$.

Kontroll i den ursprungliga ekvationen ger $3|8 - 1| + 4 = 25$ och $3|-6 - 1| + 4 = 25$. Båda stämmer.

Dela inte upp den ursprungliga ekvationen genom att bara ändra 25 till -25. Regeln för absolutbelopp ändrar tecknet på det isolerade avståndet, inte tecknet på varje term i uppgiften. Paul's Online Math Notes betonar också isolering och kontroll i sin genomgång av dessa ekvationer.

Kontrollera om lösning saknas innan du räknar vidare

Anta att ekvationen är:

$$2|x + 1| + 5 = 1$$

När du subtraherar 5 och dividerar med 2 får du:

$$|x + 1| = -2$$

Stanna. Inget reellt tal kan ha avståndet minus två. Att dela upp i $x + 1 = -2$ och $x + 1 = 2$ skulle tillverka svar på en annan fråga.

Noll är ett eget fall:

$$|3x - 9| = 0$$

Insidan måste vara noll, så $3x - 9 = 0$ och $x = 3$. Om du skriver positiv noll och negativ noll får du samma svar två gånger.

För ett isolerat absolutbelopp av ett icke-konstant linjärt uttryck ger en positiv konstant två lösningar, noll ger en och en negativ konstant ger ingen. Utvidga inte den genvägen till varje möjlig ekvation med absolutbelopp: insidan kan vara kvadratisk eller högerledet kan innehålla en variabel.

En variabel i högerledet kräver teckenkontroll

Lös nu:

$$|x - 2| = 2x + 1$$

Vänsterledet kan inte vara negativt, så en lösning måste uppfylla $2x + 1 \geq 0$, alltså $x \geq -\frac{1}{2}$.

Använd de två kandidatekvationerna:

$$x - 2 = 2x + 1 \quad \text{eller} \quad x - 2 = -(2x + 1)$$

Den första ger $x = -3$. Det uppfyller inte teckenvillkoret. En kontroll i den ursprungliga ekvationen visar problemet: vänsterledet är 5, medan högerledet är -5.

Den andra ger $3x = 1$, alltså $x = \frac{1}{3}$. Insättning ger $\frac{5}{3}$ i båda leden. Detta är den enda lösningen.

Kontroll är särskilt användbar när en operation kan införa kandidater som inte uppfyller den ursprungliga ekvationen. Att kvadrera båda leden kan också göra det: då försvinner skillnaden mellan ett positivt och ett negativt högerled.

Två absolutbelopp jämför två avstånd

En ekvation med streck i båda leden kan fortfarande vara enkel:

$$|x - 1| = |x + 5|$$

Den frågar efter punkten som ligger lika långt från 1 och -5. På tallinjen är den punkten deras mittpunkt, $x = -2$.

Algebran ger samma svar. Lika absolutbelopp betyder att insidorna är lika eller motsatta:

$$x - 1 = x + 5 \quad \text{eller} \quad x - 1 = -(x + 5)$$

Den första ekvationen förenklas till $-1 = 5$ och har därför ingen lösning. Den andra blir $2x = -4$, vilket ger $x = -2$. Avståndet till båda referenspunkterna är 3.

Detta skiljer sig från en ekvation med en summa, som $|x - 1| + |x + 5| = 10$. Du kan inte ta bort alla streck genom en enda uppdelning i två fall. Sådana uppgifter kräver oftast intervall utifrån de punkter där varje inre uttryck byter tecken.

Grafen gör antalet lösningar synligt

Grafen till $y = |x|$ är V-formad. Till höger om noll följer den $y = x$. Till vänster följer den $y = -x$. V-formens spets är grafens vertex.

För $y = |x - 4|$ flyttas vertex till $(4, 0)$. Att lösa $|x - 4| = 6$ betyder att hitta var detta V möter den horisontella linjen $y = 6$. Det finns två skärningspunkter, vid $x = -2$ och $x = 10$.

En horisontell linje vid noll rör vertex en gång. En horisontell linje under noll missar grafen helt. Det är mönstret med två, en eller noll lösningar ritat på ett papper.

Om du byter likheten mot en olikhet söker du ett område i stället för bara skärningspunkter. Till exempel betyder $|x - 4| < 6$ att avståndet från 4 är mindre än 6, alltså $-2 < x < 10$. Vår guide till olikheter utvecklar nästa steg.

En kort lösningsrutin

Beräkna först allt numeriskt innanför strecken. Isolera sedan ett absolutbelopp, granska tecknet i det andra ledet och dela bara upp när tecknet tillåter det. Lös varje fall och sätt in varje kandidat i den ursprungliga ekvationen.

Öva processen i Math Zens ämne Algebra, som innehåller Absolutbelopp. Börja med avståndsbilden innan du tar fram regeln med två fall. Om du kan förklara var referenspunkten ligger och vilket avstånd ekvationen kräver har algebran ett tydligt arbete att utföra.