Чему равно e в степени 1?

e в степени 1 равно самому e, примерно 2,71828, потому что любое число в первой степени не меняется. Для сравнения: e^0 = 1, e^-1 примерно равно 0,3679 (это 1/e), а e^2 примерно равно 7,389.

Как набрать e на калькуляторе?

Найдите клавишу e^x. На многих научных калькуляторах это вторая функция клавиши ln, потому что e^x и ln x взаимно обратны. Введите e^1, и на экране появится само e, около 2,718281828. Если набрать 2,718 вручную, получится округлённое значение, поэтому в многошаговых вычислениях пользуйтесь e калькулятора.

Число Эйлера и постоянная Эйлера: это одно и то же?

Нет. Число Эйлера e примерно равно 2,71828 и является основанием натурального логарифма. Постоянная Эйлера, она же постоянная Эйлера-Маскерони, обозначается γ и примерно равна 0,5772. Она показывает, насколько гармоническая сумма 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n превышает ln n при росте n, и до сих пор неизвестно, иррациональна ли она.

Число Эйлера e: что это такое и почему оно равно 2,718

Введите на калькуляторе «e в степени 1», и он ответит 2,718281828. Это число и есть число Эйлера, обозначаемое e, и это одна из немногих констант, с которыми рано или поздно сталкивается каждая область математики: сложные проценты, рост населения, радиоактивный распад, вероятность и весь математический анализ.

В этом руководстве сначала идёт короткий ответ, затем показано, откуда берётся значение, два способа его вычислить и почему математический анализ считает e естественным основанием для степеней. Если сами степени вам ещё даются нетвёрдо, начните с интуитивного понимания степеней и возвращайтесь.

Короткий ответ: что такое e и его основные значения

Значение e равно примерно 2,71828. С большим числом знаков это 2,718281828459045..., и десятичные знаки не заканчиваются и не повторяются, потому что e иррационально (MathWorld). Это основание натурального логарифма и натуральной показательной функции $e^{x}$ . Вам также встретится название «неперово число», в честь Джона Непера (Wikipedia).

Большинство запросов про e на самом деле просят одно из нескольких значений. Вот они, вычисленные с шестью и более значащими цифрами:

Выражение	Значение	Почему
$e^{1}$	2,718282	Любое число в первой степени равно самому себе
$e^{0}$	1	Любое ненулевое число в степени 0 равно 1
$e^{-1}$	0,367879	То же, что $1/e$
$e^{2}$	7,389056	$e \times e$
$e^{1/2}$	1,648721	То же, что $\sqrt{e}$
$\ln e$	1	Натуральный логарифм отменяет $e^{x}$

Итак, e в степени 1 просто равно e, около 2,71828. В первой степени ничего особенного не происходит; особенное здесь само основание.

Откуда берётся e: сложные проценты

Якоб Бернулли столкнулся с этим числом в 1683 году, изучая непрерывно начисляемые проценты, и показал, что оно лежит между 2 и 3 (MacTutor). Его вопрос формулируется просто.

Положите 1 доллар на счёт, который платит 100% годовых. Если проценты начислить один раз в конце года, у вас будет 2 доллара. Теперь разделите те же 100% на n более мелких выплат, каждая из которых добавляет $1/n$ от текущего баланса, и пусть каждая выплата сама приносит проценты на предыдущие. Через год у вас будет

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}

долларов. Чем чаще начисление, тем больше выплата, но не безгранично:

Начисление	n	Баланс через год
Раз в год	1	2,000000
Дважды в год	2	2,250000
Ежеквартально	4	2,441406
Ежемесячно	12	2,613035
Ежедневно	365	2,714567
Ежечасно	8 760	2,718127
Непрерывно	n неограниченно растёт	2,718282 = e

Переход от ежемесячного начисления к ежедневному добавляет около десяти центов. Переход от ежедневного к ежечасному добавляет меньше полцента. Баланс подползает к потолку, которого никогда не пересекает, и этот потолок и есть e. Именно так определяет его учебник по анализу OpenStax: при росте m выражение $\left(1 + 1/m\right)^{m}$ приближается к некоторому числу, и это число называется e (OpenStax Calculus Volume 1, раздел 1.5). Для ставки r за t лет та же идея даёт формулу непрерывного роста $A = Pe^{rt}$ .

Два определения, которые совпадают, и как быстро каждое приходит к цели

К тому же числу ведёт и вторая дорога. Сложите единицы, делённые на каждый факториал:

e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}

MathWorld приводит обе формы как определения e, а Эйлер поставил их рядом в своём «Введении в анализ бесконечных» (Introductio in analysin infinitorum) 1748 года, где также привёл e с 18 десятичными знаками (MacTutor). Они дают одно и то же число, но с очень разной скоростью. Вот гонка сходимости, посчитанная напрямую; цель: 2,71828, первые пять десятичных знаков e:

Гонка сходимости: предел против ряда

Предел $\left(1 + 1/n\right)^{n}$	Значение	Ряд, число членов	Частичная сумма
n = 1	2,000000	2 члена (до 1/1!)	2,000000
n = 10	2,593742	4 члена (до 1/3!)	2,666667
n = 100	2,704814	6 членов (до 1/5!)	2,716667
n = 1 000	2,716924	8 членов (до 1/7!)	2,718254
n = 100 000	2,718268	9 членов (до 1/8!)	2,718279
n = 1 000 000	2,718280	10 членов (до 1/9!)	2,718282

Ряд фиксирует 2,71828 уже после 10 членов. Пределу нужно n около 743 000, чтобы впервые показать 2,71828, и даже при миллионе шагов он всё ещё ошибается в шестом десятичном знаке. Причина в размерах ошибок. Каждый следующий член с факториалом гораздо меньше предыдущего, поэтому ошибка ряда убывает быстрее любой степени. Ошибка предела убывает примерно как $e/(2n)$ , так что в десять раз больше шагов даёт лишь около одного дополнительного верного знака.

