Правило Лопиталя: условия и четыре разобранных предела

Вы подставляете нужное значение в дробь и получаете $0/0$. Нужно ли теперь дифференцировать числитель и знаменатель? Иногда. Сначала спросите, не упрощается ли выражение обычной алгеброй, действительно ли числитель и знаменатель образуют допустимую форму и сделает ли дифференцирование предел проще. Правило Лопиталя имеет условия применения. Оно не предписывает дифференцировать каждую дробь с неудобным знаменателем.

В этом материале таблица допустимости стоит перед вычислениями. Затем мы последовательно разбираем четыре предела: один быстрее найти разложением на множители, второй не подпадает под правило, третий использует его на бесконечности, а четвёртый превращается в подходящую дробь только после логарифмирования. Если понятие предела ещё незнакомо, начните с нашего объяснения пределов. Разбор производной поможет со второй необходимой темой.

Сначала проверяем условия применения

В точке приближения исследуйте числитель и знаменатель по отдельности. Непосредственно правило Лопиталя применяется к дробям с формой $0/0$ или $\pm\infty/\pm\infty$, если выполнены и другие условия теоремы. Оно не применяется напрямую к $5/0$, $0\cdot\infty$, $\infty-\infty$ или степени вроде $1^{\pm\infty}$. Некоторые из этих форм можно преобразовать в допустимую дробь; другие требуют иного метода.

В распространённой формулировке при выполнении предпосылок теоремы

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},$$

если предел справа существует как конечный или подходящий бесконечный предел. В соответствующей проколотой окрестности точки функции $f$ и $g$ должны быть дифференцируемы, а $g'(x)$ там не должна обращаться в нуль. Исходные функции обе должны стремиться к нулю или обе расти по модулю без ограничения в рассматриваемом направлении. Аналогичные варианты есть для односторонних пределов и пределов на бесконечности. OpenStax Calculus, том 1, §4.8 приводит теорему и преобразования; Paul's Online Notes подчёркивают необходимость сначала проверить форму.

Если предела $f'/g'$ нет, такая попытка может просто ничего не решить. Из этого самого по себе не следует, что исходный предел отсутствует. И наоборот, результат $0/0$ после подстановки есть лишь первая проверка. Условия для функций и производной знаменателя должны выполняться рядом с точкой. Во всех примерах мы явно учитываем область определения и направление приближения.

Случай 1: сначала помогает алгебра

Рассмотрим

$$\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}.$$

Числитель и знаменатель стремятся к нулю, поэтому форма равна $0/0$. Первая строка таблицы допускает правило, но разложение проще. При $x\ne3$

$$\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3.$$

В точке $x=3$ исходная дробь не определена, но предел описывает соседние значения. Там дробь совпадает с $x+3$, поэтому предел равен $6$. Для проверки можно дифференцировать числитель и знаменатель раздельно: $\lim_{x\to3}2x/1=6$. Результат совпадает, однако разложение на множители показывает устранимый разрыв и причину допустимости сокращения.

Здесь нужно выбрать метод: можно применить не значит лучше применить. Разложение, рационализация или упрощение сложной дроби часто устраняют препятствие до производных. Наше объяснение пределов использует другой пример устранимого разрыва, чтобы различить значение функции и предел. Здесь выбирайте самый короткий и понятный из корректных способов.

Случай 2: 5/0 не является неопределённостью

Теперь возьмём

$$\lim_{x\to0}\frac{5}{x}.$$

Числитель стремится к $5$, не к нулю и не к бесконечности, а знаменатель стремится к нулю. Это вторая строка таблицы, $5/0$, и правило Лопиталя неприменимо. Направление приближения определяет поведение: при $x\to0^+$ имеем $5/x\to+\infty$, а при $x\to0^-$ имеем $5/x\to-\infty$. Двустороннего предела нет, хотя поведение с каждой стороны ясно.

Если механически продифференцировать числитель и знаменатель, выйдет $0/1=0$, ложный ответ. Это не нарушение теоремы: вычисление выполнено без её условий. До дифференцирования проверьте допустимость. Знак знаменателя с каждой стороны здесь информативнее ещё одной строки алгебры.

Этот случай показывает, почему одной фразы «знаменатель стремится к нулю» недостаточно. Сравните со случаем 1: оба знаменателя стремятся к нулю, но в первом случае и числитель стремится к нулю, а дробь приближается к конечному числу. Начальная форма определяет возможные методы; направление решает, существует ли двусторонний ответ.

Случай 3: бесконечность на бесконечность

Пусть $x\to+\infty$ в дроби

$$\frac{2x^2+3x}{x^2-1}.$$

Числитель и знаменатель оба растут к $+\infty$. Это допустимая форма $\infty/\infty$ из третьей строки. Для достаточно больших положительных $x$ и знаменатель, и его производная не равны нулю. Дифференцируем числитель и знаменатель по отдельности:

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2+3x}{x^2-1} =\lim_{x\to+\infty}\frac{4x+3}{2x}=2.$$

Последний шаг следует из $3/(2x)\to0$. Одного применения хватит: не нужно продолжать дифференцировать, когда предел новой дроби уже ясен. Прямая алгебраическая проверка ещё короче. Разделите числитель и знаменатель исходной дроби на $x^2$, тогда $(2+3/x)/(1-1/x^2)\to2$. Оба способа показывают, что здесь решают коэффициенты при старших квадратичных членах.

Сравнение помогает выбрать метод. Дифференцирование полезно, если упрощает дробь. Если деление на наивысшую степень $x$ сразу даёт ответ, используйте его. Правило здесь допустимо, но простая алгебра от этого не становится хуже.

Случай 4: степень требует логарифмирования

Рассмотрим положительное выражение $(1+x)^{1/x}$ при $x\to0$, где $x>-1$ и $x\ne0$. Основание стремится к $1$, а модуль показателя неограниченно растёт. Возникает неопределённая степенная форма $1^{\pm\infty}$. Это не дробь, поэтому четвёртая строка запрещает непосредственное применение правила к степени.

Обозначим $y=(1+x)^{1/x}$ и прологарифмируем на положительной области определения:

$$\ln y=\frac{\ln(1+x)}{x}.$$

Теперь числитель и знаменатель логарифмической дроби оба стремятся к нулю. Вблизи нуля они дифференцируемы, а производная знаменателя равна $1$. Применим правило к этой дроби:

$$\lim_{x\to0}\ln y =\lim_{x\to0}\frac{1/(1+x)}{1}=1.$$

Экспонента непрерывна, следовательно, исходный предел равен $e^1=e$. В области $x>-1$ результат одинаков с обеих сторон. Главное различие: правило вычислило предел $\ln y$, а не степень непосредственно. Наш гид по числу Эйлера объясняет, почему пределы с $e$ часто встречаются в анализе.

Нельзя логарифмировать выражение, которое может быть неположительным, не проверив область определения. Здесь рядом с нулём $1+x>0$, поэтому шаг законен. Логарифмирование превращает задачу в дробь, а последующее возведение $e$ в степень возвращает ответ к исходному выражению. Без любого из этих шагов рассуждение неполно.

Не путайте две разные операции

Правило Лопиталя сравнивает предел $f/g$ с пределом $f'/g'$. Правило дифференцирования частного, напротив, вычисляет производную всей функции $f/g$:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f'g-fg'}{g^2}.$$

Это разные объекты. В случае 1 дробь при $x\ne3$ равна $x+3$, так что её обычная производная поблизости равна $1$. Но её предел при $x\to3$ равен $6$. Подставляя производную всего частного вместо $f'/g'$, вы отвечаете на другой вопрос. В случае 2 применение $f'/g'$ тоже дало ложный ответ, потому что нужной начальной формы не было.

Краткий порядок выбора: подставьте или исследуйте обе части, назовите форму, при возможности упростите, проверьте область определения и условия теоремы, а затем дифференцируйте верх и низ раздельно только если это упрощает допустимую дробь. Сохраняйте направление приближения в записи. Для тренировки измените случай 3 на $x\to-\infty$ и заново проверьте форму и ответ. В Math Zen темы пределы и производные помогают отрабатывать основы по одной задаче.

Частые вопросы

Можно ли применять правило всякий раз, когда подстановка даёт $0/0$? Это возможный способ, а не автоматическая команда. Проверьте дифференцируемость в соответствующей проколотой окрестности, ненулевую производную знаменателя там и подходящий предел отношения производных. Сначала попробуйте простую алгебру.

Можно ли применять правило несколько раз? Да, если новая дробь снова выполняет условия и ещё один шаг помогает. Каждый раз заново проверяйте форму. Остановитесь, как только обычный предел можно вычислить напрямую.

Почему не правило производной частного? Оно находит производную $f/g$. Лопиталь при особых условиях сравнивает пределы $f/g$ и $f'/g'$. Эти действия не взаимозаменяемы.

Что, если числитель не стремится к нулю? Если знаменатель идёт к нулю, а числитель к конечному ненулевому значению, формы $0/0$ нет. Вместо этого изучите знаки и одностороннее поведение, как для $5/x$ возле нуля.