Практический вывод: предел объясняет, почему e существует (это потолок сложного роста), а ряд показывает, как e на самом деле вычисляют.

Почему математический анализ предпочитает e

Каждая показательная функция $b^{x}$ при $b > 0$ задаёт кривую, которая по ходу растёт (или убывает) всё быстрее. Её наклон в любой точке пропорционален её высоте. Для большинства оснований коэффициент пропорциональности неудобная константа: у $2^{x}$ наклон составляет около 0,693 от высоты, у $3^{x}$ около 1,099 от высоты.

Есть ровно одно основание, для которого этот коэффициент равен 1, так что наклон в каждой точке равен высоте. Это основание e. OpenStax определяет e именно так в главе о производных: единственное основание, у показательной функции которого наклон при $x = 0$ равен 1, откуда

\frac{d}{dx}\, e^{x} = e^{x}

следует (OpenStax Calculus Volume 1, раздел 3.9). Функция, равная своей производной, делает анализ роста почти бесплатным: продифференцируйте $e^{x}$ , и ничего не изменится, проинтегрируйте, и ничего не изменится. Если идея производной как наклона вам нова, производные с нуля выстраивают её по шагам.

Натуральный логарифм, обозначаемый ln, обратен к $e^{x}$ : $\ln(e^{x}) = x$ и $e^{\ln x} = x$ при $x > 0$ . Его производная так же проста: $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$ . Поэтому учёные называют основание e «натуральным»: именно оно делает формулы самыми короткими. Наше руководство по интуитивному пониманию логарифмов разбирает ln рядом с основаниями 10 и 2.

Ряд из предыдущего раздела тоже не случайность. Ряд Маклорена для $e^{x}$ равен $\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}/n!$ (OpenStax Calculus Volume 2, раздел 6.3); подставьте $x = 1$ , и получится факториальная сумма для e.

Число Эйлера, постоянная Эйлера и тождество Эйлера

Имя Эйлера связано с таким количеством результатов, что в поиске смешиваются три разные вещи:

Название	Обозначение и значение	Что это
Число Эйлера	e ≈ 2,71828	Основание натурального логарифма; предел и ряд выше
Постоянная Эйлера (Эйлера-Маскерони)	γ ≈ 0,57722	Предел выражения $1 + \tfrac{1}{2} + \cdots + \tfrac{1}{n} - \ln n$ при росте n
Тождество Эйлера	$e^{i\pi} + 1 = 0$	Равенство, связывающее e, i, π, 1 и 0

Различается и то, что о них известно. Иррациональность e доказана, а Шарль Эрмит в 1873 году доказал и его трансцендентность (MathWorld). Про γ до сих пор неизвестно, даже иррациональна ли она (MathWorld, постоянная Эйлера-Маскерони). А тождество Эйлера вообще не число, а утверждение о e в мнимой степени; наш разбор тождества Эйлера показывает, почему $e^{i\pi}$ оказывается равным -1.

Частые ошибки с e

Считать e переменной. В $e^{x}$ меняется x, а e нет. Решить $e^{x} = 5$ значит взять ln от обеих частей: $x = \ln 5 \approx 1.609$ .

Слишком раннее округление. Если взять 2,7 вместо e в $e^{3}$ , получится 19,683 вместо 20,0855. Держите e калькулятора до последнего шага.

Путать $e^{-1}$ с $-e$ . Отрицательный показатель означает обратное число: $e^{-1} = 1/e \approx 0.3679$ , и это положительное число. А $-e \approx -2.718$ совсем другое число.

Путать ln и log. На большинстве калькуляторов «log» означает основание 10, а «ln» основание e. $\ln e = 1$ , но $\log e \approx 0.4343$ .

Практика с e

Попробуйте до проверки:

Чему равны без калькулятора $e^{0}$ , $e^{1}$ и $\ln 1$ ?
Упростите $e^{2} \cdot e^{3}$ и $\ln\left(e^{7}\right)$ .
Решите $e^{x} = 1$ .

Ответы: 1, e и 0; $e^{5}$ и 7; $x = 0$ .

Тренировка логарифмов в Math Zen отрабатывает ln и замену основания, а тренировка функций включает показательные функции, так что вы сможете превратить эти правила в привычку, по одной задаче за раз.

Часто задаваемые вопросы

Рационально ли число e?

Нет. Число e иррационально, и его десятичные знаки не заканчиваются и не повторяются. Эрмит доказал в 1873 году, что оно к тому же трансцендентно: оно не является корнем ни одного ненулевого многочлена с рациональными коэффициентами.

Почему оно называется e?

Леонард Эйлер использовал эту букву в письме Кристиану Гольдбаху в 1731 году и в печати в 1736 году. Почему он выбрал именно e, точно неизвестно; история о том, что он взял собственную первую букву, историками не подтверждается.

Чему равно e^2?

Около 7,389. Это e, умноженное само на себя: $2.71828 \times 2.71828$ .

Чему равно e в степени 0?

Ровно 1, как и любое ненулевое число в степени 0.